第 七 章 应力和应变分析强度理论

1材 料 力 学南京航空航天大学陶秋帆等第七章应力和应变分析

强度理论2第七章 应力和应变分析 强度理论本章内容:1 应力状态概述2 二向和三向应力状态的实例3 二向应力状态分析⎯⎯

解析法4 二向应力状态分析⎯⎯

图解法5 三向应力状态6 位移与应变分量7 平面应变状态分析8 广义胡克定律33 二向应力状态分析⎯⎯

解析法4 二向应力状态分析⎯⎯

图解法5 三向应力状态6 位移与应变分量7 平面应变状态分析8 广义胡克定律9 复杂应力状态的变形比能10 强度理论概述11 四种常用强度理论12 莫尔强度理论13 构件含裂纹时的断裂准则4§7.

1 应力状态概述1 问题的提出· 低碳钢和铸铁的拉伸实验。

低碳钢的拉伸实验。

铸铁的拉伸实验问题：为什么低碳钢拉伸时会出现

45º

滑移线？5· 低碳钢和铸铁的扭转实验。

低碳钢的扭转实验。

铸铁的扭转实验问题：为什么铸铁扭转时会沿

45º

螺旋面断开？所以，不仅要研究横截面上的应力，而且也要研究斜截面上的应力。62 应力的三个重要概念· 应力的点的概念同一物体内不同点的应力各不相同，此即应力的点的概念。· 应力的面的概念MzNQ7· 应力的面的概念过同一点的不同方向的截面上的应力各不相同，此即应力的面的概念。

所以，讲到应力，应指明是哪一点在哪一方向面

上的应力。· 应力状态的概念过一点的不同方向面上的应力的集合，称为这一点的应力状态。8· 应力状态的概念过一点的不同方向面上的应力的集合，称为这

一点的应力状态。93 一点应力状态的描述· 单元体·

单元体的特点。

单元体的边长

dx,

dy,

dz

均为无穷小量；10。

单元体的边长

dx,

dy,

dz

均为无穷小量；。

单元体的每一个面上，应力均匀分布；·

单元体的特点。

单元体中相互平行的两个面上，应力相同。4 主应力及应力状态的分类·

主应力和主平面切应力全为零时的正应力称为主应力；114 主应力及应力状态的分类·

主应力和主平面切应力全为零时的正应力称为主应力；主应力所在的平面称为主平面；主平面的外法线方向称为主方向。主应力用1,

2

,

3

表示

(1

2

3

)

。·

应力状态分类

。

单向应力状态12·

应力状态分类。

单向应力状态。

二向应力状态(平面应力状态)。

三向应力状态(空间应力状态)yxz

x

yxy

z

zx

yx

yz

zy

xz。

简单应力状态。

复杂应力状态

xxxyyy

yx13§7.

2 二向和三向应力状态的实例1 二向应力状态的实例·

薄壁圆筒已知：p,D,t。。

求'端部总压力4

D2P

p

P

A

Dt

D2p4

pD4t14。

求'A

P

Dtp

D424t

pD。

求''取研究对象如图。15。

求''计算N力Y

0D2N

p

l d

sin

20

plDN

plD2即：内压力在y方向的投影等于内压乘以投影面积。162N

plD所以

N

NA t

l

pD2t174t 2t可以看出：轴向应力

是环向应力的一半。对于薄壁圆筒，有：t

≺

D

pD20

pD

,

＞

5

p,

＞

10

p所以，可以忽略内表面受到的内压p和外表面受到的大气压强，近似作为二向应力状态处理。182 三向应力状态的实例· 滚珠轴承

3

019例

2

(书例8.1)已知：蒸汽锅炉，

t=10mm,

D=1m,p=3MPa

。求：三个主应力。

解：前面已得到

pD

75

MPa,

pD

150

MPa2t4t1

150

MPa,

2

75

MPa,20例

3

(书例8.2)已知：球形容器，t

,

D,

p

。求：容器壁内的应力。解：

取研究对象如图。与薄壁圆筒的情况类似，有：

pD4t所以：1

2

,4

D2P

p

Y

0

Dt

P

p

3

04

D221§7.

