《事件的相互独立性》设计

《事件的相互独立性》教学设计【教学目标】1.结合有限样本空间，理解解两个随机事件独立性的含义．2．通过利用随机事件的独立性计算概率，培养学生数学运算素养.【教学重点】理解事件独立性的概念并能利用独立性计算概率【教学难点】利用随机事件的独立性计算概率【课时安排】1课时【教学过程】认知初探1．相互独立事件的定义对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立．2.相互独立事件的性质当事件A，B相互独立时，则事件A与事件eq\o(B,\s\up12(－))相互独立，事件eq\o(A,\s\up12(－))与事件B相互独立，事件eq\o(A,\s\up12(－))与事件eq\o(B,\s\up12(－))相互独立．思考：(1)事件A与B相互独立可以推广到n个事件的一般情形吗？(2)公式P(AB)＝P(A)P(B)可以推广到一般情形吗？小试牛刀1.设A与B是相互独立事件，则下列命题中正确的是()与B是对立事件与B是互斥事件与eq\x\to(B)是不相互独立事件与eq\x\to(B)是相互独立事件D解析：∵A与B是相互独立事件，∴P(AB)＝P(A)P(B)，∴P(Aeq\o(B,\s\up6(－)))＝P(A)－P(AB)＝P(A)－P(A)P(B)＝P(A)·[1－P(B)]＝P(A)P(eq\x\to(B))，∴事件A与eq\x\to(B)是相互独立事件．故选D.2.若A，B是相互独立事件，且P(A)＝eq\f(1,4)，P(B)＝eq\f(2,3)，则P(Aeq\o(B,\s\up15(－)))＝()\f(1,12)\f(1,6)\f(1,4)\f(1,2)A解析∵A，B是相互独立事件，且P(A)＝eq\f(1,4)，P(B)＝eq\f(2,3)，则A与eq\o(B,\s\up15(－))也是相互独立事件，∴P(Aeq\o(B,\s\up15(－)))＝P(A)·P(eq\o(B,\s\up15(－)))＝eq\f(1,4)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,12).故选A.3.袋中装有红、黄、蓝3种颜色的球各1个，从中每次任取1个，有放回地抽取3次，则3次全是红球的概率为()\f(1,4)\f(1,9)\f(1,3)\f(1,27)D解析:有放回地抽取3次,每次可看作一个独立事件.每次取出的球为红球的概率为eq\f(1,3)，“3次全是红球”为三个独立事件同时发生，其概率为eq\f(1,3)×eq\f(1,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,27).4.甲、乙两名学生通过某种听力测试的概率分别为eq\f(1,2)和eq\f(1,3)，两人同时参加测试，其中有且只有一人能通过的概率是eq\f(1,2)解析：设事件A表示“甲通过听力测试”，事件B表示“乙通过听力测试”．根据题意，知事件A和B相互独立，且P(A)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(1,3).记“有且只有一人通过听力测试”为事件C，则C＝Aeq\o(B,\s\up6(－))∪eq\x\to(A)B，且Aeq\o(B,\s\up6(－))和eq\x\to(A)B互斥，故P(C)＝P(Aeq\o(B,\s\up6(－))∪eq\x\to(A)B)＝P(Aeq\o(B,\s\up6(－)))＋P(eq\x\to(A)B)＝P(A)P(eq\x\to(B))＋P(eq\x\to(A))P(B)＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq\f(1,3)＝eq\f(1,2).例题讲解相互独立事件的判断例1从一副扑克牌(去掉大、小王)中任抽一张，设A＝“抽到K”，B＝“抽到红牌”，C＝“抽到J”，那么下列每对事件是否相互独立？是否互斥？是否对立？为什么？(1)A与B；(2)C与A.【解析】(1)由于事件A为“抽到K”，事件B为“抽到红牌”，故抽到红牌中有可能抽到红桃K或方块K，即有可能抽到K，故事件A，B有可能同时发生，显然它们不是互斥事件，更加不是对立事件．以下考虑它们是否为相互独立事件：抽到K的概率为P(A)＝eq\f(4,52)＝eq\f(1,13)抽到红牌的概率为P(B)＝eq\f(26,52)＝eq\f(1,2)，故P(A)P(B)＝eq\f(1,13)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,26)，事件AB为“既抽到K又抽到红牌”，即“抽到红桃K或方块K”，故P(AB)＝eq\f(2,52)＝eq\f(1,26)，从而有P(A)P(B)＝P(AB)，因此A与B是相互独立事件．(2)从一副扑克牌(去掉大、小王)中任取一张．抽到K就不可能抽到J，抽到J就不可能抽到K，故事件C与事件A不可能同时发生，A与C互斥．由于P(A)＝eq\f(1,13)≠(C)＝eq\f(1,13)≠0，而P(AC)＝0，所以A与C不是相互独立事件，又抽不到K不一定抽到J，故A与C并非对立事件.方法总结判断事件是否相互独立的方法(1)定义法：事件A，B相互独立⇔P(AB)＝P(A)P(B)．(2)利用性质：A与B相互独立，则A与eq\x\to(B)，eq\x\to(A)与B，eq\x\to(A)与eq\x\to(B)也都相互独立．当堂练习1坛子里放有3个白球，2个黑球，从中不放回地摸球，用A1表示第1次摸得白球，A2表示第2次摸得白球，则A1与A2是()互斥事件B．相互独立事件C．对立事件D.不相互独立事件D[由于事件A1是否发生对事件A2发生的概率有影响，所以A1与A2是不相互独立事件．]相互独立事件概率的计算【例2】甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为eq\f(1,3)和eq\f(1,4)，求(1)两个人都译出密码的概率；(2)两个人都译不出密码的概率；(3)恰有1个人译出密码的概率．[思路点拨]首先判断事件是否相互独立，然后利用相互独立事件的性质，互斥事件、对立事件的概率公式计算．[解](1)记“甲独立地译出密码”为事件A，“乙独立地译出密码”为事件B，A，B为相互独立事件，且P(A)＝eq\f(1,3)，P(B)＝eq\f(1,4).