混凝土结构基本原理4

第四章受弯构件的正截面受弯承载力钢筋混凝土受弯构件的设计内容：(1)正截面受弯承载力计算——按已知截面弯矩设计值M，计算确定截面尺寸和纵向受力钢筋；(2)斜截面受剪承载力计算——按受剪计算截面的剪力设计值V，计算确定箍筋和弯起钢筋的数量；(3)钢筋布置——为保证钢筋与混凝土的粘结，并使钢筋充分发挥作用，根据荷载产生的弯矩图和剪力图确定钢筋的布置；(4)正常使用阶段的裂缝宽度和挠度变形验算；(5)绘制施工图。受弯构件主要是指弯矩和剪力共同作用的构件受弯构件由弯矩作用而发生的破坏称正截面破坏。破坏截面与构件的纵轴线垂直。受弯构件由弯矩和剪力共同作用而发生的破坏称斜截面破坏。破坏截面与构件的纵轴线斜交。正截面破坏斜截面破坏4.1概述结构和构件要满足承载能力极限状态和正常使用极限状态的要求。满足承载能力极限状态的要求M指结构上的作用所产生的内力设计值；Mu是受弯构件正截面受弯承载力的设计值。梁、板常用矩形、T形、I字形、槽形、空心板和倒L形梁等对称和不对称截面

矩形T形工形十字形梁矩形板空心板槽形板板4.2.1截面形式与尺寸4.2梁、板的一般构造2、截面尺寸高跨比h/l0=1/8～1/12矩形截面梁高宽比h/b=2.0~3.5T形截面梁高宽比h/b=2.5~4.0。（b为梁肋）b=120、150、180、200、220、250、300、…(mm)，250以上的级差为50mm。(180、220只用于木模板)h=250、300、350、……、750、800、900、1000、…(mm)，800mm以下的级差为50mm，以上的为100mm。现浇板的宽度一般较大，设计时可取单位宽度(b=1000mm)进行计算。现浇混凝土梁、板常用的混凝土强度等级是C20、C25、C30、C40。4.2.2材料选择与一般构造（详见课本）1、混凝土强度等级梁中纵向受力钢筋宜采用HRB400级或RRB400级(Ⅲ级)和HRB335级(Ⅱ级)，常用直径为12mm、14mm、16mm、18mm、20mm、22mm和25mm。根数最好不少于3(或4)根。设计中若采用两种不同直径的钢筋，其直径相差至少2mm,也不宜超过6mm。梁的箍筋宜采用HPB335级、HRB335(Ⅱ级)和HRB400(Ⅲ级钢筋)级的钢筋，常用直径是6mm、8mm和10mm。板的分布钢筋，当按单向板设计时，除沿受力方向布置受力钢筋外，还应在垂直受力方向布置分布钢筋。2、钢筋强度等级和常用直径为固定箍筋并与钢筋连成骨架，在梁的受压区应设架立钢筋。架立筋的直径与梁的跨度有关。简支梁架立筋一般深入梁端，当考虑其受力时，架立筋在支座内要有一定的锚固长度。当梁扣除翼缘厚度后的截面高度大于或等于450mm时，在梁的两个侧面应沿高度配置纵向构造钢筋。每侧纵向构造钢筋的截面面积不应小于扣除翼缘厚度后的截面面积的0.1％，纵向构造钢筋的间距不宜大于200mm。两层布置时，上下钢筋要对齐；多于两层时，从第三层开始，钢筋的中距比下面两层的中距增大一倍。板内的受力钢筋与分布筋垂直布置，并且布置在外侧。钢筋净距h0a净距≥d≥25h0a净距≥d≥25净距≥d≥25净距≥1.5d≥30相同直径的二并筋等效直径可取为1.41倍单根钢筋直径；三并筋等效直径可取为1.73倍单根钢筋直径。二并筋可按纵向或横向的方式布置；三并筋宜按品字形布置，并均按并筋的重心作为等效钢筋的重心。在国家标准图集11G101-1P56页中，对梁并筋等效直径及最小净距做出要求单筋直径d（mm）252832并筋根数222等效直径（mm）353945层净距（mm）353945上部钢筋净距（mm）535968下部钢筋净距（mm）353945单筋直径d（mm）252832并筋根数222等效直径（mm）353945层净距（mm）353945上部钢筋净距（mm）535968下部钢筋净距（mm）353945纵向受拉钢筋的配筋百分率截面上所有纵向受拉钢筋的合力点到受拉边缘的竖向距离为as，则到受压边缘的距离为h0=h-as，称为截面有效高度。

