MATHEMATICA线性代数实验相关语句

第二篇Mathematica软件线性代数实验第1章矩阵与向量实验目的熟悉矩阵与向量的概念，理解向量的线性运算、数量积运算。理解矩阵的基本运算、矩阵与向量的运算及行列式运算。熟悉Mathematia数学软件做向量运算、矩阵基本运算和计算行列式的命令。实验准备数学概念1．矩阵2．向量3．向量的线性运算4．向量的数量积运5．线性运算6．矩阵的基本运算7．转置矩阵8．逆矩阵9．单位矩阵10． 对角矩阵11． 行列式12． Cramer法则数学软件命令a={a1,a2,„,an}功能：定义一个一维向量{al,a2,…，an},这里al,a2,…，an是数或字母。a=Table[f[j]，{j,n}]功能：定义一个分量可以用f[j]计算的一维向量{f[l],f[2],…，f[2]}。a={{all,al2,.„,aln},{a21,a22,-„,a2n},„,{am1,am2,.…，amn}}a=Table[f[i,j]，｛i，m｝，｛j，n｝]功能：定义一个分量可以用f[i,j]计算的mxn矩阵，其中f是关于i和j的函数，给出矩阵在第i行第j列的元素值。MatrixForm[a]功能：把a按通常的矩阵或向量形式输出，这里a是Mathematica中的矩阵或向量。DiagonalMatrix[list]功能:使用列表中list的元素生成一个对角矩阵.IdentityMatrix[n]功能:生成n阶单位阵A+B功能：求A与B的和，这里A与B都是矩阵或都是向量。A-B功能：求A与B的差。这里A与B都是矩阵或都是向量。k*A功能：求常数k与A的数乘，这里A是矩阵或向量。A.B功能：求矩阵A与矩阵B的乘积，注意A与B之间的乘号"•"使用键盘上的小数点。a.b功能：求向量A与向量B的内积，注意a与b之间的乘号"•"使用键盘上的小数点。A.b或b.A功能：求矩阵A与向量B的乘积，注意A与b之间的乘号"•"使用键盘上的小数点。Transpose[A]功能：求矩阵A的转置矩阵Inverse[A]功能：求矩阵A的逆矩阵MatrixPower[A，n]功能:计算方阵A的n次幂。Det[A]功能:求方阵A的行列式18.a［［i,j］］18.a［［i,j］］功能：取矩阵功能：取矩阵a的位于第i行，第j列的元素.19.a［［i］］19.a［［i］］功能：取矩阵功能：取矩阵a的第i行的所有元素或取向量a的第i个分量.20.Transpose［a］［［j20.Transpose［a］［［j］］功能：取矩阵a的第j列的所有元素.功能：取矩阵a的第j列的所有元素.实验任务1.3.1基础实验本实验熟悉数学软件命令操作。1.输入如下矩阵1)的o矩阵皿2)6维随机向量v4)对角矩阵s=3)4阶单位矩阵io2.已知矩阵5)，向量v={l,4,7}，向量u={-l,5,2}求1)A+B2)求A-B的值3)5A1)的o矩阵皿2)6维随机向量v4)对角矩阵s=3)4阶单位矩阵io2.已知矩阵5)，向量v={l,4,7}，向量u={-l,5,2}求1)A+B2)求A-B的值3)5A4)AB5)u+2v6)u与v的点积7)Av8)vTA9)A的转置AT10)A-13.设矩阵a=|B|11)，求把矩阵a在第3行第4列的元素-1改为62） 把矩阵a的第2行元素改为{2，-1，3，8}3） 把矩阵a的第4列元素改为{2,-1,3,8}4） 用矩阵a的第1行元素乘-2加到第2行上工]+4工2一7叼+ =0尤]-3x2-6x4=92x-n—Xo+2xa=—5用Cramer法则求解方程组'1.3.2探索实验本实验探索矩阵与行列式性质。用Mathematia命令检验行列式的两行或两列对换后,行列式值改变符号。（提示：用随机定义的一个4x4阶行列式A来进行检验）。用Mathematia命令检验：|AB|=|A||B|,这里A和B都是方阵。（提示：用若干随机定义的一个4x4阶矩阵来进行检验）。设计一组Mathematia命令来实验“初等变换矩阵与矩阵A左乘产生矩阵A的行初等变换；初等变换矩阵与矩阵A右乘产生矩阵A的列初等变换”的结论。（仅就3x3的矩阵来实验即可）。1.3.3应用实验本实验研究动物繁殖问题。某农场饲养的动物所能达到的最大年龄为15岁,将其分为三个年龄组：第一组,0——5岁；第二组6——10岁；第三组成11——15岁。动物从第二年龄组起开始繁殖后代,经过长期统计,第二年龄组的动物在其年龄段平均繁殖4个后代,第三组在其年龄段平均繁殖3个后代,第一年龄组和第二年龄组的动物能顺利进入下一个年龄组的存活率分别是1/2和1/4。假设农场现有三个年龄段的动物各1000头,问15年后农场饲养的动物总数及农场三个年龄段的动物各将达到多少头？