3 二向应力状态分析⎯⎯

解析法·二向应力状态的表示。 切应力的下标

x

y· 应力状态分析在已知过一点的某些截面上的应力时，求出过该点的任一截面上的应力，从而求出主应力和主平面。作用面的法线 切应力的方向22·二向应力状态的表示。 切应力的下标

x

y作用面的法线 切应力的方向。正负号规定正应力（

x

x

x拉为正压为负

x外法线n的正向的角为正;反之为负。23（切应力使单元体顺时针方向转动为正；反之为负。x'y'

yx

xy（截面的方向角由x正向逆时针转到截面的nyx24·

方向角为的截面上的应力以单元体的一部分为研究对象。由平衡条件

0

Fn

d

A

(

xy

d

A

cos

)

sin

(

x

d

A

cos

)

cos(

yx

d

Asin

)

cos(

y

d

Asin

)

sin

0

0

Ft25

0

Fn

d

A

(

xy

d

A

cos

)

sin

(

x

d

A

cos

)

cos(

yx

d

Asin

)

cos(

y

d

Asin

)

sin

0

0

Ft

d

A

(

xy

d

A

cos

)

cos(

x

d

A

cos

)

sin(

y

d

Asin

)

cos(

yx

d

Asin

)

sin

026

0

Ft

d

A

(

xy

d

A

cos

)

cos(

x

d

A

cos

)

sin(

y

d

Asin

)

cos(

yx

d

Asin

)

sin

0由切应力互等定理，xy与

yx

大小相等。cos2

sin

2

x

y

x

y

2 2

x

yxysin

2

xy

cos2

227·

最大正应力和最小正应力sin

2cos2

x

y

x

y

22

x

yxycos2sin

2

2xy

2( x

y

sin

2

dd令：

x

y2

xytan

20

可以看出：当

=0

时，

0取极值的正应力为主应力。cos2)

22xy

0dd28令：

x

y2

xytan

20

可以看出：当

=0

时，

0取极值的正应力为主应力。若

0

满足上式，则

0

+90º也满足上式，代入公式可得：

0dd

22

min

⎭

max22xy

x y ⎜

x y ⎟⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎬⎫29若

0

满足上式，则

0

+90º也满足上式，代入公式可得：

22

min

⎭

max22xy

x y ⎜

x y ⎟⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎬⎫·

正应力的不变量30·

正应力的不变量截面上的正应力为:sin

2cos2

x

y

x

y

2 2xy

+90º

截面上的正应力为:sin(2

)y

cos(2

)

2 290

x y

xxysin

2y cos2

2 2xyxx y

90

x

y任意两个互相垂直的截面上的正应力之和为常数.31·

最大切应力和最小切应力cos2sin

2

x

y

2xy

(

)

cos2

2d

dd令：2

xy

x

ytan

21

yx

0dsin

2xy若

1

满足上式，则

1

+90º也满足上式，代入

22公式可得：

max⎫⎬

min

⎭2xy

⎜

x y ⎟⎟⎠⎞⎜⎝⎛

32若

1

满足上式，则

1

+90º也满足上式，代入公式可得：

22

min

⎭

max2xy

⎜

x y ⎟⎟⎝

⎠⎞⎜⎛

⎬⎫

22

min

⎭

max

x

y22xy

⎜

x y ⎟⎟⎝

⎠⎞⎜⎛⎬⎫

(

)21minmax。切应力的极值称为主切应力

主切应力所在的平面称为主剪平面。。主剪平面上的正应力33。切应力的极值称为主切应力。主切应力所在的平面称为主剪平面

主剪平面上的正应力。sin

2cos2

x

y

x

y

2 2xy2

xy

tan

2

x

y1将

1

和

1

+90º

代入公式可得：

9011)