(1)2个人都译出密码的概率为P(AB)＝P(A)·P(B)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,4)＝eq\f(1,12).(2)两个人都译不出密码的概率为P(eq\o(A,\s\up12(－))eq\o(B,\s\up12(－)))＝P(eq\x\to(A))·P(eq\x\to(B))＝[1－P(A)][1－P(B)]＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))＝eq\f(1,2).(3)恰有1个人译出密码可以分为两类，即甲译出乙未译出以及甲未译出乙译出，且两个事件为互斥事件，所以恰有1个人译出密码的概率为P(Aeq\x\to(B)∪eq\x\to(A)B)＝P(Aeq\x\to(B))＋P(eq\x\to(A)B)＝P(A)P(eq\x\to(B))＋P(eq\x\to(A))P(B)＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq\f(1,4)＝eq\f(5,12).方法总结1.已知两个事件A，B相互独立，它们的概率分别为P(A)，P(B)，则有事件表示概率A，B同时发生ABP(A)P(B)A，B都不发生eq\o(A,\s\up12(－))eq\o(B,\s\up12(－))P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))A，B恰有一个发生(Aeq\x\to(B))∪(eq\x\to(A)B)P(A)P(eq\x\to(B))＋P(eq\x\to(A))P(B)A，B中至少有一个发生(Aeq\x\to(B))∪(eq\x\to(A)B)∪(AB)P(A)P(eq\x\to(B))＋P(eq\x\to(A))P(B)＋P(A)P(B)A，B中至多有一个发生(Aeq\x\to(B))∪(eq\x\to(A)B)∪(eq\o(A,\s\up12(－))eq\o(B,\s\up12(－)))P(A)P(eq\x\to(B))＋P(eq\x\to(A))P(B)＋P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))2.在涉及“至多”“至少”等事件的概率时，常利用对立事件的概率公式求解．当堂练习2已知甲袋中装有大小、形状、质地相同的3个白球和2个红球,乙袋中装有1个白球和4个红球.现从甲、乙两袋中各摸一个球,试求:(1)两球都是红球的概率;(2)恰有一个是红球的概率;(3)至少有一个是红球的概率.解:记事件A表示“从甲袋中摸出一个红球”,事件B表示“从乙袋中摸出一个红球”,事件C表示“从甲、乙两袋中各摸一个球,恰好摸出一个红球”,事件D表示“至少摸出一个红球”.(1)由题意,A,B相互独立,且P(A)=,P(B)=,所以两球都是红球的概率为P(AB)=P(A)P(B)=(2)由已知C=,且为互斥事件,而P()=,P()=,则P(C)=P()=P()+P()=P(A)P()+P()P(B)==.(3)由已知D=C∪AB,且C与AB为互斥事件,则P(D)=P(C∪AB)=P(C)+P(AB)=+=.相互独立事件的概率的综合应用【例3】在某校运动会中，甲、乙、丙三支足球队进行单循环赛(即每两队比赛一场)，共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局．在每一场比赛中，甲胜乙的概率为eq\f(1,3)，甲胜丙的概率为eq\f(1,4)，乙胜丙的概率为eq\f(1,3).(1)求甲队获第一名且丙队获第二名的概率；(2)求在该次比赛中甲队至少得3分的概率．[解](1)设甲队获第一名且丙队获第二名为事件A，则P(A)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＝eq\f(1,18).(2)甲队至少得3分有两种情况：两场只胜一场；两场都胜．设事件B为“甲两场只胜一场”，设事件C为“甲两场都胜”，则事件“甲队至少得3分”为B∪C，则P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))＋eq\f(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＋eq\f(1,3)×eq\f(1,4)＝eq\f(5,12)＋eq\f(1,12)＝eq\f(1,2).方法总结用相互独立事件的乘法公式解题的步骤：(1)用恰当的字母表示题中有关事件；(2)根据题设条件，分析事件间的关系；(3)将需要计算概率的事件表示为所设事件的乘积或若干个事件的乘积之和(相互乘积的事件之间必须满足相互独立)；(4)利用乘法公式计算概率．当堂练习3计算机考试分理论考试与实际操作两部分进行，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”，并颁发合格证书．甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为eq\f(4,5)，eq\f(3,4)，eq\f(2,3)，在实际操作考试中“合格”的概率依次为eq\f(1,2)，eq\f(2,3)，eq\f(5,6)，所有考试是否合格相互之间没有影响．(1)假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性大？(2)这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率．解析：(1)记“甲获得合格证书”为事件A，“乙获得合格证书”为事件B,“丙获得合格证书”为事件C,则P(A)＝eq\f(4,5)×eq\f(1,2)＝eq\f(2,5)，P(B)＝eq\f(3,4)×eq\f(2,3)＝eq\f(1,2)，P(C)＝eq\f(2,3)×eq\f(5,6)＝eq\f(5,9).因为P(C)>P(B)>P(A),则丙获得合格证书的可能性大．(2)设“三人考试后恰有两人获得合格证书”为事件D，则P(D)＝P(ABeq\o(C,\s\up6(－)))＋P(Aeq\o(B,\s\up6(－))C)＋P(eq\o(A,\s\up6(－))BC)＝eq\f(2,5)×eq\f(1,2)×eq\f(4,9)＋eq\f(2,5)×eq\f(1,2)×eq\f(5,9)＋eq\f(3,5)×eq\f(1,2)×eq\f(5,9)＝eq\f(11,30