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文档简介

第一章极限内容提要一、两个要素1．自变量的（可以无限进行下去的）变化过程；二、性质1．唯一性；2．局部有界性；3．局部保号性．2．此过程进行到一定程度之后保持有定义的函数．三、求极限的方法1．极限的运算法则四则运算法则，无穷小及无穷大的运算法则（特别，o(1)O(1)=o(1)），连续函数的极限运算法则．2．极限的过程代换．3．极限的存在准则（1）双边夹准则．（2）单调有界必有极限准则．4．两个重要极限5．函数的连续性．6．洛必达法则．7．等价无穷小替换．8．有理函数的极限．9．Peano型余项的泰勒公式10．定积分定义．11．级数收敛的必要条件．12．极限定义．例题解：所求极限另解1：所求极限

另解2：所求极限

另解3：所求极限

解：所求极限另解：所求极限显然有例3证明：证:证毕．显然成立．例3证明：另证:证毕．例4．证明：证：证毕．解：由有再由题设根据洛必达法则可知，有即得从而有另解1：即得易知另解2：且由上式即知另一方面，及洛必达法则可知再有题设知，上式极限=1，证：由递推公式，有例11．医生说：“流动水洗口罩好”，学生问：“好多少？”模型1．肥皂、洗涤液使用充分，病毒均匀溶于水．设湿口罩含水体积为V，开始时其中含病毒有1010个，洗涤中病毒均匀溶于水．试求用静水与流动水分别需要多少水才能洗涤干净．模型2．病毒不均匀溶于水，口罩内水中病毒浓度是口罩外水中病毒浓度的t倍，其他同模型1．试求用静水与流动水分别需要多少水才能洗涤干净．解：当病毒个数小于1时，可认为口罩已洗干净．将口罩中的含水量V作为用水量的基本单位，设总用水量限定为mV．．

模型1．以一盆水洗湿口罩，因为水的总体积=盆中水的体积mV+口罩水的体积V=(m+1)V湿口罩中残留病毒数量故用静水洗涤干净所需用水量若将总用水量mV分为两盆，水量分别为m1V

和m2V，则口罩中残留病毒数残留病毒数最少，于是，用mV这么多水进行流动水洗口罩残留病毒数为令病毒数故用流动水洗净口罩所用水量如此类推，将总用水量mV分为n等分，则将口罩逐次洗n次后，口罩残留病毒数量为模型2．病毒不均匀溶于水，口罩内水中病毒浓度是口罩外水中病毒浓度的t倍．类似上面讨论可得，以一盆水洗湿

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