数值分析3(不动点迭代)_第1页
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迭代法回顾二分法:

设f(x)=0的根为

x*,通过迭代计算产生序列:

*设f(x)=0的根为

x*,通过迭代计算,产生序列:

迭代的思想迭代法研究包括方面:迭代初值迭代格式判别收敛及收敛速度*《数值分析》3不动点迭代法不动点迭代的收敛性迭代序列的收敛速度序列收敛加速方法*f(x)=0x=等价变换f(x)

的根的不动点不动点迭代(FixedPointIteration)例如,最简单的可以取:x*称为不动点*不动点迭代(FixedPointIteration)选择适当的初始值x0,按照如下的迭代格式计算:如果数列{xn}是有极限,则称迭代是收敛的。是非线性方程的根,的不动点。

基本思想是将非线性方程求解归结为一系列显式的函数值计算。化繁为简化难为易*例1

方程

x3+4x2–10=0在

[1,2]上有一个根,构造求根的不动点迭代格式。(1)(n=0,1,2,······)(n=0,1,2,······)(2)*

1.50000.81652.9969(-8.65)1/2

6.8e-12.2

0123nxn|xn+1-xn|

1.50001.34841.36741.36501.36531.36521.3652

1.5e-11.8e-22.4e-33.0e-43.9e-54.9e-60123456nxn|xn+1-xn|什么样的迭代格式收敛？*引理2.1如果

,满足条件:;(2)则

在

[a,b]有唯一的不动点

x*。证

若

或

,显然

有不动点设

,则有

,记

则有所以,存在x*使得即

,故

x*

是的不动点。压缩映像**如果有两个不同的不动点则有两式相减得由拉格朗日中值定理知,存在介于之间,使(与L<1条件矛盾)故不动点唯一。*中值定理:

若函数f(x)满足:(i)在[a,b]连续;(ii)在(a,b)可导;则在

(a,b)内至少存在一点,使得*定理2.3如果

,满足条件:;(2)则对任意的

x0∈[a,b],迭代格式

产生的序列

{xn}收敛到不动点

x*,且满足证*(0<L<1)所以,故迭代格式收敛**不动点迭代法的局部收敛定理收敛速度数列的r

阶收敛概念设

,若存在

a>0,r>0使得则称数列{xn}r

阶收敛。特别:(1)收敛阶r=1时,称为线性收敛;(2)收敛阶r>1时,称为超线性收敛;(3)收敛阶r=2时,称为平方收敛。序列的收敛阶数越高,则收敛速度越快。**定理2.6设x*是

的不动点,且而

则

p阶收敛由Taylor公式其中,介于xn和x*之间.所以故迭代法p阶收敛。*例2用不同迭代格式求方程

x2-3=0的根。a)b)*n

xn

2.00000001.75000001.73437501.73236081.73209231.7320563

0.06690.12940.13330.13380.1339

012345n

xn

2.00000001.75000001.73214281.73205081.73205081.7320508

0.06690.00512.6

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