指出15年间,动物总增长多少头及总增长率。实验过程1.1)In[1]:=m=Table[0,{3}，{5}]Out[1]={{0,0,0,0,0}, {0,0,0,0,0}, {0,0,0,0,0}}Out[2]//MatrixForm=TOC\o"1-5"\h\z0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 02)In[3]:=v=Table[Random[],{6}]Out[3]={0.117907,0.331022,0.845968,0.116702,0.431217,0.651793}3)In[4]:=i=IdentityMatrix[4]Out[4]={{1,0,0,0},{0,1,0,0},{0,0,1,0},{0,0,0,1}}In[5]:=MatrixForm[i]Out[5]//MatrixForm=TOC\o"1-5"\h\z0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 14)In[6]:=s=DiagonalMatrix[{a，b，c，d}]Out[6]={{a，0，0，0}，{0，b，0，0}，{0，0，c，0}，{0，0，0，d}}In[7]:=MatrixForm[s]Out[7]//MatrixForm=TOC\o"1-5"\h\za 0 0 00 b 0 00 0 c 00 0 0 dIn[8]:=c=Table[Sin[i+j]，{i，5}，{j，3}];In[9]:=MatrixForm[c]Out[9]//MatrixForm=Sin[2]Sin[3]Sin[4]Sin[3]Sin[4]Sin[5]Sin[4]Sin[5]Sin[6]Sin[5]Sin[6]Sin[7]Sin[6]Sin[7]Sin[8]2.In[1]:=a={{3,1,1},{2,1,2},{1,2,8}};b={{1,1,-1},{2,-1,0},{1,0,1}};v={1,4,7};u={-1,5,2};In[2]:=a+bOut[2]={{4,2,0},{4,0,2},{2,2,9}}In[3]:=MatrixForm[%]Out[3]//MatrixForm=42040229In[4]:=a-bOut[4]={{2,0,2},{0,2,2},{0,2,7}}In[5]:=5aOut[5]={{15,5,5},{10,5,10},{5,10,40}}In[6]:=a.bOut[6]={{6,2,-2},{6,1,0},{13,-1,7}}In[7]:=MatrixForm[%]Out[7]//MatrixForm=TOC\o"1-5"\h\z2 -21 013 -1 7Out[8]={1,13,16}6)In[9]:=u.vOut[9]=337)In[10]:=a.vOut[10]={14,20,65}8)In[11]:=v.aOut[11]={18,19,65}9)In[12]:=Transpose[a]Out[12]={{3,2,1},{1,1,2},{1,2,8}}In[13]:=MatrixForm[%]Out[13]//MatrixForm=211212810)In[14]:=Inverse[a]Out[14]={{4,-6,1},{-14,23,-4},{3,-5,1}}In[15]:=MatrixForm[%]Out[15]//MatrixForm=TOC\o"1-5"\h\z-6 1-14 23 -43 -5 111)In[16]:=Det[b]Out[16]=-43.In[1]:=a={{1,2,3,4},{2,3,1,2},{1,1,1,-1},{1,0,-2,-6}}Out[1]={{1,2,3,4},{2,3,1,2},{1,1,1,-1},{1,0,-2,-6}}In[2]:=a[[3,4]]=6;aOut[2]={{1,2,3,4},{2,3,1,2},{1,1,1,6},{1,0,-2,-6}}In[3]:=a={{1,2,3,4},{2,3,1,2},{1,1,1,-1},{1,0,-2,-6}};a[[2]]={2,-1,3,8};aOut[3]={{1,2,3,4},{2,-1,3,8},{1,1,1,6},{1,0,-2,-6}}In[4]:=a={{1,2,3,4},{2,3,1,2},{1,1,1,-1},{1,0,-2,-6}};b=Transpose[a]Out[4]={{1,2,1,1},{2,-1,1,0},{3,3,1,-2},{4,8,6,-