《变化率与导数》要点讲解

《变化率与导数》要点讲解一、求导的基本方法——导数极限定义函数y=f(x)在点x0的导数，正好就等于函数曲线在点M（x0，f（x0））的切线斜率.我们看看这个结论是如何得出的.右边这个图，在x0右边距离为△x的地方另取一点，那么曲线上相应的点M1的坐标为（x0+△x，f（x0+△x）），我们将点M和M1连起来，得到一条直线，我们称之为“割线”，显然它不是我们所要的切线.这条割线的斜率是多少呢？割线MM1的斜率=请注意，如果这时我们沿着曲线f（x）移动点M1，使它逐渐接近点M（也就是让△x缩小，最后变成0），割线MM1就会逐步移动，渐渐靠近切线MT，向切线MT逼近.从图中可以看出，当M1沿着曲线逐渐向M靠拢时，MM1的斜率也会向MT的斜率逐渐靠近.我们可以把上面这句话写成：当△x→0，MM1的斜率→MT的斜率.用式子表示：切线MT的斜率=这就是导数的定义.△x中在x前面的那个三角形，是一个大写希腊字母，读作delta，相当于英文字母的D.据说牛顿年轻的时候，由于先天有某种障碍缺陷，无法精通某种秘密的握手方式，结果不幸因此被一个名称中带△的兄弟会拒绝了他的入会申请.当时他当然非常失望，他后来幽默地用了这个让他毕生最伤心的字母，作为他一生最伟大的成就（微积分）的基石.他用△x这个符号，来代表x的微小变化.导数的定义还可以有其他形式，比如用h替代△x：还可以用x替代x0，得到：我们假设，这样，当△x→0，就相当于x→x0，可以把式子改写成：从外表看，似乎跟原来的定义不一样了，但实质是一回事.什么时候我们会用到导数的极限定义去计算导数呢？只有在考核对导数定义的理解时才会遇到，平时是不会用到的.二、导数几何意义的应用函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线的斜率.它把函数的导数与曲线的切线联系在一起，使导数成为函数知识与解析几何知识交汇的一个重要载体.因此，用导数解决与切线有关的问题将是高考命题的一个热点.导数几何意义的应用涉及如下几类问题.一、切线的夹角问题例1已知抛物线y＝x2﹣4与直线y＝x＋2相交于A、B两点，过A、B两点的切线分别为l1和l2.(1)求直线l1与l2的夹角.解析：由方程组eq\b\lc\{(\s(,))eq\s(y＝x2﹣4,y＝x＋2)，解得A(－2，0)，B(3，5)，由y＝2x，则y|x＝－2＝﹣4，y|x＝3＝6，设两直线的夹角为θ，根据两直线的夹角公式，tanθ＝|eq\f(－4－6,1＋(－4)×6)|＝eq\f(10,23),所以θ＝arctaneq\f(10,23).点拨：解答此类问题分两步：第一步根据导数的几何意义求出曲线两条切线的斜率；第二步利用两条直线的夹角公式求出结果(注意两条直线的夹角公式有绝对值符号).二、两条曲线的公切线问题例2已知抛物线C1：y＝x2＋2x和C2：y＝－x2＋a.如果直线l同时是C1和C2的切线，称直线l是C1和C2的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段.(1)a取什么值时，C1和C2有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程；(2)若C1和C2有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分.解析：(1)函数y＝x2＋2x的导数y＝2x＋2，曲线C1在点P(x1，xeq\o(2,1)＋2x1)处的切线方程是y－(xeq\o(2,1)＋2x1)＝(2x1＋2)(x－x1)，即y＝(2x1＋2)x－xeq\o(2,1)…①，函数y＝－x2＋a的导数y＝－2x，曲线C2在点Q(x2，－xeq\o(2,2)＋a)处的切线方程是y－(－xeq\o(2,2)＋a)＝－2x2(x－x2)，即y＝－2x2x＋xeq\o(2,2)＋a，…②如果直线l是过P和Q的公切线，则①式和②式都是直线l的方程，所以eq\b\lc\{(\s(,))eq\s(x1＋1＝－x2,－xeq\o(2,1)＝xeq\o(2,2)＋a)，消去x2得方程2xeq\o(2,1)＋2x1＋1＋a＝0.当判别式△＝4－4×2(1＋a)＝0时，即a＝－eq\f(1,2)时，解得x1＝－eq\f(1,2)，此时点P和Q重合，即当a＝－eq\f(1,2)时，C1和C2有且仅有一条公切线，由①得公切线的方程为y＝x－eq\f(1,4).（Ⅱ）证明：