(

max

min21

(

)

21x y即：

主剪平面上的正应力为平均正应力。342

xy

, tan

2

x

y1将

1

和

1

+90º

代入公式可得：

9011)

(

max

min21

(

)

21x y即：

主剪平面上的正应力为平均正应力。·

主平面与主剪平面的关系2

xytan

2

0

x

y由

0

和

1

的公式可得：

tan

20

tan

21

1221

20

401

即：主平面与主剪平面的夹角为45º。35例

4

(书例8.3)已知：

圆轴受扭转。求：应力状态及分析铸铁件受扭时的破坏现象。解：。

最大切应力

T取单元体ABCD

纯切应力状态Wt

x

0,

y

0,

xy36取单元体ABCD

纯切应力状态

x

0,

y

0,

xy。

主应力

2

2

min

⎭

max22xy

⎜

x y ⎟

x y⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎬⎫。

主方向

x

yxy2tan

2

0

0

45或0

13537。

主应力max⎬

min

⎭⎫。

主方向

x

yxy2tan

2

0

或0

450

135。

主应力排序1

max

,

2

0,。

铸铁件破坏现象

3

min

38例

5

(书例8.4)已知:

A点应力

=

-70MPa,

=

50MPa。求：A点主应力和主平面，及其它点的应力状态。解：。

A点单元体。

取x轴向上为正

x

0,

y

70

MPa,

50

MPa

xy39。

取x轴向上为正

x

0,

y

70

MPa,

50

MPa

xy。

主应力

22

min

⎭

max22xy

⎜

x y

⎟

x y⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎬⎫

26

MPa,

max

(50)222

min0

(70)⎜

⎟

0

(70)

2⎠⎛

⎞⎝

96

MPa40。

主应力max

26MPa,min

96MPa1

26MPa,3

96MPa。

主方向2

0,

x

y0

27.52

xytan

2

0或0

117.50

(70)

2

(50)

1.429。

其它几点的应力状态41。

其它几点的应力状态单向拉伸单向压缩纯剪切42主拉应力1迹线。

主应力迹线主压应力

迹线343§7.

4 二向应力状态分析⎯⎯

图解法1 应力圆

(莫尔圆)

方程由公式sin

2cos2

x

y

x

y

2 2

x

y

x

yxycos2sin

2

2

x

y

2xysin

2cos2

2xy平方相加，得

y

⎟

2

⎜

x

y

⎟

22222xy

x⎜⎟⎠⎛

⎞⎜⎝⎟⎠⎞⎜⎝⎛44

y

⎟

2

⎜

x

y

⎟

2222 2xy

x⎜⎟⎠⎛

⎞⎟

⎜⎝

⎠

⎝⎞⎜⎛这是以、为变量的圆的方程。

x

y2R

1

2

4

22 x y xyROC45

x

y2D

(x,xy)O2 应力圆的画法

y

yx

xyDDRCD(y,yx)R

1

2

4

22 x y xy463 应力圆上的点与单元体面上的应力的对应关系(1)

点面对应应力圆上某一点的坐标值对应着单元体某一方向面上的正应力和切应力;47(2)

基准相当D点和x面是基准;(3)

转向一致半径旋转方向与方向面法线旋转方向一致；48(3)

转向一致半径旋转方向与方向面法线旋转方向一致；(4)

角度成双

半径转过的角度是方向面法线旋转角度的两倍。494 应力圆的应用·

确定主应力、主方向应力圆与横轴的交点

A1、B1处，剪应力为零。它们的横坐标即为主应力。从半径CD转到CA1的角度即为从x轴转到主平面的角度的两倍。50。

主应力即为A1,

B1处的正应力。

22

min

⎭

max22xy

⎜

x y ⎟

x y⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎬⎫圆心坐标应力圆半径51。

主方向CA

DA0tan

2(

x

y

)

