河北省衡水滁州分校2022-2023学年高三第二次诊断性检测数学试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知数列满足,(),则数列的通项公式()A． B． C． D．2．点是单位圆上不同的三点，线段与线段交于圆内一点M，若，则的最小值为（）A． B． C． D．3．如图所示是某年第一季度五省GDP情况图，则下列说法中不正确的是（）A．该年第一季度GDP增速由高到低排位第3的是山东省B．与去年同期相比，该年第一季度的GDP总量实现了增长C．该年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省份有2个D．去年同期浙江省的GDP总量超过了4500亿元4．计算等于()A． B． C． D．5．已知函数，若，，,则a，b，c的大小关系是（）A． B． C． D．6．已知集合，，若，则（）A．4 B．－4 C．8 D．－87．若双曲线的一条渐近线与圆至多有一个交点，则双曲线的离心率的取值范围是（）A． B． C． D．8．一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球1个、黑球2个，现随机等可能取出小球，当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为；当无放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为，则（）A．， B．，C．， D．，9．斜率为1的直线l与椭圆相交于A、B两点，则的最大值为A．2 B． C． D．10．如图所示，直三棱柱的高为4，底面边长分别是5，12，13，当球与上底面三条棱都相切时球心到下底面距离为8，则球的体积为()A．1605π3 B．64211．已知集合，，，则()A． B． C． D．12．已知集合，集合，则（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在中，为定长，，若的面积的最大值为，则边的长为____________．14．在的展开式中，的系数为______用数字作答15．在正方体中，已知点在直线上运动，则下列四个命题中：①三棱锥的体积不变；②；③当为中点时，二面角的余弦值为；④若正方体的棱长为2，则的最小值为；其中说法正确的是____________（写出所有说法正确的编号）16．若函数满足：①是偶函数；②的图象关于点对称.则同时满足①②的，的一组值可以分别是__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为，（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（Ⅰ）求的极坐标方程和的直角坐标方程；（Ⅱ）设分别交于两点（与原点不重合），求的最小值.18．（12分）已知函数.（1）当时，判断在上的单调性并加以证明；（2）若，，求的取值范围.19．（12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数）.以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位，建立极坐标系.（1）设直线l的极坐标方程为，若直线l与曲线C交于两点A．B，求AB的长；（2）设M、N是曲线C上的两点，若，求面积的最大值.20．（12分）[选修4-5：不等式选讲]:已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）设，，且的最小值为.若，求的最小值.21．（12分）已知函数.（Ⅰ）解不等式；（Ⅱ）设其中为常数.若方程在上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围.22．（10分）在中，角所对的边分别为，，的面积.（1）求角C；（2）求周长的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

利用数列的递推关系式，通过累加法求解即可．【详解】数列满足：，，可得以上各式相加可得：，故选：．【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用，数列累加法以及通项公式的求法，考查计算能力．2、D【解析】

由题意得，再利用基本不等式即可求解．【详解】将平方得，（当且仅当时等号成立），，的最小值为，故选：D．【点睛】本题主要考查平面向量数量积的应用，考查基本不等式的应用，属于中档题．3、D【解析】

根据折线图、柱形图的性质，对选项逐一判断即可.【详解】由折线图可知A、B项均正确，该年第一季度总量和增速由高到低排位均居同一位的省份有江苏均第一.河南均第四.共2个.故C项正确；.故D项不正确.故选：D.【点睛】本题考查折线图、柱形图的识别，考查学生的阅读能力、数据处理能力，属于中档题.4、A【解析】

利用诱导公式、特殊角的三角函数值，结合对数运算，求得所求表达式的值.【详解】原式.故选：A【点睛】本小题主要考查诱导公式，考查对数运算，属于基础题.5、D【解析】

根据题意，求出函数的导数，由函数的导数与函数单调性的关系分析可得在上为增函数，又由，分析可得答案．【详解】解：根据题意，函数，其导数函数，则有在上恒成立，则在上为增函数；又由，则；故选：．【点睛】本题考查函数的导数与函数单调性的关系，涉及函数单调性的性质，属于基础题．6、B【解析】