纵向受拉钢筋配筋率为纵向受拉钢筋的配筋百分率ρ在一定程度上标志了正截面上纵向受拉钢筋与混凝土之间的面积比率，它是对梁的受力性能有很大影响的一个重要指标。混凝土保护层厚度c－纵向受力钢筋的外表面到截面边缘的垂直距离。保护层厚度的作用：保护纵向钢筋不被锈蚀；发生火灾时延缓钢筋温度上升；保证纵向钢筋与混凝土的较好粘结。保护层厚度不应小于钢筋直径及由构件类别和环境条件确定的最小保护层厚度（附表1-16

），不宜小于粗骨料最大粒径的1.25倍。纵向受力筋的混凝土最小保护层厚度尚不应小于钢筋的公称直径。混凝土保护层4.3.1受弯构件正截面受弯的受力过程hasbAsh0xnecesf4.3受弯构件的正截面的受力分析定义：适筋梁－纵向受拉钢筋配筋率比较适当的正截面称为适筋截面，具有适筋截面的梁叫适筋梁。FF应变测点位移计MVCⅡaⅢaⅠⅡⅢM0crM0yM0u0

φ0M0y(钢筋开始屈服)混凝土压碎破坏截面曲率(混凝土开裂)梁跨中截面的弯距试验值M0－截面曲率实验值φ0关系第Ⅰ阶段：混凝土开裂前的未裂阶段<etuⅠ阶段截面应力和应变分布M0<M0cr应力图从开始加荷到受拉区混凝土开裂。梁的工作情况与均质弹性体梁相似，混凝土基本上处于弹性工作阶段，荷载-挠度曲线或弯矩-曲率曲线基本接近直线。e0tuⅠa状态截面应力和应变分布M0cr当弯距增加到Mcr时，受拉边缘的拉应变达到混凝土受弯时极限拉应变（et=e0tu），截面处于即将开裂的临界状态（Ⅰa状态），此时的弯矩值称为开裂弯矩Mcr。受压区应力图形接近三角形，受拉区呈曲线分布。第Ⅰ阶段特点：a.混凝土未开裂；b.受压区应力图形为直线，受拉区前期为直线，后期为曲线；c.弯距－曲率呈直线关系。第Ⅱ阶段：混凝土开裂后至钢筋屈服前的裂缝阶段esⅡ阶段截面应力和应变分布M0cr<M0<M0y在开裂瞬间，开裂截面受拉区混凝土退出工作，其开裂前承担的拉力将转移给钢筋承担，导致钢筋应力有一突然增加（应力重分布），裂缝出现时梁的挠度和截面曲率都突然增大，使中和轴比开裂前有较大上移。当弯距继续增大到受拉钢筋应力即将到达屈服强度f0y时，称为第Ⅱ阶段末，Ⅱa。虽然受拉区有许多裂缝，但如果纵向应变的量测标距有足够的长度（跨过几条裂缝），则平均应变沿截面高度的分布近似直线。由于受压区混凝土压应力不断增大，其弹塑性特性表现得越来越显著，受压区应力图形逐渐呈曲线分布。第Ⅱ阶段特点：a.裂缝截面处，受拉区大部分砼退出工作，拉力主要由钢筋承担，但钢筋未屈服；b.受压区砼已有塑性变形，但不充分；；c.弯距－曲率关系为曲线，曲率与挠度增长加快。第Ⅲ阶段：钢筋开始屈服至截面破坏的裂缝阶段>eyⅢ阶段截面应力和应变分布M0y<M0<M0uf0yAs钢筋屈服。截面曲率和梁挠度突然增大，裂缝宽度随着扩展并沿梁高向上延伸，中和轴继续上移，受压区高度进一步减小。受压区塑性特征表现的更为充分，受压区应力图形更趋丰满。由于混凝土受压具有很长的下降段，因此梁的变形可持续较长，但有一个最大弯矩Mu。超过Mu后，承载力将有所降低，直至压区混凝土压酥。Mu称为极限弯矩，此时的受压边缘混凝土的压应变称为极限压应变ecu，对应截面受力状态为“Ⅲa状态”。ecu约在0.003~0.005范围，超过该应变值，压区混凝土即开始压坏，表明梁达到极限承载力。第Ⅲ阶段特点：a.纵向受拉钢筋屈服，拉力保持为常值；b.裂缝截面处，受拉区大部分混凝土已退出工作，受压区砼压应力曲线图形比较丰满，有上升段，也有下降段；c.压区边缘砼压应变达到其极限压应变εcu，混凝土被压碎，截面破坏；d.