/

22

xy

xy

x

y

52·

确定面内最大切应力主剪面对应于应力圆上的G1和G2点。面内最大切应力的值等于应力圆的半径。

22max2xy

⎜

x y ⎟

⎟⎠⎞⎜⎝⎛

1

(

)2minmax53xexADdoacx'yy'E·

单向应力状态的应力圆45º xbB2×45º2×45º54BE’’x'y'aodcbex2×45º2×45ºxBE55o·

纯切应力状态的应力圆a(0,

)＝d(0,-

)Dbec2×45º2×45º'＝BE56例

3

(书例8.5)已知：x=80MPa,

y=-40MPa,xy

=

-60MPa,yx

=

60MPa

。求：用应力圆求主应力和主方向。解：

作应力圆:由

x

80,

xy

60由

y

40,

yx

60画出应力圆D点D'点57由

x

80,

xy

60D点由

y

40,

yx

60D'点画出应力圆582

OC

x

y。

圆心坐标2

80

(40)

20。

半径

222xy

⎜

x y ⎟R⎟⎝

⎠⎞⎜⎛

(60)22280

(40)⎜

⎟⎠⎞⎝⎛

84.85

85591

OA1

OC

R

105

MPa3

OC

R

65

MPa。

主平面由几何关系从D点(x轴)逆时针转45º至A1点，

0

22.520

45。

圆心坐标。

半径OC

20R

85ECE

OE

OC

80

20

60

xED

xy

6060E。

主平面由几何关系从D点(x轴)逆时针转45º至A1点，

0

22.520

45CE

OE

OC

80

20

60ED

xy

6061例

4

(书例8.6)已知：x=

0,

y=

-40MPa,xy

=

0

。求：斜截面de上的正应力和切应力。解：作应力圆:O点B1点由

x

0,

xy

0由

y

40,

yx

0画出应力圆62由

x

0,

xy

0O点由

y

40,

yx

0B1点画出应力圆。

圆心坐标OC

OB1

/

2

20。

半径R

OC

2063

(OC

CD)

(R

R

cos

60)

30

MPa

DE

R

sin

60

17.3

MPa。

圆心坐标OC

20。

半径R

20。

单元体上0=

-60º的面所对应的点为E点D64§7.

5 三向应力状态· 三向应力状态三个主应力均不为零的应力状态。zyx

x

y

yxxy

zy

yz

z

zx

xz65· 特例至少有一个主应力的大小方向为已知。zxyxyyxyxyyxxz平面应力状态即为这种特例之一。66123· 三向应力状态的应力圆设三个主应力均已知。平平行于3的方向面－其上之应力与3

3III任一方向面上的应力位于阴影区内。III32I1平行于1的方向面－其上之应力与1无关，于是由2

、

3可作出应力圆

I行于2的方向面－其上之应力与2关，于是由1

、3可作出应力圆

II2II13III2321167· 最大切应力在三组特殊方向面中都有各自的面内

'' I1 IIIII

'''=

max32最大切应力,即：2

1

22

2

32

1

3231max

68200300o5032· 平面应力状态作为三向应力状态的特例max1

1

3

12 2max692

1

3max

可能是1,

也可能是2或3.平面应力状态作为三向应力状态的特例，应注意：(1)

按三个主应力的代数值排序确定1,

2,

3。(2)

0(3)70§7.

6 位移与应变分量§7.

7 平面应变状态分析· 任一方向的应变比较sin

2

xycos2

x

y

x

y

22 2x

ycos2

xysin

2

22

2sin

2cos2

22

x

yxyyxx ycos2sin

2

2xy71· 主要结论。

主应变方向与主应力方向相同。

主应变

1、2、3与主应力

1、2、3一一对应。

与应力圆类似，存在应变圆，与应力圆有相同的特点，不同点是

的坐标有系数

1/272· 实验应力分析：应变片与应变花73§7.