6}}In[5]:=b[[4]]={2,-1,3,8};a=Transpose[b]Out[5]={{1,2,3,2},{2,-1,3,-1},{1,1,1,3},{1,0,-2,8}}In[4]:=a={{1,2,3,4},{2,3,1,2},{1,1,1,-1},{1,0,-2,-6}};a[[2]]=a[[2]]-2a[[1]];aOut[4]={{1,2,3,4},{0,-1,-5,-6},{1,1,1,-1},{1,0,-2,-6}}4.In[1]:=a={{2,1,-5,1},{1,4,-7,6},{1,-3,0,-6},{0,2,-1,2}};b={8,0,9,-5};MatrixForm[a]Out[1]//MatrixForm=_2 1 -5 1_14-761-30-6_02-12_In[2]:=dd=Det[a]Out[2]=27In[3]:=d=Transpose[a];d1=d;d2=d;d3=d;d4=d;d2[[2]]=b;*d2[[k]]=b表示把矩阵第k行改为向量b*)d2[[2]]=b;d3[[3]]=b;d4[[4]]=b;In[4]:=d1=Det[d1];d2=Det[d2];d3=Det[d3];d4=Det[d4];In[5]:=x1=d1/dd;x2=d2/dd;x3=d3/dd;x4=d4/dd;In[6]:={x1,x2,x3,x4}Out[6]={3,-4,-1,1}因此所求的解为x1=3,x2=-4,x3=T,x4=15.In[1]:=a=Table[Random[Integer,{0,10}],{4},{4}]Out[1]={{8,3,10,4},{3,4,5,6},{3,7,8,10},{2,4,4,7}}In[2]:=MatrixForm[a]Out[2]//MatrixForm=TOC\o"1-5"\h\z4 6 0 810 5 0 55 10 70 5 8 3In[3]:=Det[a]Out[3]=37In[4]:={a[[1]],a[[3]]}={a[[3]],a[[1]]};a （*第一行与第三行对换*）Out[4]={{7,5,10,7},{10,5,0,5},{4,6,0,8},{0,5,8,3}}Out[5]//MatrixForm=TOC\o"1-5"\h\z5 10 710 5 0 54 6 0 80 5 8 3In[6]:=Det[a]Out[6]=-376.In[1]:=a=Table[Random[Integer,{0,10}],{4},{4}]Out[1]={{4,9,3,0},{7,4,9,6},{3,3,10,3},{2,7,0,10}}In[2]:=MatrixForm[a]Out[2]//MatrixForm=TOC\o"1-5"\h\z4 9 3 07 4 9 63 3 10 37 0 10In[3]:=b=Table[Random[Integer,{0,10}],{4},{4}]Out[3]={{1,0,4,5},{3,5,5,1},{6,2,8,4},{8,8,5,3}}In[4]:=MatrixForm[b]Out[4]//MatrixForm=TOC\o"1-5"\h\z1 0 4 55 5 16 2 8 48 5 3In[5]:=Det[a.b]Out[5]=13650240

Out[6]=Out[6]=136502407.In[1]:=d=Table[c[i,j],{i,3},{j,3}] （*设置一个一般的3阶矩阵*）Out[1]={{c[1,1],c[1,2],c[1,3]},{c[2,1],c[2,2],c[2,3]},{c[3,1],c[3,2],c[3,3]}}In[2]:=MatrixForm[d]Out[2]//MatrixForm=c[1,1]c[2,c[1,1]c[2,1]c[3,1]c[1,2]c[2,2]c[3,2]c[1,3]c[2,3]c[3,3]In[3]:=e=IdentityMatrix[3];e[[2,2]]=8;eOut[3]={{1,0,0},{0,8,0},{0,0,1}}In[4]:=MatrixForm[e]Out[4]//MatrixForm=100080001In[5]:=e.dOut[5]={{c[1,1],c[1,2],c[1,3]},{8c[2,1],8c[2,2],8c[2,3]},{c[3,1],c[3,,c[3,3]}}In[6]:=MatrixForm[%]Out[6]//MatrixForm=c[1,1] c[1,2] c[1,3]c[2,1]8c[2,2]8c[2,3]c[3,1]c[3,2]c[3,3]In[7]:=d.eOut[7]={{c[1,1],8c[1,2],c[1,3]},{c[2,1],8c[2,2],c[2,3]},{c[3,1],8c[3,2],c[3,}}Out[8]//MatrixForm=c[1,1]8c[1,2]c[1,3]c[2,1] 