数学物理方程ch1

数学物理方程主讲：孟义平Ch1绪论偏微分方程（PartialDifferentialEquation)

指在物理学、力学、工程技术以及其他自然科学、技术科学、管理科学、甚至社会科学等的研究中归纳出来的一些含有未知函数及其偏导数的方程悠久的历史数学的发展广泛的应用悠久的历史：著名的弦振动方程：

特殊的偏微分方程最早出现在1734年Euler的著作中，并于1743年出现在d'Alembert的《论动力学》中。1727：JohnBernoulli,离散质量情形d'Alembert(研究弦振动方程的先驱）1746：《张紧的弦振动时形成的曲线的研究》广泛的应用：传统学科：流体力学：Navier-Stokes方程组（粘性流体）Euler方程组（无粘流体）弹性力学：Saint-Venant方程组电动力学：Maxwell方程组(电磁场）量子力学：Schrodinger方程Dirac方程（微观粒子）广义相对论：Einstein方程（引力场）规范场：Yang-Mills方程磁流体力学、反应流体力学、热弹性力学......交叉学科：生物数学：生物种群动力学传染病动力学DNA分子动力学金融数学：随机微分方程经济学社会科学......数学的发展：偏微分方程推动数学其他分支的发展：函数论变分法级数展开

常微分方程代数微分几何......参考书Courant-Hilbert:MethodofMathematicalPhysicsFritzJohn:PartialDifferentialEquationsWalterStrauss:PartialDifferentiaEquations,AnIntroductionLawrenceC.Evans:PartialDifferentialEquations谷超豪，李大潜，陈恕行等：数学物理方程§1基本概念一、基本概念与定义偏微分方程(PartialDifferentialEquations)指含有未知函数以及未知函数的某些偏导数的等式(描述自变量、未知函数及其偏导数之间的关系)；PDE的阶：出现在PDE中的最高阶偏导数的阶数；一般形式为。注：F可以不显含自变量和未知函数，但必须含有未知函数的某个偏导数。PDE的维数：空间变量的个数（对发展型方程：维数=自变量个数-1，非发展方程：维数=自变量个数）；微分方程的分类：1、如果方程关于未知函数及其各阶偏导数是线性

的，则称此方程为线性方程，反之称为非线性方程；2、如非线性方程对未知函数的所有最高阶偏导数总体来说是线性的，则称它为拟线性方程；3、如非线性方程中方程对未知函数的最高阶偏导

数不是线性的，则称它为完全非线性方程；4、对线性偏微分方程而言，将方程中不含未知函数及其偏导数的项称为自由项。当自由项为零时，该方程称为齐次方程，否则称为非齐次方程。例1判断下列方程类型：

一阶线性一阶拟线性三阶拟线性一阶非线性二阶拟线性微分方程的解：

形式解：未经过验证的解为形式解。特解：通过定解条件确定了解中的任意常数后得到的解。通解：解中含有相互独立的和偏微分方程阶数相同的任意常数的解。古典解：如果将某个函数u

代入偏微分方程中，能使方程成为恒等式，则这个函数就是该偏微分方程的解。例2验证是方程的解，其中f,g是任意两个二阶连续可微函数，a为正常数。解：故移项即证。§2三类典型方程的导出一、弦振动方程十八世纪达朗贝尔(D’Alembert)等人首先讨论了如下的弹性弦的振动问题。在考察弦振动问题时的基本假设为:1.均匀细弦:理解为弦的直径与弦的长度相比可以忽略，以至可以将弦视为一条曲线，它的线密度ρ为常数。与张力相比，弦的重量可忽略不计。2.平衡位置:弦静止时的位置，通常设为x轴；

设有一根长为L均匀柔软富有弹性的细弦，平衡时沿直线拉紧，而使弦在铅直平面内作微小横振动，求弦上各点的运动规律。4.微小横振动：即弦的位置始终在一平面内的一条直线段附近，且弦振动的幅度及弦在任意位置处的切线的倾角都很小，弦上各点的位移与平衡位置垂直。我们取弦的平衡位置为x轴，建立如图所示的坐标系。在弦上任取一小段[x,x+△x]，3.柔软富有弹性:可以假设为弦在形变时不抵抗弯曲，弦上各质点间的张力方向与弦的切线方向一致，而弦的伸长形变与张力的关系服从胡克(Hooke)定律.

u(x,t)：弦上x点在t时刻垂直于x轴的位移微元法：这一段的弧长为：由假设4可知，很小，于是与1相比可以忽略不计，从而弧段NM在x轴方向的受力的总和为。由于弦只作横向振动，因此