弯距－曲率关系为接近水平的曲线。e0cuⅢa阶段截面应力和应变分布M0uf0yAsⅢa状态：计算Mu的依据Ⅰa状态：计算Mcr的依据Ⅱ阶段：计算裂缝、刚度的依据ⅠaⅡaⅢaⅠⅡⅢMcrMyMu0

fM/Mu受力阶段主要特点 第Ⅰ阶段 第Ⅱ阶段第Ⅲ阶段习称未裂阶段带裂缝工作阶段破坏阶段外观特征没有裂缝，挠度很小有裂缝，挠度还不明显钢筋屈服，裂缝宽，挠度大弯矩—截面曲率大致成直线曲线接近水平的曲线混凝土应力图形受压区直线受压区高度减小，混凝土压应力图形为上升段的曲线，应力峰值在受压区边缘受压区高度进一步减小，混凝土压应力图形为较丰满的曲线；后期为有上升段与下降段的曲线，应力峰值不在受压区边缘而在边缘的内侧受拉区前期为直线，后期为有上升段的曲线，应力峰值不在受拉区边缘大部分退出工作绝大部分退出工作纵向受拉钢筋应力σs≤20～30kN/mm2

20～30kN/mm2<σs<fy0σs＝fy0与设计计算的联系Ia阶段用于抗裂验算用于裂缝宽度及变形验算Ⅲa阶段用于正截面受弯承载力计算适筋梁正截面受弯三个受力阶段的主要特点

1）第Ι阶段：从加载至混凝土开裂，弯矩从零增至开裂弯矩Mcr，该阶段结束的标志是混凝土拉应变增至混凝土极限拉应变，而并非混凝土应力增至ft。第Ι阶段末是混凝土构件抗裂验算的依据。

2）第Ⅱ阶段：弯矩由Mcr增至钢筋屈服时的弯矩My，该阶段结束的标志是钢筋应力达到屈服强度,该阶段混凝土带裂缝工作，第Ⅱ阶段末是混凝土构件裂缝宽度验算和变形验算的依据。

3）第Ⅲ阶段：弯矩由My增至极限弯矩Mu，该阶段结束的标志是混凝土压应变达到其非均匀受压时的极限压应变，而并非混凝土的应力达到其极限压应力。第Ⅲ阶段末是混凝土构件极限承载力设计的依据。（1）正截面工作的三个阶段4.3.3正截面受弯的三种破坏形态适筋破坏超筋破坏少筋破坏配筋率ρ适筋破坏形态特点：纵向受拉钢筋先屈服，受压区混凝土随后压碎。最小配筋率界限配筋率梁完全破坏以前，钢筋要经历较大的塑性变形，随后引起裂缝急剧开展和梁挠度的激增，带有明显的破坏预兆，属于延性破坏类型。Mu0

f0M0My

C超筋梁ρ>ρbB适筋梁ρminh/h0<ρ<ρbA少筋梁ρ>ρb超筋破坏形态特点：受压区混凝土先压碎，纵向受拉钢筋不屈服。钢筋破坏之前仍处于弹性工作阶段，裂缝开展不宽，延伸不高，梁的挠度不大。破坏带有突然性，没有明显的破坏预兆，属于脆性破坏类型。Mu0

f0M0My

C超筋梁ρ>ρbB适筋梁ρminh/h0<ρ<ρbA少筋梁ρ>ρb少筋破坏形态特点：受拉混凝土一裂就坏。破坏时极限弯距Mu小于正常情况下的开裂弯距Mcr破坏取决于混凝土的抗拉强度，裂缝只有一条，开展宽度大，沿梁高延伸较高，属于脆性破坏类型。M0crφ0界限破坏形态特征：受拉钢筋屈服的同时受压区混凝土被压碎。界限破坏的配筋率ρb实质上就是适筋梁的最大配筋率。当ρ<ρb时，破坏始自钢筋的屈服，当ρ>ρb时，破坏始自受压区混凝土的压碎，ρ=ρb时，受拉钢筋屈服的同时受压区混凝土被压碎。属于适筋梁的范围，延性破坏。4.4正截面受弯承载力计算原理4.4.1正截面承载力计算的基本假定(1)截面应变保持平面:截面的应变沿截面高度保持线性分布－简称平截面假定(2)不考虑混凝土的抗拉强度:混凝土的抗拉强度很小，其合力作用点距中和轴较近，内力矩的力臂很小。eescxch0fyMTxcTcC(3)混凝土的压应力－压应变之间的关系为：◆《规范》应力—应变关系水平段：σεcuε0fc峰值应变极限压应变上升段：(4)钢筋的应力－应变方程为：纵向钢筋的极限拉应变取为0.01受压区混凝土的压应力的合力及其作用点受压区混凝土压应力的合力为C到中和轴的距离CTsz

fcxc

ycMu钢筋1Es受压区混凝土压应力的合力为C到中和轴的距离距中和轴y处的压应变为则4.4.2等效矩形应力图形a1

CTszM=C·z

fcxc

ycCTszMuM=C·zfc

ycx=b1

xcMu两个图形等效的条件：a.