8c[2,2] c[2,3]c[3,1] 8c[3,2] c[3,3]In[9]:=e=IdentityMatrix[3];In[10]:={a[[1]],a[[2]]}={a[[2]],a[[1]]};a（*第一行与第二行对换*）Out[10]={{0,1,0},{1,0,0},{0,0,1}}In[11]:=MatrixForm[a]Out[11]//MatrixForm=010100001In[12]:=e.dOut[12]={{c[2,1],c[2,2],c[2,3]},{c[1,1],c[1,2],c[1,3]},{c[3,1],c[3,2],c[3,3]}}In[13]:=MatrixForm[%]Out[13]//MatrixForm=c[2,1]c[2,2]c[2,3]c[1,1]c[1,2]c[1,3]c[3,1]c[3,2]c[3,3]In[14]:=d.eOut[14]={{c[1,2],c[1,1],c[1,3]},{c[2,2],c[2,1],c[2,3]},{c[3,2],c[3,1],c[3,3]}}In[15]:=MatrixForm[%]Out[15]//MatrixForm=c[1,2]c[1,1]c[1,3]c[2,2]c[2,1]c[2,3]c[3,2]c[3,1]c[3,3]In[16]:=e=IdentityMatrix[3];In[17]:=e[[3,1]]=2;eOut[17]={{1,0,0},{0,1,0},{2,0,1}}In[18]:=MatrixForm[e]Out[18]//MatrixForm=TOC\o"1-5"\h\z1 0 00 1 02 0 1In[19]:=e.dOut[19]={{c[1,1],c[1,2],c[1,3]},{c[2,1],c[2,2],c[2,3]},{2c[1,1]+c[3,1],2c[1,2]+c[3,2],2c[1,3]+c[3,3]}}In[20]:=MatrixForm[%]Out[20]//MatrixForm=c[1,1]c[1,2]c[1,3]c[2,1]c[2,2]c[2,3]2c[1,1]+c[3,1]2c[1,2]+c[3,2] 2c[1,3]+c[3,3]In[21]:=d.eOut[21]={{c[1,1]+2c[1,3],c[1,2],c[1,3]},{c[2,1]+2c[2,3],c[2,2],c[2,3]},{c[3,1]+2c[3,3],c[3,2],c[3,3]}}In[22]:=MatrixForm[%]Out[22]//MatrixForm=c[1,1]+2c[1,3]c[1,2] c[1,3]c[2,1]+2c[2,3]c[2,2] c[2,3]c[3,1]+2c[3,3]c[3,2]c[3,3]8．1）问题分析年龄组为5岁一段，故将时间周期也取5年。15年经过3个周期。用k=1,2,3分别表示第一、二三个周期，xi（k）表示第i个年龄组在第k个周期的数量。由题意，有如下矩阵递推关系：就£)=L懿一V}„k=1,2,3fCl4何〔硏L=1/200兀(Q10001/4旧(Q丿JCl吗2)实验操作In[1]:=L={{0，4，3},{1/2，0，0}，{0，1/4，0}};x0={1000，1000，1000};In[2]:=Do[x0=L.x0;Print[x0],{3}]Out[2]={7000，500，250}{2750，3500，125}{14375，1375，875}In[3]:=t=x0.{1,1,1}Out[3]=16625In[4]:=x0/t//NOut[4]={0.864662,0.0827068,0.0526316}结果分析：15年后，农场饲养的动物总数将达到16625头，其中0——5岁的有14375头，占总数的86.47%，6——10岁的有1375头，占8.27%，11——15岁的有875头，占5.226%，15年间，动物总增长13625头，总增长率为13625/3000=454.16%。思考与提高怎样计算两个向量外积和三个向量的混合积？怎样判断向量组是否线性相关？用如下三个向量组成的向量组实验：Mathematica中的向量在进行计算时是否区分行向量或列向量?4．怎样求一个矩阵的伴随矩阵？怎样输入一个非0元全为数a的200150阶的下三角矩阵？