根据交集的定义，，可知，代入计算即可求出.【详解】由，可知，又因为，所以时，，解得.故选：B.【点睛】本题考查交集的概念，属于基础题.7、C【解析】

求得双曲线的渐近线方程，可得圆心到渐近线的距离，由点到直线的距离公式可得的范围，再由离心率公式计算即可得到所求范围．【详解】双曲线的一条渐近线为，即，由题意知，直线与圆相切或相离，则，解得，因此，双曲线的离心率.故选：C.【点睛】本题考查双曲线的离心率的范围，注意运用圆心到渐近线的距离不小于半径，考查化简整理的运算能力，属于中档题．8、B【解析】

分别求出两个随机变量的分布列后求出它们的期望和方差可得它们的大小关系.【详解】可能的取值为；可能的取值为，，，，故，.，，故，,故，.故选B.【点睛】离散型随机变量的分布列的计算，应先确定随机变量所有可能的取值，再利用排列组合知识求出随机变量每一种取值情况的概率，然后利用公式计算期望和方差，注意在取球模型中摸出的球有放回与无放回的区别.9、C【解析】

设出直线的方程，代入椭圆方程中消去y，根据判别式大于0求得t的范围，进而利用弦长公式求得|AB|的表达式，利用t的范围求得|AB|的最大值．【详解】解：设直线l的方程为y＝x+t，代入y2＝1，消去y得x2+2tx+t2﹣1＝0，由题意得△＝（2t）2﹣1（t2﹣1）＞0，即t2＜1．弦长|AB|＝4．故选：C．【点睛】本题主要考查了椭圆的应用，直线与椭圆的关系．常需要把直线与椭圆方程联立，利用韦达定理，判别式找到解决问题的突破口．10、A【解析】

设球心为O，三棱柱的上底面ΔA1B1C1的内切圆的圆心为O1，该圆与边B【详解】如图，设三棱柱为ABC-A1B1C所以底面ΔA1B1C1为斜边是A1C1则圆O1的半径为O设球心为O，则由球的几何知识得ΔOO1M所以OM=2即球O的半径为25所以球O的体积为43故选A．【点睛】本题考查与球有关的组合体的问题，解答本题的关键有两个：（1）构造以球半径R、球心到小圆圆心的距离d和小圆半径r为三边的直角三角形，并在此三角形内求出球的半径，这是解决与球有关的问题时常用的方法．（2）若直角三角形的两直角边为a,b，斜边为c，则该直角三角形内切圆的半径r=a+b-c11、A【解析】

求得集合中函数的值域，由此求得，进而求得.【详解】由，得，所以，所以.故选：A【点睛】本小题主要考查函数值域的求法，考查集合补集、交集的概念和运算，属于基础题.12、C【解析】

求出集合的等价条件,利用交集的定义进行求解即可.【详解】解：∵,,∴,故选：C.【点睛】本题主要考查了对数的定义域与指数不等式的求解以及集合的基本运算,属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

设，以为原点，为轴建系，则，，设，，，利用求向量模的公式，可得，根据三角形面积公式进一步求出的值即为所求.【详解】解：设，以为原点，为轴建系，则，，设，，则，即，由，可得.则.故答案为：.【点睛】本题考查向量模的计算，建系是关键，属于难题.14、1【解析】

利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令，求出展开式中的系数．【详解】二项展开式的通项为令得的系数为故答案为1．【点睛】利用二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．15、①②④【解析】

①∵，∴平面

，得出上任意一点到平面的距离相等，所以判断命题①；②由已知得出点P在面上的射影在上，根据线面垂直的判定和性质或三垂线定理，可判断命题②；③当为中点时，以点D为坐标原点，建立空间直角系，如下图所示，运用二面角的空间向量求解方法可求得二面角的余弦值，可判断命题③；④过作平面交于点，做点关于面对称的点，使得点在平面内，根据对称性和两点之间线段最短，可求得当点在点时，在一条直线上，取得最小值.可判断命题④.【详解】①∵，∴平面

