《2解直角三角形》案例

《解直角三角形》教学案例【教学内容】上海教育出版社九年义务教育课本九年级第一学期（试用本）第二十五章第二节P72～P73页Ⅰ：教案【教学目标】1、理解直角三角形中五个元素之间的关系，并能熟练地运用这些关系解直角三角形。2、通过运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角比解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力。3、渗透数形结合的数学思想，感悟数学知识的内在联系，培养学生的知识迁移能力。【教学重难点】重点：运用直角三角形五个元素之间的关系，选择恰当的方法解直角三角形。难点：三角比在解直角三角形中的灵活运用。【教学过程】创设问题，引入课题：1、在△ABC中，∠C＝90°，根据表中的数据求其它元素的值：abc∠A∠B1630°645°60°8EQ\R(3)8 5EQ\R(2)10在直角三角形中，由已知元素求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。通过几个简单的问题，揭示什么叫解直角三角形，从而使学生明确解直角三角形与直角三角形的概念、性质、判定和作图之间的联系。围绕问题展开探索研究，进行归纳验证：1、围绕问题开展探究例题1、根据下列条件，你能解这样的直角三角形吗？如能，请解这个直角三角形。如不能，请说明理由。（1）在RtABC中，已知∠C为直角，c=287，∠B=42º6’；（2）在RtABC中，已知∠C为直角，a=，c=；（3）在RtABC中，已知∠C为直角，∠A=600，∠B=300，解直角三角形的方法很多，灵活多样，学生完全可以自己解决，但例题具有示范作用。因此，此三题在处理时，应尽可能让学生独立完成，培养分析问题、解决问题能力，同时可以渗透数形结合的思想。总结一：在解上述的题目中，你用到了直角三角形那些边角之间的关系。2、根据解题的过程，进行归纳总结：在直角三角形ABC中，∠C=90º，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？（1）三边之间关系：a²+b²=c²（勾股定理）（2）锐角之间关系：∠A+∠B=90º（3）边角之间关系：sinA=cosA=tanA=cotA=.其中A可以换为B以上三点正是解直角三角形的依据，通过前面的练习，使学生更容易掌握它们之间的关系，从而进一步提高学生解题的能力。当然我们还可以把以上每个边角关系式都可看作方程，解直角三角形的思路，就是根据已知条件，正确地选择直角三角形中边角之间的关系式，通过解一元方程来求解。总结二：在直角三角形中，除直角外还有五个元素，知道两个元素（至少有一个是边）（为什么？），就可以求出另外三个元素。那么什么样的直角三角形才可解呢？如果已知两个锐角能否解直角三角形呢？事实上，解直角三角形跟直角三角形的判定与作图有着本质的联系，因为已知两个元素（至少有一个是边）可以判定直角三角形全等，也可以作出直角三角形，此时直角三角形是确定的，所以这样的直角三角形是可解的。而由于已知两个锐角的直角三角形是不确定的，它们是无数多个相似的直角三角形，因此求不出各边的长，所以，要解一个直角三角形，在给出的除直角外的两个元素中，必须至少有一个是边。这样，解直角三角形就分为两大类，第一类是已知一条边及一个锐角，第二类是已知两条边解直角三角形。四种基本类型和解法列表如下：3、运用直角三角形的边角关系，进行知识的巩固：已知条件解法一边及一锐角直角边及锐角A∠B＝900－∠A，b＝·cotA，斜边c及锐角A∠B＝90°－∠A，＝c·sinA，b＝c·cosA两边两条直角边和b，∠B＝90°－∠A，直角边和斜边c，∠B＝90°－∠A，知识的运用与巩固例题2：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A－∠B＝30°，，解这个直角三角形。例3、如图3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是BC边上的中线。（1）若BD＝6，∠B＝35°，求AD的长；（2）若∠ABC＝，∠ADC=，求证：tan＝2tan说明：解直角三角形时，要注意三角形中主要线段的性质和一些隐含的条件，利用平面几何的有关性质定理，往往能够建立已知与未知的联系，找到解决问题的突破口。四、课堂练习：书本P73五、课堂小结（1）解直角三角形的一般步骤： 1、已知一边和一角，先求另一锐角，再用三角比求未知边；2、已知两边，先用勾股定理求第三边，再由边角关系求两锐角。（2）解一个直角三角形的基本条件：解一个直角三角形的基本条件是：除直角以外的五个元素中的两个元素，其中至少有一条边。（3）解直角三角形的方法：解直角三角形要运用勾股定理、锐角三角比的知识，有时我们可以看成方程的形式，列出等式。对于比较复杂的问题，要认真分析题意，细心观察图形。从图形中找到边角之间的关系式。Ⅱ：教案设计说明解直角三角形在学习锐角三角比后安排的，目的是运用锐角三角比知识，并对其加以复习巩固，所以设计教案时从特殊的直角三角形出发引导学生理解解直角三角形。本课又为以后的实际问题中的应用举例打下基础，因为在今后需要解决实际问题的时候，就是运用本课《解直角三角形》的知识来解决的，所以解直角三角形是今后解实际应用题的基础，综上所述，解直角三角形这一课在本章中是起到承上启下作用的重要一课。因此需要学生熟练掌握，为此，教材配备了各种练习，针对各种条件，使学生熟练解直角三角形，培养学生运算能力。由于学生在学习解直角三角形之前对于直角三角形的边角之间的关系有了一定的了解，所以设计教案时就直接用一些特殊边角关系，引导出解直角三角形的定义，学生也会感觉自然，亲切。然后学生通过计算发现解直角三角形的基本条件，学生会有感而发，把解直角三角形就分为两大类，第一类是已知一条边及一个锐角，第二类是已知两条边。我在设计的时候通过填表格，强调了“条件”和“结论”。使学生明确地知道在解题时如何正确的运用直角三角形边角之间的关系，使这样的总结起到事半功倍的作用。这里要说明是解非特殊角的直角三角形计算上比较繁琐，要注意发掘图形的几何性质，利用线段和差的等量关系列出方程。还要熟练地掌握特殊锐角的三角比值，以使解答过程的表述简洁，培养起良好的学习习惯。Ⅲ：教学反思学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者，引导者与合作者。在教学中我根据学生实际，充分

发挥教材的优势，让每一个学生真正的感悟数学知识的内在奥秘，在学习中体会学习数学的快乐。本节课我是以学生感知教学内容，逐步掌握数学课本的方法和技巧，培养他们的自学能力和独立思考的习惯。在学生已有知识的基础上，设计了通过学生的思考产生学生的结论，这时教师应及时检查学生思考、分析的效果，迅速获取反馈信息，并作必要的总结，以帮助学生将新知识纳入原有的知识结构中去，培养学生分析，综合，抽象，概括的能力，促进学生思维发展。通过一定的基本的练习，