怎样输入一个皿％n阶的三对角矩阵？练习内容计算如下行列式22Duuu++++wp0222——I..1—22Duuu++++wp0222——I..1——...——I.222239 27141664152512fi已知向量v={l,l,0,7}，向量u={2,l,5,2}1234.4=23451234.4=23453456矩阵—]234_2312111-1B=_10-2-6_求：1)A+B 1)A+B 2)求A-B的值3)5A6)u与6)u与v的点积.9)A的转置AT7)Av 8)vTA；10)A-1用矩阵的初等行变换把矩阵TOC\o"1-5"\h\z-2 5 -11 -9 13A—3 -1 58-1化为上三角矩阵。求月0r0A=00,E=00」f=l540,2=001°°;丿7验证Bn=典畅4这里3=06.利用克莱姆法则求解下列线性方程组6.利用克莱姆法则求解下列线性方程组我国古代有“齐王赛马”的事例,说的是战国时代齐王与其大将田忌赛马,双方约定各出上、中、下3个等级的马各一匹进行比赛,这样共赛马3次,每次比赛的败者付给胜者一百金.已知在同一等级马的比赛中,齐王之马可稳操胜券,但田忌的上,中等级的马分别可胜齐王中,下等级的马，试问1）田忌是否一定会败给齐王？2）在所有可能的比赛中，齐王取胜的比赛总共有多少次？下图给出某城市单行街道的交通流量（每小时过车数）。x3100x6x4400

x4400300200x2x5x7x1600—300x8500200400x9x10300200x2x5x7x1600—300x8500200400第2章线性方程组与矩阵特征值问题实验目的理解线性方程组和解的概念、理解一般线性方程组解的结构及基础解系概念。理解矩阵特征值和特征向量概念和求法、理解矩阵特征值的性质、理解方阵对角化问题。熟悉Mathematia数学软件求解线性方程组解的命令和求矩阵特征值和特征向量的命令，能借助Mathematia数学软件解方阵的对角化问题。实验准备数学概念1．线性方程组2．基础解系3．矩阵特征值和特征向量数学软件命令RowReduce[A]功能：用行初等变换把A化为阶梯形，A为m行，n列矩阵.LinearSolve[A,B]功能：求满足AX=B的一个解，A为方阵.NullSpace[A]

功能：求线性方程组AX=O的基础解系的向量表，A为方阵.Eigenvalues[A]功能：求矩阵A的特征值表，这里的矩阵元素最好有一个是带有小数点的数.Eigenvectors[A]功能：求矩阵A的特征向量表，这里的矩阵元素最好有一个是带有小数点的数.Eigensystem[A]功能：求A的所有特征值，特征向量组成的表，这里的矩阵元素最好有一个是带有小数点的数.2.3实验任务基础实验本实验熟悉数学软件命令操作。S2 -1S2 -12-13J0 51.求矩阵A=-3-P1-3_1-砂的秩,并计算AX=0的基础解系.2.设円=[2, 1, 3, -2];a2=[10? 5? 5, 11, -3}也=低 3, 1, 5, 1]卫4=«乙-I2, 10]求向量组的秩和一个极大无关组。—奄+斗专_3忑4=TX]+勺—叼=—孑对+^2+^3=17xi+7码一辺=33•求方程组匚 的通解。珂+忑3=比TOC\o"1-5"\h\z<4xi+^2+2xj=^+2+疋？+ =2^+34•确定线性方程组J 中k满足什么条件时，方程组1）无解；2）有非零解；3）在有非零解的条件下求出其通解。5 2 P川=-1 2 1,0 4 2,已知矩阵' ',求1）矩阵A的特征值表；

2)求矩阵A的特征向量表；求A的所有特征值，特征向量组成的表.探索实验本实验探索矩阵函数f(A)特征值问题设函数f(x)=X2+2x+3,矩阵函数f(A)=A2+2A+3E,这里A为方阵，E为单位矩阵，验证如果p是A的特征值。则f(p)为矩阵函数值。则f(p)为矩阵函数f(A)的特征值，这里用验证。应用实验部分:分配问题有甲、乙、丙三种化肥，甲种化肥每千克含氮70克，磷8克，钾2克；乙种化肥每千克含氮64克，磷10克，钾0.6克；丙种化肥每千克含氮70克，磷5克，钾1.4克．若把此三种化肥混合，要求总重量23千克且含磷149克，钾30克，问三种化肥各需多少千克？现有一个木工，一个电工和一个油漆工，三人相互同意彼此装修他们自己的房子，在装修之前，他们达成了如下协议：(1)每人总共工作10天(包括给自己家干活在内)；(2)每人的日工资根据一般的市价60~80元之间；(3)每人的日工资数应使得每人的总收入与总支出相等．表1是他们协商后制定出的工作天数的分配方案，如何计算出他们每人应得的工资？表1工种天数木工电工油漆工在木工家的工作天数216在电工家的工作天数451在油漆工家的工作天数4432.4实验过程1.In[1]:=a={{3,2,-1,-3,-1},{2,-1,3,1,-3},{7,0,5,-1,-8}}；In[2]:=RowReduce[a]Out[2]={{1,0,5/7,-1/7,0},{0,1,-11/7,-9/7,0},{0,0,0,0,1}}In[3]:=MatrixForm[%]Out[3]//MatrixForm=105/7-1/7001-11/7-9/70

