高中三角函数

要点梳理1.任意角（1）角的概念的推广①按旋转方向不同分为

、

、

.②按终边位置不同分为

和

.

（2）终边相同的角终边与角相同的角可写成

.三角函数§4.1任意角和弧度制及任意角的三角函数正角负角零角象限角轴线角(k∈Z)基础知识自主学习（3）弧度制①1弧度的角：_______________________________叫做1弧度的角.②规定：正角的弧度数为

,负角的弧度数为

，零角的弧度数为

,

,l是以角作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径.③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制.比值与所取的r的大小

,仅与

.④弧度与角度的换算：360°=

弧度；180°=

弧度.⑤弧长公式：

,扇形面积公式：S扇形=

=

.把长度等于半径长的弧所对的圆心角无关角的大小有关正数负数零2.任意角的三角函数

(1)任意角的三角函数定义设是一个任意角，角的终边上任意一点

P(x,y),它与原点的距离为r(r>0）,那么角的正弦、余弦、正切分别是：它们都是以角为自

，以比值为

的函数.(2)三角函数在各象限内的符号口诀是：

.

,

,

,变量函数值一全正、二正弦、三正切、四余弦3.三角函数线设角的顶点在坐标原点,始边与x轴正半轴重合,终边与单位圆相交于点P，过P作PM垂直于x

轴于M,则点M是点P在x轴上的

.由三角函数的定义知，点P的坐标为

,

即

,其中=

,

单位圆与x轴的正半轴交于点A,单位圆在A点的切线与的终边或其反向延长线相交于点

T，则

.我们把有向线段OM、

MP、AT叫做的

、

、

.OM

,MPAT余弦线正弦线正切线正射影4.同角三角函数的基本关系

(1)平方关系：

.(2)商数关系:

.三角函数线有向线段为正弦线有向线段为余弦线有向线段为正切线MPOMAT基础自测1.若=k·180°+45°(k∈Z)，则在（）

A.第一或第三象限B.第一或第二象限

C.第二或第四象限D.第三或第四象限解析当k=2m+1(m∈Z)时，

=2m·180°+225°=m·360°+225°,故为第三象限角；当k=2m(m∈Z)时，

=m·360°+45°,故为第一象限角.A2.角终边过点(-1,2),则cos

等于（）解析C3.已知角的终边经过点(，-1),则角的最小正值是（）

解析B4.已知扇形的周长是6cm，面积是2cm2，则扇形的圆心角的弧度数是（）

A.1B.4C.1或4D.2或4

解析设此扇形的半径为r，弧长为l，C5.已知为第四象限角，且解∵为第四象限角，且

题型一三角函数的定义已知角的终边在直线3x+4y=0上,求的值.

本题求的三角函数值.依据三角函数的定义,可在角的终边上任取一点P(4t,-3t)(t≠0),求出r,由定义得出结论.

思维启迪

【例1】

解题型分类深度剖析

某角的三角函数值只与该角终边所在位置有关，当终边确定时三角函数值就相应确定.

但若终边落在某条直线上时，这时终边实际上有两个，因此对应的函数值有两组要分别求解.知能迁移1

设为第四象限角,其终边上的一个点是P（x，-），且

解∵为第四象限角，∴x>0，且

题型二三角函数值的符号及判定

(1)如果点P(sin·cos

，2cos)位于第三象限，试判断角所在的象限.(2)若是第二象限角，试判断的符号.

(1)由点P所在的象限可知的符号，进而判断所在的象限.(2)由可判断的范围,把看作一个角，再判断的符号.解

(1)熟练掌握三角函数的符号法则是解决此类问题的关键.(2)由三角函数符号判断角所在象限,在写角的集合时,注意终边相同的角.知能迁移2

若则角的终边落在 （）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限解析

C题型三三角函数线及其应用在单位圆中画出适合下列条件的角的终边的范围,并由此写出角的集合:

作出满足的角的终边,然后根据已知条件确定角终边的范围.解

(1)作直线交单位圆于A、B两点,连结OA、OB，则OA与OB围成的区域即为角的终边的范围,故满足条件的角的集合为(2)作直线交单位圆于C、D两点,连结OC、OD,则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)即为角终边的范围.故满足条件的角的集合为本题的实质是解三角不等式的问题：（1）可以运用单位圆及三角函数线；（2）也可以用三角函数图象.体现了数形结合的数学思想方法.知能迁移3

求下列函数的定义域：解由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影所示).利用三角函数线画出x满足条件的终边范围(如右图阴影),题型四同角三角函数的基本关系式（12分）已知是三角形的内角，且（1）求tan的值；（2）用tan表示出来，并求其值.