砼压应力的合力C大小相等；b.

两图形中受压区合力C的作用点不变。令则混凝土受压区等效矩形应力图系数≤C50C55C60C65C70C75C80a11.00.990.980.970.960.950.94b10.80.790.780.770.760.730.74系数α1和β1仅与混凝土应力－应变曲线有关，称为等效矩形应力图形系数。C=a1

fcbxTs=ssAsMu

a1

fcx=bxc基本方程——相对受压区高度记对于适筋梁，受拉钢筋应力ss=fy。相对受压区高度x

不仅反映了钢筋与混凝土的面积比（配筋率r），也反映了钢筋与混凝土的材料强度比，是反映构件中两种材料配比本质的参数。当相对受压区高度时，属于超筋梁。

4.4.4适筋梁与超筋梁的界限及界限配筋率相对界限受压区高度eyecuxcbh0相对界限受压区高度仅与材料性能有关，而与截面尺寸无关4.5单筋矩形截面受弯构件正截面受弯承载力计算钢筋骨架图单筋矩形截面是指只配置受拉钢筋的情况。双筋截面是指同时配置受拉和受压钢筋的情况。4.5.1基本计算公式及适用条件基本计算公式bhh0asx力的平衡力矩平衡C=a1

fcbxT=fyAsMu

a1

fcx=b1xc(h0-x/2)防止超筋脆性破坏防止少筋脆性破坏适用条件4.5.3截面承载力计算的计算系数和计算方法取∴令M＝Mu截面抵抗矩系数4.5.2截面承载力计算的两类问题截面设计已知：弯矩设计值M、砼及钢强度等级、构件截面尺寸b及h求：受拉钢筋截面面积As基本公式：适用条件：a.满足;b.

满足。纵向受拉钢筋合力点到截面受拉边缘的距离as的确定:一类环境（室内环境）：

d=10~32mm(常用)单排as=c+d/2=25＋20/2=35mm双排

as=c+d+e/2=25+20+30/2=60mm梁板as=20mm根据环境类别及混凝土强度等级，确定混凝土保护层最小厚度，再假定as，得h0，并按混凝土强度等级确定α1，解二次联立方程式。求解步骤不满足满足改变截面尺寸或材料强度钢筋布置满足净距要求不满足按两排钢筋重新计算验算验算不满足按最小配筋率配置截面复核已知：M、b，h(h0)、截面配筋As，砼及钢筋强度等级求：截面的受弯承载力Mu>M未知数：受压区高度x和受弯承载力Mu基本公式：前提条件：求解步骤：先利用力的平衡方程求x，再用力矩平衡方程求Mu当Mu>＝M时，认为截面受弯承载力满足要求，否则为不安全。当Mu大于M过多时，该截面设计不经济。例题4.1已知矩形截面简支梁，截面尺寸b×h=250mm×400mm，弯矩设计值为96.58kN.m．采用混凝土强度等级C40，HRB335级钢筋，结构安全等级为Ⅱ级，环境类别为二类ｂ，试求所需钢筋的截面面积。解：1、环境类别为二类，混凝土保护层最小厚度为35mm，则as=45mm，h0=h-as=400－45=355mm；查表可得fc=19.1N/mm2，ft=1.71N/mm2

,fy=300N/mm2，xb=0.55，α1=1.0。2、求计算系数满足适筋破坏条件。3、求As4、验算最小配筋率要求满足最小配筋率要求选配225，As=982mm2225选配516，As=1005mm2已知矩形截面简支梁，截面尺寸b×h=250mm×450mm，弯矩设计值为298.87kN.m．采用混凝土强度等级C40，HRB400级钢筋，结构安全等级为Ⅱ级，环境类别为二类a，试求所需钢筋的截面面积。例题4.2【解】：1、保护层最小厚度为25mm，假定钢筋为一排，则as=40mm，h0=h-as=450－40=410mm；查表得fc=19.1N/mm2，ft=1.71N/mm2

