工程力学07-动静法(进化版)

第三篇动力学任课教师：王宏伟whw@力学与建筑工程学院动静法-达朗伯原理7第7章

动静法-达朗伯(D′Alembert)原理※

几个工程实际问题※

质点系的达朗伯原理※

质点的惯性力与动静法※

刚体惯性力系的简化※

结论与讨论※

动绕定轴转动刚体的轴承动反力

几个工程实际问题爆破时烟囱怎样倒塌

几个工程实际问题

几个工程实际问题sFIFNFmaxzyOmAFN——约束力；F——主动力；§7-1惯性力·质点的达朗伯原理根据牛顿定律ma＝F+FNF+FN

－ma＝0FI

＝－maF+FN

＋

FI

＝0FI——质点的惯性力。

非自由质点的达朗伯原理

作用在质点上的主动力和约束力与假想施加在质点上的惯性力，形式上组成平衡力系。FI

＝－maF+FN

＋

FI＝0应用达朗伯原理求解非自由质点动约束力的方法动静法1、分析质点所受的主动力和约束力；2、分析质点的运动，确定加速度；3、在质点上施加与加速度方向相反的惯性力。非自由质点达朗贝尔原理的投影形式BACllllO1x1y1例题1离心调速器已知：m1－球A、B的质量；m2－重锤C的质量；l－杆件的长度；－O1y1轴的旋转角速度。求：－的关系。解：

1、分析受力：以球

B(或A)和重锤C为研究对象，分析所受的主动力和约束力BFT1FT2m1

gCFT3m2

gFT1′2、分析运动：施加惯性力。

球绕O1y1轴作等速圆周运动，惯性力方向与法向加速度方向相反，其值为FI＝m1l2sin

重锤静止，无惯性力。FIBFT1FT2m1

gCFT3m2

gFT1′FI3、应用动静法：对于重锤C对于球B例题2平衡位置Oyy＝asint

求：颗粒脱离台面的最小振动频率振动筛平衡位置OyymamgFNFI

解：通过分析受力、分析运动并施加惯性力，确定颗粒脱离台面的位置和条件。FI＝ma2sint

颗粒脱离台面的条件FN＝0，

sint＝1时，最小。应用动静法(a)当其在平衡位置的上方平衡位置OyymamgFNFI

(b)当其在平衡位置的下方

解：通过分析受力、分析运动并施加惯性力，确定颗粒脱离台面的位置和条件。应用动静法

颗粒在平衡位置以下时不会脱离台面。sFIFNFmaxzyOmAFN——约束力；F——主动力；§7-1惯性力·质点的达朗伯原理根据牛顿定律ma＝F+FNF+FN

－ma＝0FI

＝－maF+FN

＋

FI

＝0FI——质点的惯性力。

非自由质点的达朗伯原理

作用在质点上的主动力和约束力与假想施加在质点上的惯性力，形式上组成平衡力系。FI

＝－maF+FN

＋

FI＝0应用达朗伯原理求解非自由质点动约束力的方法动静法1、分析质点所受的主动力和约束力；2、分析质点的运动，确定加速度；3、在质点上施加与加速度方向相反的惯性力。非自由质点达朗贝尔原理的投影形式§7-2质点系的达朗伯原理a2a1aiF1F2FiFN1FN2FNiFI1FI2FIim1mim2质点系的主动力系质点系的约束力系质点系的惯性力系对质点系应用达朗伯原理，由动静法得到a2a1aiF1外F2外Fi外F1内F2内Fi内FI1FI2FIim1mim2由动静法得到进而=0=0作用在质点系上的所有外力与虚加在每个质点上的惯性力在形式上组成平衡力系。Or例题3已知：定滑轮半径r

，质量m均匀分布在轮边缘。m1，m2，轮绳不打滑。求：重物的加速度。m2m1解：

取定滑轮和两重物组成的系统为研究对象，受力分析，计算惯性力

m1gFI2m2gmgFoxFoyaaFI1FI1＝m1aFI2＝m2aFIi法FIi切OxyFIidFTFTOR例题4已知：m

，R，。求：轮缘横截面的张力。解：取上半部分轮缘为研究对象

刚体惯性力系特点

刚体惯性力的分布与刚体的质量分布以及刚体上各点的绝对加速度有关。FIi＝－miai

对于平面问题(或者可以简化为平面问题)，刚体的惯性力为面积力，组成平面力系。

对于一般问题，刚体的惯性力为体积力，组成空间一般力系。§7-3刚体惯性力系的简化惯性力系：质点系的动力学问题，需要对质点系内每个质点加上各自的惯性力，这些惯性力形成一个力系，称为惯性力系。