（1）由

解

(1)方法一2分3分6分方法二3分6分(1)对于这三个式子,已知其中一个式子的值,其余二式的值可求.转化的公式为(2)关于sinx,cosx的齐次式,往往化为关于tanx的式子.10分12分知能迁移4

分别求的值：解思想方法感悟提高方法与技巧1.在利用三角函数定义时,点P可取终边上任一点,

如有可能则取终边与单位圆的交点.|OP|=r一定是正值.2.在解决的问题时,常常用到3.在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧.失误与防范1.注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角.第一类是象限角，第二、第三类是区间角.2.角度制与弧度制可利用180°=rad进行互化,

在同一个式子中，采用的度量制度必须一致,

不可混用.3.注意熟记0°～360°间特殊角的弧度表示.一、选择题1.若角和角的终边关于x轴对称,则角可以用角表示为 （）

A.(k∈Z)B.(k∈Z)C.(k∈Z)D.(k∈Z)

解析因为角和角的终边关于x轴对称,所以(k∈Z).所以(k∈Z).定时检测B2.已知点P在第三象限,则角的终边在第几象限 （）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

解析∵P

在第三象限，由tan<0，得在第二、四象限，由cos<0,得在第二、三象限，∴在第二象限.B3.若扇形圆心角的弧度数为2,且扇形弧所对的弦长也是2,则这个扇形的面积为（）解析由题意得扇形的半径为又由扇形面积公式得，该扇形的面积为A4.已知角的终边过点P（-8m，-6sin30°）,且则m的值为（）解析B5.已知角是第二象限角，且 （）

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角解析由是第二象限角知,是第一或第三象限角.

C6.已知是第一象限角,等于（）

解析B二、填空题7.若点P(m,n)(n≠0)为角600°终边上一点，则等于

.

解析由三角函数的定义知8.已知P在1秒钟内转过的角度为θ（0°<θ<180°），经过2秒钟达到第三象限，经过14秒钟后又恰好回到出发点，则θ=

.

解析∵0°<θ<180°且

k·360°+180°<2θ<k·360°+270°(k∈Z),

则必有k=0，于是90°<θ<135°,

又14θ=n·360°(n∈Z)，9.若角的终边落在直线y=-x上,则的值等于

.

解析

∵角的终边落在直线y=-x上，∴角是第二或第四象限角.0三、解答题10.角终边上的点P与A(a,2a)关于x轴对称(a≠0),

角终边上的点Q与A关于直线y=x对称,求的值.

解由题意得，点P的坐标为（a,-2a)，点Q的坐标为(2a,a).11.设为第三象限角,试判断解

12.求下列各式的值:

解由已知得返回4.同角三角函数基本关系式：(1)平方关系：二、知识要点：4.同角三角函数基本关系式：(1)平方关系：(2)商数关系：二、知识要点：4.同角三角函数基本关系式：(1)平方关系：(2)商数关系：二、知识要点：5.诱导公式诱导公式(一)二、知识要点：诱导公式(二)5.诱导公式二、知识要点：诱导公式(三)5.诱导公式二、知识要点：诱导公式(四)sin(－)=sin