。由于弦作微小振动，根据假设4知都很小，从而因此可以近似地得到。弧段NM在u轴方向的受力总和为注意到

都很小，因此且弧段NM在u方向时刻t的运动加速度为，小弧段的质量为，所以即也就是当

时取极限，得即一般说来，张力较大时弦振动速度变化较快，即

要比

g大得多，所以又可以把g略去。经过这样逐步略去一些次要的量，抓住主要的量。最后得到u(x,t)应近似地满足的方程这里

。

(1)式称为一维波动方程

如果弦还在横向(位移

u的方向)受到外力的作用。设在时刻

t弦上

x点处的外力密度为

F(x,t)。仿照前面的推导，有这里

。

方程(2)与(1)的差别在于(2)的右端多了一个与未知函数u(x,t)无关的项，这个项称为自由项。我们把含有自由项的方程称为非齐次方程。自由项恒等于0的方程称为齐次方程。(1)为齐次一维波动方程，(2)为非齐次一维波动方程。类似地，可以推出均匀薄膜的横振动满足二维波动方程其中是薄膜在时刻t和处的位移；,T为张力，为薄膜的面密度；表示t时刻、单位质量膜在处所受垂直为Oxy平面上的有界区域。方向的外力；根据电磁场理论中的麦克斯韦方程，可以推出电场E和磁场H满足的三维波动方程其中c是光速。二、热传导方程当一个物体内部各点的温度分布不均匀时，热量会从温度高的地方向温度低的地方流动，这种现象称为热传导。由于热传导过程总是表现为温度随时间和未知的变量而变化，所以解决热传导问题，归结为求物体内温度的分布问题。

在物体Ω中任取一小区域为V，它的外表曲面为，如图所示。热场假设区域V内点M(x,y,z)处在时刻t的温度为u(x,y,z,t),n为曲面元素dS的单位外法向量。由热传导学中的Fourier实验定律知：物体在无穷小时间dt内流过一个无穷小面积元dS的热量dQ与时间dt，热流通过的面积dS及u沿dS的法向的方向导数成正比，即其中k=k(x,y,z)称为物体在点M(x,y,z)处的热传导系数，取正值。规定外法线方向n所指的那一侧为dS的正侧。上式的负号表示热流流向是温度高的地方流向温度低的地方。故当，热量实际是向-n方向流去。当物体均匀且各向同性时，可令热传导系数k,物体的密度ρ，比热c都为常数。利用上面的关系，在时间段内，通过曲面流入区域V的全部热量为：根据散度定理得，如果物体内有热源，设在单位时间内单位体积所产生的热量为F(x,y,z,t),则在内热源放出的热量为：流入的热量和物理内部热源产生的热量使V内温度发生变化。区域V在时间间隔内各点温度从变化到。于是在内V内温度升高所需的热量为：由能量守恒定律，有，即由于时间间隔及区域V都是任意的，并且被积函数都是连续的，因此令，得称（6）为三维热传导方程。如果物体内部没有热源，即

f≡0,则得齐次热传导方程注1：在前面所讨论的热传导问题中，作为特例，如果所考虑的物体是一根细杆或一块薄板，或者即使不是细杆或薄板，而其中的温度u只与x和t，或只与x,y和t有关，则方程（7）就变成一维热传导方程或二维热传导方程注2：虽然我们习惯上称式（7）为热传导方程，但在生产实际中还有很多现象都可以用这种方程来描述。例如在电学中，海底电缆的电压e也满足方程其中k=RC，R为电阻，C为电容。又如导电线圈在所围柱体内的磁场H满足方程其中，c为光速，μ为磁导率，σ为电容率。在研究物质在液体中的扩散现象时，扩散物质的浓度N(单位体积中扩散物质的含量)也满足方程

其中D是扩散系数，所以也称此方程为扩散方程。三、Laplace方程

在上面研究的温度分布问题中，如果经过相当长的时间后，区域内各点的温度随时间的改变所发生的变化已不显著，在数学上可近似看作，这时我们说温度分布趋于定常，则此时热传导方程变为上式称为三维Laplace方程。若记Hamilton算子为

波动方程，热传导方程和Laplace方程是我们今后着重研究的三类方程，许多物理现象可归结为这三类典型的方程。称为Laplace算符，则上式变为记称方程为三维泊松方程。在电学中，该方程为电位满足的方程，其中，为电荷密度。静电场、引力势、流体力学中的势和弹性力学中的调和势都是用上述方程表示。§3定解条件与定解问题定解问题：一个PDE与定解条件一起构成对于具体问题的完整描述。泛定方程：定解问题中的PDE。定解条件：初始条件，边界条件。