惯性力系的主矢

惯性力系的主矢等于刚体的质量与刚体质心加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反。这一简化结果与运动形式无关。

惯性力系的主矩－惯性力系的主矩与刚体的运动形式有关。aCa1a2anmm2mnm1FInFI1FI2FIR1、刚体作平动

刚体平移时，惯性力系简化为通过刚体质心的合力。O2、刚体绕定轴转动OCCmiMIOOMIO

当刚体有对称平面且绕垂直于对称平面的定轴转动时，惯性力系简化为对称平面内的一个力和一个力偶。这个力等于刚体质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反，作用线通过转轴；这个力偶的矩等于刚体的转动惯量与角加速度的乘积，转向与角加速度相反。OMIO3、刚体作平面运动

具有质量对称平面的刚体作平面运动，并且运动平面与质量对称平面互相平行。对于这种情形，先将刚体的空间惯性力系向质量对称平面内简化，得到这一平面内的平面惯性力系，然后再对平面惯性力系作进一步简化。CaCMIC例题5已知：m,h,,l。求：A、D处约束反力。mgFNFAxFAyFIBDCA解：取AB

杆为研究对象BADah其中：mgFNFAxFAyFIBDCA其中：CDahbCmgFFI例题6已知：m,h,a,b,f。求：为了安全运送货物，小车的amax。解：取小车为研究对象FNd货物不滑的条件：F≤fFN，a

≤fg货物不翻的条件：d≤b/2

，a

≤bg/h为了安全运送货物，应取两者中的小者作为小车的amax。OrlAB例题7已知：AB杆质量为m

,长为l=2r,

求：A端的约束反力。圆盘半径为r,角速度为，角加速度为。解：取AB杆为研究对象FAxFAymgABCOMIOMA（1）分析运动，施加惯性力。FAxFAymgABCOMIOMAABCMlMAC例题8已知：A物体与轮C的质量求：

（1）A

物体上升的加速度；（2）B

端的约束反力。均为m，BC杆的质量为m1，长为l，在轮C上作用一主动力偶M。解：（1）取A物体与轮C为研究对象mgmgFIAMICFCxFCy其中：MACmgmgFIAMICFCxFCy其中：（2）取BC

杆为研究对象BCFCx'FCy'MBFBxFBym1g例题9已知：两均质直杆自水平位置无初速地释放。求：两杆的角加速度和

O、A处的约束反力。解:(1)

取系统为研究对象ABOMI1MI2mgmgFI2FI1FOyFOxBAO12(2)取AB杆为研究对象MI2mgFI2FAyFAxBA2(2)取AB杆为研究对象MI2mgFI2FAyFAxBA2

(3)

取系统为研究对象MI1MI2mgmgFI2FI1FOyFOxBAO12

结论与讨论

引进惯性力的概念，将动力学系统的二阶运动量表示为惯性力，进而应用静力学方法研究动力学问题——达朗伯原理。

达朗伯原理与动静法为解决非自由质点系的动力学问题提供了有别于动力学普遍定理的另外一类方法。

达朗伯原理一方面广泛应用于刚体动力学求解动约束力；另一方面又普遍应用于弹性杆件求解动应力。

质点的惯性力定义为质点的质量与加速度的乘积，并冠以负号，即

质点的达朗伯原理：质点上的主动力、约束反力和惯性力在形式上组成平衡力系，有

质点系的达朗伯原理：在质点系中每个质点上都假想地加上该质点的惯性力，则作用于各质点的真实力与惯性力在形式上组成平衡力系，有FI

＝－maF+FN

＋

FI＝0Fi

+FNi

＋

FIi＝0(i=1,2,…n)

刚体的惯性力系简化结果1、刚体作平动质体作平动时，惯性力系简化为一个通过质心的合力FI

。FI

＝－maC2、刚体绕定轴转动惯性力系向转轴上任一点O简化，得一力和一力偶，该力等于惯性力系主矢FI

，该力