（*通过阶梯形可以得知矩阵A的秩是3*）In[4]:=NullSpace[a]Out[4]={{1,9,0,7,0},{-5,11,7,0,0}}*得齐次线性方程组AX=0的基础解系的两个线性无关解*）因此，所求基础解系为因此，所求基础解系为2.In[1]:=b={{2,1,2,3,-2},{10,5,5,11,-3},{6,3,1,5,1},{4,2,-1,2,10}}；In[2]:=RowReduce[b]Out[2]={{1,1/2,0,7/10,0},{0,0,1,4/5,0},{0,0,0,0,1},{0,0,0,0,0}}In[3]:=MatrixForm[%]Out[3]//MatrixForm=ll/207/l0000l4/500000l00000通过阶梯形可以得知向量组的秩是3，为了找出一个极大无关组，做试验：In[4]:=b1={{2,1,2,3,-2},{10,5,5,11,-3},{4,2,-1,2,10}}；In[5]:=RowReduce[b1]Out[5]={{1,1/2,0,7/10,0},{0,0,1,4/5,0},{0,0,0,0,1}}In[6]:=MatrixForm[%]Out[6]//MatrixForm=ll/207/l0000l4/500000l通过阶梯形可以得知向量组bl的秩也是3,因此向量a,a,a是一个极大无关组。124

3.In[1]:=a={{2,-1,4,-3},{1,0,1,-1},{3,1,1,0},{7,0,7,-3}}；In[2]:=b={-4,-3,1,3}；In[3]:=x1=LinearSolve[a,b]Out[3]={3,-8,0,6}Out[3]={3,-8,0,6}*方程组ax=b的一个特解x1*)In[4]:=In[4]:=NullSpace[a]Out[4]={{-1,2,1,0}}Out[4]={{-1,2,1,0}}*基础解向量组只有一个解*)In[5]:=x=k*%[[1]]+x1In[5]:=x=k*%[[1]]+x1*x为ax=b的全部解*)Out[5]={3-k,-8+2k,*kOut[5]={3-k,-8+2k,*k为任意实数*)因此，所求通解为k,6}，k为任意实数。4.In[1]:=m={{1,0,1,k},{4,1,2,k+2},{6,1,4,2k+3}}; 4.In[1]:=m={{1,0,1,k},{4,1,2,k+2},{6,1,4,2k+3}}; （*m为增广矩阵*）In[2]:=MatrixForm[m]Out[2]]//MatrixForm=In[3]:=m[[2]]=m[[2]]-4m[[1]];Out[2]]//MatrixForm=In[3]:=m[[2]]=m[[2]]-4m[[1]];m[[3]]=m[[3]]-6m[[1]];(*对m[[3]]=m[[3]]-6m[[1]];(*对m做行初等变换*)In[4]:=MatrixForm[m]Out[4]//MatrixForm=-2-3In[5]:=m[[3]]=m[[3]]-m[[2]];MatrixForm[m]Out[5]//MatrixForm=101k01-22-3k0001-k从变换后的增广矩阵可以知道：当kHl时，系数矩阵的秩r(A)=2，增广矩阵的秩r(m)=3，因此无解。当k=1时，系数矩阵的秩r(A)=2,增广矩阵的秩r(m)=2，因此有无穷多解，下面求此解:In[6]:=a={{l，0，l}，{4，l，2}，{6，l，4}};b={l，3，5};In[7]:=xl=LinearSolve[a,b]Out[7]={l,-l,0}In[8]:=NullSpace[a]Out[8]={{-l,2,l}} (*基础解向量组只有一个解*)In[9]:=x=k*%[[l]]+xlOut[l0]={l-k,-l+2k,k}(*k为任意实数*)5.In[l]:=a={{l.0,2,l},{-l,2,l},{0,4,2}};In[2]:=Eigenvalues[a]Out[2]={3.,2.,9.52566x10-17}In[3]:=Eigenvectors[a]Out[3]={{0.588348,0.196116,0.784465},{-0.707107,7.47422x10-18 ,-0.707107},{-1.71995x10-16,-0.447214,0.894427}}In[4]:=Eigensystem[a]Out[4]={{3.,2.,9.52566x10-17},{{0.588348,0.196116,0.784465},{-0.707107,7.47422x10-18 ,-0.707107},{-1.7199510-16,-0.447214,0.894427}}}因此所求特征值为3，2，0，三个线性无关的特征向量为{{0.588348,0.196116,0.784465},{-0.707107,0,-0.707107},{0,-0.447214,0.894427}}}这里可以把非常小的数看作领处理。6.In[1]:=a={{-1,1,0},{-4,3,0},{1,0,2.0}};In[2]:=MatrixForm[a]Out[2]//MatrixForm=TOC\o"1-5"\h\z-1 1 0-4 3 01 0 2.0In[3]:=Eigenvalues[a]Out[3]={2.,1.,1.}In[4]:=f[x_]:=x"2+2x+3In[5]:=b=a.a+2.a+3IdentityMatrix[3]Out[5]={{-2.,4.,0.},{-16.,14.,0.},{3.,1.,11.}}In[6]:=MatrixForm[b]Out[6]]//MatrixForm=TOC\o"1-5"\h\z-2 4 0-16 14 03 1 11In[7]:=Eigenvalues[b]Out[7]={11.,6.,6.}In[8]:={f[2],f[1],f[1]}Out[8]={11.,6.,6.}1）问题分析设甲、乙、丙三种化肥各须込込’千克，以题意得方程组:五]十兀玄十屯—23,，8^+10^2+5^5=149,2xy+0.6^2+1.4x3=30.2）操作过程In[1]:=a={{1,1,1},{8,10,5},{2,0.6,1.4}};In[2]:=b={23,149,30}In[3]:=LinearSolve[a,b]Out[3]={3.,5.,15.}X,=3,Xn=5,x,=15所以方程的解为1 ' 3 ,故甲、乙、丙三种化肥各须3千克，5千克，15千克。8.1） 问题分析设x表示木工的日工资；x表示电工的日工资；x表示油漆工的日工资•根据协议中每人总支出与总收入123相等的原则，分别考虑木工、电工及油漆工的总收入和总支出。首先由表的在木工家工作数据，因为木工的日工资为xi，则木工的10个工作日总收入为10xi，而木工、电工及油漆工三人在木工家工作的天数分别为：2天，1天\6天,则木工的总支出为2x+x+6x••于是木工的收支平衡关系可描述为：2x+x+6x=10x•类TOC\o"1-5"\h\z1 2 3 1 2 3 1似地可以得到另外两个方程，于是我们得到如下三元一次齐次线性方程组：2x+x+6x=10x12 3 14x+5x+x=10x1 23 24x+4x+3x=10x1 2 3 3整理后，得-8x+x+6x=01 2 34x-5x+x=01 2 34x+4x-7x=0123求出如上齐次线性方程组后，在根据每人的日工资范围即可获得本问题的解。2） 操作过程In[1]:=a={{-8,1,6},{4,-5,1},{4,4,-7}};Out[2]={{31,32,36}}因此，方程的通解为x=k{31,32,36}={31k,32k,36k},k为任意实数，每人的日工资范围在60至80元,于是应该有60<x=31k〈80,60〈x=32k〈80,60〈x=36k<80同时成立，解之可得1 2 31.9355q60/31〈k〈80/36u2.222k在[1.9355,2.222]范围时都满足要求。例如，做如下计算：In[3]:=k{31,32,36}/.k->1.9355Out[3]={{31,32,36}}In[4]:=k{31,32,36}/.k->2.222Out[4]={68.882,71.104,79.992}In[5]:=k{31,32,36}/.k->2Out[5]={62,64,72}因此如果要求日工资的最小单位都为元，则可以选k=2,此时有木工、电工、油漆工每人每天日工资应为x=62元x=64元12x=72元32.5思考与提高能否通过求解矩阵A的特征多项式根的方法求出矩阵A的特征值？考虑采用这种方法与直接用求特征值的数学软件命令方法的有何区别？分别用这