结构振动理论第十讲(习题课)

11应用拉格朗日方程导出题1图所示系统的运动微分方程。解：取各质量偏离其平衡位置的x1、x2、x3、x4为广义坐标。即则系统的动能系统的势能为计算拉格朗日方程中的各项导数如下：多自由度系统习题多自由度系统习题将以上各项导数代入拉格朗日方程得 写成矩阵形式:其中多自由度系统习题2为了隔离机器产生的振动，将机器安装在一大的基座上，基座由弹簧支承，如下图所示。试求机器和基座在图示平面内的运动方程。多自由度系统习题解：选择坐标q1、q2、q3，这些坐标已能完全描述该系统的运动，并相互独立。设机器和基座的总质量为M，总质量对质心G点的惯性矩为IG，则 式中，V为贮存在弹簧中的势能坐标与弹簧变形量之间关系为：

多自由度系统习题由拉格朗日方程得

则运动方程为因此系统具有三坐标耦合的运动方程。多自由度系统习题上图表示一座带有刚性梁和弹性立柱的三层楼建筑模型。假设：，，为相对地面的坐标。求出系统的固有频率和按模态质量为一归一化后振型矩阵。多自由度系统习题解：由材料力学知，当悬臂梁自由端无转角时，其梁的等效刚度为由此可将题图等效为右图所示的质量弹簧系统，其中广义坐标如图示。利用柔度影响系数法求柔度矩阵。即对m1施加单位力，其余不受力，此时第一个弹簧变形为第二和第三个弹簧变形为零。由此可得各坐标位移为，

多自由度系统习题同理求出其余各列。最后得到柔度矩阵为系统的质量矩阵为根据达朗贝尔原理，得到系统的方程为由特征方程有构造特征矩阵有，得频率方程多自由度系统习题即其中，展开得频率方程为解出解出固有频率为多自由度系统习题当系统自由度数不太大时(如N=2~4)，可以采用下列求伴随矩阵的方法求解固有振型：由振动方程由特征方程解出特征值i与固有频率pi然后设

可以证明[Q]阵的伴随矩阵adj[Q]的任意一列，就是相应于i的特征向量，即是固有振型{Xi}当记adj[Qi]的任意一列为{i}，则证毕因此多自由度系统习题对于本例，由特征矩阵的伴随矩阵的第一列分别代入特征值，得到主振型矩阵为归一化振型的第i列为由此得到归一化以后的振型矩阵为多自由度系统习题4.试确定题3中三层楼建筑框架由于作用于第三层楼水平方向的静载荷P忽然去除所引起的自由振动响应。解：在上题中已求得系统的质量矩阵和固有振型矩阵分别为当作用于第三层楼水平方向的静载荷P忽然去除时，相当于受到了初始条件的激励，即模态坐标初始条件为=多自由度系统习题模态坐标的响应为变换回物理坐标响应为：展开得到其中多自由度系统习题5.在题3的三层楼建筑中，假定地面的水平运动加速度试求各层楼板相对于地面的稳态水平强迫振动。解：在习题3中已求得系统的正则振型矩阵和质量矩阵分别为由题意，在相对坐标系下，基础激励相当于施加作用力为将作用力变换到模态坐标：多自由度系统习题根据解耦后的方程，可求得各个模态坐标(稳态)响应为最后变换回物理坐标系有：其中（i=1,2,3）多自由度系统习题多自由度线性系统的振动半确定系统的振动特性

如果振动系统所受约束条件不足，此时系统不但有弹性变形模态，还将有刚体运动模态存在，而且刚体模态对应的固有频率为零。有零频的系统称为半确定系统。

如图所示结构分析模型，由于不受约束限制，结构将有平移和转动(滚转)运动模式存在。此时，对应于这两种运动模式不发生弹性变形，系统不会有弹性应变能。系统的振型

半确定系统的刚度矩阵为半正定矩阵，其行列式为零。多自由度线性系统的振动

确定右图所示质量—弹簧系统的固有频率和振型。[解]用牛顿第二定律建立微分方程则半定系统2km2mx1x2振动系统的特征方程展开得：2m多自由度线性系统的振动分别得系统的二个固有频率

可见，第一阶频率为零，其对应的振型为刚体运动模式，系统不发生弹性变形。分别求系统的二个固有振型固有振型示意图{B}1111-2{B}2振型矩阵为：模态质量矩阵为：模态刚度矩阵为：多自由度线性系统的振动刚体模态的运动响应由运动微分方程：此时通解为：假设初始条件为：

很显然由于刚体模态不产生弹性变形，总有，满足这一齐次线性方程有非零解的条件是矩阵奇异．由此还可得到，即刚体运动不产生弹性势能．，则响应为：多自由度线性系统的振动如上所示的系统，假设系统初始速度为零，有初始位移：模态坐标初始位移为：模态坐标响应为：广义坐标响应为：人有了知识，就会具备各种分析能力，明辨是非的能力。所以我们要勤恳读书，广泛阅读，古人说“书中自有黄金屋。”通过阅读科技