数值分析3(插值方法)

切比雪夫插值分段插值函数Hermite插值《数值分析》13

选取插值结点

a≤x0＜x1＜······＜xn≤b满足插值条件Ln(xk)=f(xk)的

n

次多项式插值余项其中思路1:选取节点x0,x1,······,xn

插值误差思路2:局部化(分段线性)例1.函数选取等距插值结点:-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5x∈[-5,5]11(x)=(x+5)(x+4)(x+3)(x+2)(x+1)x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)11(x)

-4.9491-4.5482-3.7787-2.7032-1.40870.00001.40872.70323.77874.54824.9491在[-5,5]区间上,选取11个切比雪夫节点(k=10,9,8,···,1,0)11(x)=(x–x0)(x–x1)(x–x2)······(x–x10)11(x)

参考:NumericalAnalysis,TimothySauer插值函数L10(x)选取切比雪夫节点插值插值函数L10(x)选取等距节点插值分段线性插值(piecewise-linear)插值节点满足:x0<x1<······<xn

已知yj=f(xj)(j=0,1,2,···,n)(j=0,1,···,n-1)x∈[xj,xj+1]时,线性插值函数Demo1

x=-5:5;y=1./(x.^2+1);u=-5:.01:5;v1=polyinterp(x,y,u);plot(x,y,'o',u,v1,'-')holdon,v2=piecelin(x,y,u);plot(u,v2,'r-')分段线性插值函数是连续函数,但它的一阶导数不连续。在每个子区间内导数为常数,但在节点(breakpoint)上它的值发生跳变。程序片段1:MatlabCode:分段线性插值functionv=piecelin(x,y,u)%PIECELINPiecewiselinearinterpolation.%v=piecelin(x,y,u)findsthepiecewiselinearL(x)%withL(x(j))=y(j)andreturnsv(k)=L(u(k)).

%Firstdivideddifferencedelta=diff(y)./diff(x);

%Findsubintervalindicesksothatx(k)<=u<x(k+1)n=length(x);k=ones(size(u));forj=2:n-1

k(x(j)<=u)=j;end

%Evaluateinterpolants=u-x(k);v=y(k)+s.*delta(k);是否可以在光滑性和局部单调性之间折衷呢?

多项式插值是一个极端,它可以进行无限次的微分,但它通常不能保持给定数据所描述的形状,特别是在端点附近。分段线性插值是另一个极端,它几乎没有任何光滑性。它连续但一阶导数存在跳变。另一方面它保持了给定数据的局部单调性。插值函数

H(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3Hermite插值问题

两点三次插值问题,已知插值条件如下:不仅要求函数值相等，而且要求若干阶导数值也相等。即要求插值函数

(x)

满足

(xi)=f(xi),’(xi)=f’(xi),…,(m)(xi)=f

(m)(xi)。插值问题研究包括如下三个方面:插值函数的选择和构造插值函数的存在唯一性插值误差估计的问题定理5.4x0和x1互异,满足插值条件的次数小于等于三次的Hermite插值是存在且唯一的。存在唯一性证明:Hermite插值的基函数(BuildingBlock)

x0

x1

1 00 0

0 1

0 0x

x0

x1

0

01 0

0

0

0 1x

x0

x1

0

01 0

0

0

0 1x

x0

x1

1 00 0

0 1

0 0x两点Hermite插值的误差估计证明:由插值条件知如果x等于x0或x1

有f(x0)=H3(x0)和f(x1)=H3(x1)。如果x不等于x0或x1,考虑构造辅助函数显然F(t)有三个零点x0,x,x1,由Rolle定理知,存在

两个零点t0,t1。

故有四个相异零点反复应用Rolle定理,得F(4)(t)有一个零点分段线性插值插值节点满足:x0<x1<······<xn

已知yj=f(xj)(j=0,1,2,···,n)(j=0,1,···,n-1)x∈[xj，xj+1]时,线性插值函数分段三次Hermite插值

(j=0,1