cos(

－)=－cos

tan

(－)=－tan5.诱导公式二、知识要点：诱导公式(五)5.诱导公式二、知识要点：3、任意角的三角函数定义xyo●P(x,y)r4、同角三角函数的基本关系式倒数关系：商数关系：平方关系：定义：三角函数值的符号：“一全正，二正弦，三两切，四余弦”5、诱导公式：例：（即把看作是锐角）二、两角和与差的三角函数1、预备知识：两点间距离公式xyo●●2、两角和与差的三角函数注：公式的逆用及变形的应用公式变形3、倍角公式注：正弦与余弦的倍角公式的逆用实质上就是降幂的过程。特别对于五组诱导公式的理解：函数名不变，符号看象限5.诱导公式二、知识要点：诱导公式二或四或五3.利用诱导公式将任意角三角函数转化为锐角三角函数的基本步骤：诱导公式三或一任意负角的三角函数任意正角的三角函数0o到360o角的三角函数锐角的三角函数诱导公式一5.诱导公式二、知识要点：三、三角函数的图象和性质图象y=sinxy=cosxxoy-11xy-11性质定义域RR值域[-1，1][-1，1]周期性T=2T=2奇偶性奇函数偶函数单调性o1、正弦、余弦函数的图象与性质2、函数的图象（A>0,>0)第一种变换:图象向左()或向右()平移个单位

横坐标伸长()或缩短()到原来的倍纵坐标不变纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的A倍横坐标不变第二种变换：横坐标伸长()或缩短()到原来的倍纵坐标不变图象向左()或向右()平移个单位

纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的A倍横坐标不变3、正切函数的图象与性质y=tanx图象xyo定义域值域R奇偶性奇函数周期性单调性4、已知三角函数值求角y=sinx,的反函数y=arcsinx,y=cosx,的反函数y=arccosx,y=tanx,的反函数y=arctanx,⑵已知角x()的三角函数值求x的步骤①先确定x是第几象限角②若x的三角函数值为正的，求出对应的锐角；若x的三角函数值为负的，求出与其绝对值对应的锐角③根据x是第几象限角，求出x

若x为第二象限角，即得x=；若x为第三象限角，即得

x=；若x为第四象限角，即得x=④若，则在上面的基础上加上相应函数的周期的整数倍。⑴反三角函数例1：已知是第三象限角，且，求。四、主要题型解：应用：三角函数值的符号；同角三角函数的关系；例2：已知，计算⑴⑵解:⑴⑵应用：关于的齐次式例3：已知，解:应用：找出已知角与未知角之间的关系例4：已知解：应用：化简求值例5:已知函数求：⑴函数的最小正周期；⑵函数的单增区间；⑶函数的最大值及相应的x的值；⑷函数的图象可以由函数的图象经过怎样的变换得到。解：⑴⑵⑶⑷图象向左平移个单位图象向上平移2个单位

应用：化同一个角同一个函数同角三角函数基本关系关键：弦切练习：注：公式的正用、反用、变形、“1”的变通。注：在应用三角公式进行开方运算时，要根据角的范围，确定正负号的取舍。练习：小结：三个式子中，已知其中一个式子的值，可以求出其余两个式子的值。例2.试判断函数f(x)=在下列区间上的奇偶性.练习:判断下列函数的奇偶性三角函数图像变换图像的变换：1、先周期后相位2、先相位后周期注：（1）变换都是“同名函数”的变换（2）变换的“方向性”专题六:如何由图像求函数

解析式难点：寻找第一个零点，根据图像的升降的情况来找yx难点：先确定第一个零点，根据图像的升降的情况来找，即图象上伸时与x轴的交点。方法小结：关键求的值yx21注：三角函数求最值问题例1、求函数的值域和最小正周期

例2f(x)=2acos2x+2asinxcosx-a+b(a≠0)定义域为[0,]，值域为[-5,1]，求a，b。解：f(x)=asin2x+acos2x+b=2asin(2x+)+b-≤sin(2x+)≤1

当a>0时2a+b=1a=2-a+b=-5b=-3

当a<0时-a+b=1a=-22a+b=-5b=-1∴例3已知函数f(x)=sin2x+cosx+a-(0≤x≤)的最大值为1，试求a的值。解：f(x)=-cos2x+cosx+a-=-(cosx-)2+a-0≤cosx≤1a-=1∴a=2练习1已知a>0函数y=-acos2x-asin2x+2a+bx∈[0,]，若函数的值域为[-5,1]，求常数a,b的值。解：