，所以上任意一点到平面的距离相等，所以三棱锥的体积不变，所以①正确；

②在直线上运动时，点P在面上的射影在上，所以DP在面上的射影在上，又，所以，所以②正确；③当为中点时，以点D为坐标原点，建立空间直角系，如下图所示，设正方体的棱长为2.则:，，所以，设面的法向量为，则，即，令，则，设面的法向量为，，即，，由图示可知，二面角是锐二面角，所以二面角的余弦值为，所以③不正确；④过作平面交于点，做点关于面对称的点，使得点在平面内，则，所以，当点在点时，在一条直线上，取得最小值.因为正方体的棱长为2，所以设点的坐标为，，，所以，所以，又所以，所以，，，故④正确.

故答案为：①②④.【点睛】本题考查空间里的线线，线面，面面关系，几何体的体积，在求解空间里的两线段的和的最小值，仍可以运用对称的思想，两点之间线段最短进行求解，属于难度题.16、，【解析】

根据是偶函数和的图象关于点对称，即可求出满足条件的和.【详解】由是偶函数及，可取，则，由的图象关于点对称，得，，即，，可取.故，的一组值可以分别是，.故答案为：，.【点睛】本题主要考查了正弦型三角函数的性质，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）直线的极坐标方程为，直线的极坐标方程为，的直角坐标方程为；（Ⅱ）2.【解析】

（Ⅰ）由定义可直接写出直线的极坐标方程，对曲线同乘可得：，转化成直角坐标为；（Ⅱ）分别联立两直线和曲线的方程，由得，由得，则，结合三角函数即可求解；【详解】（Ⅰ）直线的极坐标方程为，直线的极坐标方程为由曲线的极坐标方程得，所以的直角坐标方程为.（Ⅱ）与的极坐标方程联立得所以.与的极坐标方程联立得所以.所以.所以当时，取最小值2.【点睛】本题考查参数方程与极坐标方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，极坐标中的几何意义，属于中档题18、（1）在为增函数；证明见解析（2）【解析】

（1）令，求出，可推得，故在为增函数；（2）令，则，由此利用分类讨论思想和导数性质求出实数的取值范围.【详解】（1）当时，.记，则，当时，，.所以，所以在单调递增，所以.因为，所以，所以在为增函数.（2）由题意，得，记，则，令，则，当时，，，所以，所以在为增函数，即在单调递增，所以.①当，，恒成立，所以为增函数，即在单调递增，又，所以，所以在为增函数，所以所以满足题意.②当，，令，，因为，所以，故在单调递增，故，即.故，又在单调递增，由零点存在性定理知，存在唯一实数，，当时，，单调递减，即单调递减，所以，此时在为减函数，所以，不合题意，应舍去.综上所述，的取值范围是.【点睛】本题主要考查了导数的综合应用，利用导数研究函数的单调性、最值和零点及不等式恒成立等问题，考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想，考查了学生的逻辑推理和运算求解能力，属于难题.19、（1）；（2）1.【解析】

（1）利用参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化公式即可；（2），，由（1）通过计算得到，即最大值为1.【详解】（1）将曲线C的参数方程化为普通方程为，即；再将，，代入上式，得，故曲线C的极坐标方程为，显然直线l与曲线C相交的两点中，必有一个为原点O，不妨设O与A重合，即.（2）不妨设，，则面积为当，即取时，.【点睛】本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化，三角形面积的最值问题，是一道容易题.20、（1）（2）【解析】

（1）当时，，原不等式可化为，分类讨论即可求得不等式的解集；（2）由题意得，的最小值为，所以，由，得，利用基本不等式即可求解其最小值．【详解】（1）当时，，原不等式可化为，①当时，不等式①可化为，解得，此时；当时，不等式①可化为，解得，此时；当时，不等式①可化为，解得，此时，综上，原不等式的解集为.（2）由题意得，，因为的最小值为，所以，由，得，所以，当且仅当，即，时，的最小值为.【点睛】本题主要考查了绝对值不等式问题，对于含绝对值不等式的解法有两个基本方法，