fy=360N/mm2，xb=0.518，α1=1.0

。2、求计算系数满足适筋破坏条件。3、求As4、验算最小配筋率要求满足最小配筋率要求选配722，As=2661mm2若为一排，则钢筋净距=(250-22×7-2×30)/6，显然低于要求的25mm，因此需要两排。原假定为一排错误，需重新按两排计算。重新计算，假定钢筋为两排。1、保护层最小厚度为25mm，假定钢筋为两排，则as=65mm，h0=h-as=450－65=385mm；查表得fc=19.1N/mm2，ft=1.71N/mm2

fy=360N/mm2，xb=0.518。2、求计算系数为超筋破坏条件。说明原截面选择不合适，需扩大截面。如增加截面高度到500mm。则进行重新设计。1、保护层最小厚度为30mm，假定钢筋为两排，则as=65mm，h0=h-as=500－65=435mm；查表得fc=19.1N/mm2

ft=1.71N/mm2

fy=360N/mm2，xb=0.518。2、求计算系数满足适筋破坏条件。3、求As选配525，As=2454mm2选配332，As=2413mm24、验算最小配筋率要求满足最小配筋率要求两排布置，满足净距要求。4.6双筋矩形截面构件正截面受弯承载力计算4.6.1概述双筋截面是指同时配置受拉和受压钢筋的情况。什么是双筋截面？双筋截面的适用情况：a.

弯距很大，按单筋截面计算得到ξ>ξb，而截面尺寸受到限制，混凝土强度等级不能提高；b.

不同荷载组合情况下，梁截面承受异号弯距。受拉钢筋c.

结构或构件在某种原因下，在截面的受压区已经布置了一定数量的受力钢筋，宜考虑其受压作用而按双筋计算。4.6.2计算公式与适用条件受压钢筋是否屈服？当受压钢筋屈服，达到抗压屈服强度f’y

。配置受压钢筋后，为防止受压钢筋压曲而导致受压区混凝土保护层过早崩落影响承载力，必须配置封闭箍筋。h0aｓA’

sAsCc=fcbxT=fyAsMuxecu>eyseas’α1双筋截面在满足构造要求的条件下，截面达到Mu的标志仍然是受压边缘混凝土达到ecu。在截面受弯承载力计算时，受压区混凝土的应力仍可按等效矩形应力图方法考虑。双筋截面的分解As1As2sA

fy'As'α1fcbx

fyAsMu

fy'As'

fyAs2AssA双筋截面的分解

fyAs1α1fcbx力的平衡力矩平衡防止超筋脆性破坏受压钢筋强度充分利用（受压钢筋达到受压屈服强度）若此式不满足？对受压钢筋合力点处取矩双筋截面一般不会出现少筋破坏，可不必验算最小配筋率。适用条件★截面设计已知：弯矩设计值M，截面b、h、as和as

，材料强度fy、

fy

、fc

。求：截面配筋未知数：x、As、

As取x=

xb4.6.3计算方法力的平衡力矩平衡一般取fy

=fy,★截面设计已知：弯矩设计值M，截面b、h、as和as

，材料强度fy、

fy

、fc

以及受压钢筋As,。求：受拉钢筋未知数：x、As力的平衡力矩平衡由力矩平衡方程求得x由力平衡方程求得As★方法一未知数：x、As力的平衡力矩平衡由力矩平衡方程★方法二根据钢筋总面积进行配筋按单筋矩形截面求As2★注意：（1）当时，取，则

（2）当时，表明不够，要按和未知的情况重新设计。★

截面复核已知：b、h、as、as、As、As

、fy、

fy

、fc。求：Mu≥M力的平衡力矩平衡未知数：受压区高度x和受弯承载力Mu两个未知数，有唯一解。注意两个问题：（1）当时，取（2）当时，取4.7T形截面构件正截面受弯承载力计算4.7.1概述承载力的观点：构建破坏时受拉混凝土已经大部分退出工作，因此挖去受拉区混凝土，形成T形截面，对受弯承载力没有影响。剩下的梁就成为由梁肋(b×h)及挑出翼缘，两部分所组成的T形截面。目的和好处：节省混凝土，减轻自重。受拉钢筋较多，可将截面底部宽度适当增大，形成工形截面。工形截面的受弯承载力的计算与T形截面相同。如右图所示的倒T形截面，受拉混凝土开裂后，翼缘对承载力将不起作用，所以应按照肋宽为b的矩形截面计算受弯承载力。b同样，对于承受负弯矩的T形截面，同样按照肋宽为b的矩形截面计算受弯承载力。试验和理论分析均表明，翼缘上混凝土的纵向压应力不是均匀分布的，离梁肋越远压应力