其中为已知函数。我们称（1）为应满足的初始条件或柯西（Cauchy）初始条件。一、弦振动问题的定解条件1、初始条件方程（1）或（2）描述了弦振动的一般规律，但是弦振动的具体情况还与弦两端的约束情况以及弦上各点在初始时刻的位移和速度有关，即还需附加边界条件和初始条件。设弦在开始时刻位于点x的位移为，初速度为。即一般地，一个方程如果其关于时间的导数的最高阶导数为n，则对应的初始条件需要给出未知函数关于时间直到n-1阶导数的所有初始时刻的值。2、边界条件

（1）固定端最简单的边界条件为已知端点的位移规律，即其中为两个已知函数。这种边界条件被称为狄利克雷(Dirichlet)边界条件（也称为第一类边值条件）。

特别地，如果在整个振动过程中弦的两端保持固定，即都恒为0时，称为第一类齐次边值条件。也就是

（2）自由端

在前面所讨论的弦振动问题中，若弦的一段（例如x=0）在u轴方向上自由滑动，且不受垂直方向的外力。这种边界称为自由边界。由于在x=0处的张力的分量为

，于是

若边界张力沿u方向的分量是关于时间t的一个已知函数w(t)，则相应的边界条件为

这种类型的边界条件称为诺伊曼（Neumann）边界条件，也称为第二类边界条件。

（3）弹性支承端

若弦的一端束缚在与Ox轴垂直的某个弹性体上，弹性体的弹性系数为k。

u在x=l的值表示该弹性支承在该点的伸长。弦在支承拉力的垂直方向的分力为。由Hooke定律，有因此在弹性支承的情况下，边界条件归结为其中为已知函数。在数学中还可以考虑更普遍的边界条件

其中h(t)为已知函数。(6)(7)称为第三类边界条件，也称罗宾(Robin)边界条件或称混合边界条件。二、热传导方程的定解条件显然与弦振动问题类似，单靠一个微分方程还不足以完全确定一个特定的物理过程。我们知道，对于一个物体，在一个确定的传热过程中，它的温度分布依赖于开始时刻的温度和物体表面上的温度，因此还须对方程附加相应的初值条件和边值条件。

初始条件下可以写成：

其中为已知函数，它描述物体在t=0时刻的温度分布。关于边界条件，从物理现象发生的过程来看有三种情况：情形1：若物体的表面的温度分布已知，这时可归结为第一类边界条件：其中是给定在上的已知函数。情形2：若已知物体

表面上每一点的热流密度q，也就是通过边界曲面

上的单位面积单位时间内的热量已知，这实际上表示温度

u沿边界曲面

的法向导数是已知的，这时可以归结为第二类边界条件：其中

是给定在

上的已知函数。特别，如物体

的边界是绝热的，即物体与周围介质无热交换，于是

，这时归结为第二类齐次边界条件：情形3：若已知通过

与周围介质发生热量交换。不妨设周围介质在物体表面的温度为

，则物体

和外部介质的温度差为：此时会产生热量流动。根据牛顿热交换定律：在无穷小时段内，经过物体表面的无穷小面积dS的流出（入）到周围介质中的热量和物体与介质在接触面上的温度差成正比。即这里

为热交换系数。由傅里叶定律，应有。根据热量守恒定律，得即其中。对于拉普拉斯方程和泊松方程，因为是描述稳恒状态的，与时间无关，所以不提初始条件，只提边界条件，其边界条件与前面两类方程类似。三、Laplace方程的定解条件四、定解问题

把某种物理现象满足的偏微分方程和其相应的定解条件结合在一起，就构成了一个定解问题。初始问题：只有初始条件，没有边界条件的定解问题；(2)边值问题：没有初始条件，只有边界条件的定解问题；(3)混合问题：既有初始条件，也有边界条件的定解问题。例：无限长弦振动的定解问题热传导方程的定解问题拉普拉斯方程和泊松方程定解问题只提边值问题§4定解问题的适定性

任何一个定解问题，特别是从一些物理过程引起的定解问题，应该具有一定的现实性、确定性以及逼近性。所谓现实性，指这个问题有解存在；所谓确定性，指这个问题不至于有无穷多解，通常只要求唯一的解；所谓可逼近性，指这个问题可借助于较可行的方法近似的求解，因为附加条件的数据一般只能近似的给出。从数学上看，判断一个定解问题是否合理，既是否能够描述给定的物理状态，一般来说有以下三个标准：(1)解的存在性(existence)：所给定的定解问题至少存

在一个解；(2)解的唯一性(uniqueness)：所给定的定解问题至

多存在一个解；

定解问题的存在性、唯一性和稳定性统称为定解问题的适定性。一个定解问题若存在唯一、稳定的解，则称该问题是适定的；否则是不适定的。(3)解的稳定性(stability)：当给定条件以及方程中的系数有微小变动时，相应的解也只有微小的变动。解的稳定性也称为解关于参数的连续依赖性。Hadamard例(1930年代)这个初始问题有解此定解问题是不适定的不适定问题的求解是目前一个研究课题