连续型随机变量及其概率密度

一、连续型随机变量及其概率密度二、常见连续型随机变量的分布三、小结第4.3节连续型随机变量

及其概率密度

连续型随机变量X所有可能取值充满若干个区间。对这种随机变量，不能象离散型随机变量那样,指出其取各个值的概率，给出概率分布。而是用“概率密度函数”表示随机变量的概率分布。例1

某工厂生产一种零件，由于生产过程中各种随机因素的影响，零件长度不尽相同。现测得该厂生产的100个零件长度(单位:mm)如下:一频率直方图129,132,136,145,140,145,147,142,138,144,147,142,137,144,144,134,149,142,137,137,155,128,143,144,148,139,143,142,135,142,148,137,142,144,141,149,132,134,145,132,140,142,130,145,148,143,148,135,136,152,141,146,138,131,138,136,144,142,142,137,141,134,142,133,153,143,145,140,137,142,150,141,139,139,150,139,137,139,140,143,149,136,142,134,146,145,130,136,140,134,142,142,135,131,136,139,137,144,141,136.这100个数据中，最小值是128，最大值是155。作频率直方图的步骤(1)先确定作图区间[a,b];a=最小数据-ε/2，b=最大数据+ε/2，ε

是数据的精度。本例中

ε

=1,a=127.5,b=155.5。(2)确定数据分组数m=7，组距d=(b−a)/m，子区间端点ti=a+id,i=0,1,···,m；(3)计算落入各子区间内观测值频数

ni

频率fi=ni/n，i=1,2,···,m；子区间频数频率(127.5,131.5)60.06(131.5,135.5)120.12(135.5,139.5)240.24(139.5,143.5)280.28(143.5,147.5)180.18(147.5,151.5)80.08(151.5,155.5)40.04(4)以小区间

[ti-1，ti]为底，yi=fi/d

(i=1,2,

…,m)为高作一系列小矩形，组成了频率直方图，简称直方图。

由于概率可以由频率近似，因此这个直方图可近似地刻画零件长度的概率分布情况。

用上述直方图刻画随机变量X的概率分布情况是比较粗糙的。为更加准确地刻画X的概率分布情况，应适当增加观测数据的个数,同时将数据分得更细一些。当数据越来越多,分组越来越细时,直方图的上方外形轮廓就越来越接近于某一条曲线,这条曲线称为随机变量X的概率密度曲线，可用来准确地刻画X的概率分布情况。二概率密度函数这两条性质是判定函数

f(x)是否为某随机变量

X的概率密度函数的充要条件。密度函数的性质f(x)与

x

轴所围面积等于1。

若x是p(x)的连续点，则=p(x)

，(3)

对

p(x)的进一步理解：故,

X的概率密度函数p

(x)在x

这一点的值,恰好是X落在区间[x,x

+△x]上的概率与区间长度△x之比的极限。这里,如果把概率理解为质量,p(x)相当于物理学中的线密度。若不计高阶无穷小，有：表示随机变量X

取值于(x,x

+△

x]上的概率近似等于p(x)

×

△x

。p(x)

×

△x

在连续型随机变量中所起的作用与pk=P{X=xk}在离散型随机变量中所起的作用类似。(4)

对于任意可能值a,连续型随机变量取a的概率等于零.即证明由此可得连续型随机变量的概率与区间的开闭无关设X为连续型随机变量，X=a是不可能事件,则有若X为离散型随机变量,注意连续型离散型1证明xxp0)(xf(x)a解例1例2故有解二常见的连续性随机变量1.区间(a,b)上的均匀分布

若X

的密度函数则称X

服从区间(a,b)上的均匀分布记作X

的分布函数xf(x)abxF(x)ba例3

设随机变量X在[2,5]上服从均匀分布,现对X进行三次独立观测,试求至少有两次观测值大于3的概率.

X的分布密度函数为设A表示事件“对X的观测值大于3”,解即A={X>3}.因而有设Y表示3次独立观测中观测值大于3的次数,则2.指数分布

某些元件或设备的寿命服从指数分布.例如无线电元件的寿命,电力设备的寿命,动物的寿命等都服从指数分布.应用与背景分布函数例4

设某类日光灯管的使用寿命X服从参数为=1/2000的指数分布(单位:小时)(1)任取一只这种灯管,求能正常使用1000小时以上的概率.(2)有一只这种灯管已经正常使用了1000小时以上,求还能使用1000小时以上的概率.

X的分布函数为解指数分布的重要性质:“无记忆性”.

正态分布是应用最广泛的一种连续型分布。

正态分布是十九世纪初，由高斯(Gauss)给出并推广的一种分布。故，也称高斯分布。3.正态分布这条红色曲线近似我们将要介绍的正态分布的概率密度曲线。正态分布概率密度函数的几何特征正态分布的分布函数

正态分布是最常见最重要的一种分布,例如测量误差;人的生理特征尺寸如身高、体重等;正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量高度等都近似服从正态分布.正态分布的应用与背景

标准正态分布的概率密度表示为标准正态分布标准正态分布的分布函数表示为标准正态分布的图形解例5

证明解例6例7

证明证明令t=-x例8

假设某地区成年男性的身高(单位:cm)X～N(170,7.692),求该地区成年男性的身高超过

175cm

的概率。解:

根据假设X～N(170,7.692)，知事件{X

>175}的概率为解:

设车门高度为

h

，按设计要求P(X≥h)≤0.01，或P(X<h)≥0.99，下面我们来求满足上式的最小的

h。例9

公共汽车车门的高度是按成年男性与车门顶头碰头机会在0.01以下来设计的。设某地区成年男性身高(单位:cm)

X～N(170,),问车门高度应如何确定?因为X～N(170,7.692),求满足P(X<h)≥0.99

的最小

h。故，当汽车门高度为188厘米时，可使男子与车门碰头机会不超过0.01。例10

设且P(2<X<4)=0.3,求P(X<0).解一解二图解法0.2由图0.3分布函数三、小结2.常见连续型随机变量的分布均匀分布正态分布(或高斯分布)指数分布正态分布是概率论中最重要的分布Born:30April1777inBrunswick,DuchyofBrunswick(nowGermany)

Died:23Feb1855inGöttingen,Hanover(nowGermany