8 广义胡克定律· 单向应力状态下的胡克定律

E或· 纯剪切应力状态下的剪切胡克定律E

G或

x

x ,EG y

· 横向变形与泊松比

xxy

x

Ex74yx

x

y

yxxy· 广义胡克定律。 三向应力状态可看作是三组单向应力状态和三组纯剪切的组合。。 叠加原理用叠加原理的条件：zzzy

yzzx

xz(1)

各向同性材料；

(2)

小变形；(3)

变形在线弹性范围内。。 x方向的线应变

xx引起的部分:

x1

E

x75yxz

x

yxy

z

zx

yx

zy

yz

xz。 x方向的线应变

xx引起的部分:

xEx1y引起的部分:Eyx

2

引起的部分:zEzx3

叠加得：

E

xxE

yE

z

)]

(

1[zyxxEG76叠加得：E

xxE

yE

z

)]

(

1[zyxxE同理可得：

)]

(

1[xzyyE

)]

(

1[yxzzE剪应变为：

xy

,G Gxy

yz ,

zxyzzx这六个公式即为广义胡克定律。77

)]

1[

(321 1E

(

3

1

)]

1[22E

(1

2

)]

1

[33E

xy

0,

yz

0,

zx

0从前三式中可解出三个主应力。

用主应力表示的广义胡克定律78

)]

([(1

)(1

)(1

2

)E3211

E

)]

([(1

)(1

)(1

2

)E1322

)]

([(1

)(1

)(1

2

)2133

从前三式中可解出三个主应力79例

5已知:

受扭圆轴，d,E,

,

测得

45º

。求：外加扭矩的值。解：在测点取单元体。

纯切应力状态Wt切应力为

T1

,

2

0,

3

要求出45º方向的应变，需先求出

45º方向的应力。45º方向为主应力方向3

16T

d⎯⎯

测扭矩的方法80Wt

d

T

16T1

,

2

0,切应力为

3

45º方向为主应力方向由广义胡克定律

45

1

[1

(

2

3

)]

1E1

E3

45

1

1

16TE E

d

316(1

)

d

345ET

81· 体积胡克定律。

单元体变形前体积变形后体积略去高阶微量V

d

x

d

y

d

zV1

(1

1

)(1

2

)(1

3

)

d

x

d

y

d

zV1

(1

1

2

3

)

d

x

dy

d

z单位体积的改变82变形前体积变形后体积略去高阶微量V

d

x

d

y

d

zV1

(1

1

)(1

2

)(1

3

)

d

x

d

y

d

zV1

(1

1

2

3

)

d

x

dy

d

z单位体积的改变V

V1

V

1 2 3

⎯⎯

体积应变将广义胡克定律1

(1/

E)[1

(

2

3

)]

2

(1/

E)[

2

(

3

1

)]3

(1/

E)[

3

(1

2

)]代入上式得1 2 3

1

2

(

)321E⎯

体积胡克定律83单位体积的改变V

V1

V

1 2 3

⎯⎯

体积应变将广义胡克定律代入上式得

1

2

3

(1

2

3

)1

2E又可写成

3(12)

1

2

3E 3K

mE

3(1

2)

记3(1

2)E⎯

体积弹性模量K

m84例已知:

受扭圆轴，d,E,

,

测得

45º

。求：外加扭矩的值。解：在测点取单元体。

纯切应力状态Wt切应力为

T1

,

2

0,

3

要求出45º方向的应变，需先求出

45º方向的应力。45º方向为主应力方向3

16T

d⎯⎯

测扭矩的方法85Wt

d

T

16T1

,

2

0,切应力为

3

45º方向为主应力方向由广义胡克定律

45

1

[1

(

2

3

)]

1E1

E3

45

1

1

16TE E

d

316(1

)

d

345ET

86例1

(书例7.9)已知:

孔:

d1=50.01mm柱:

d2=50mm,

P=300kN, 钢块不变形。E=200GPa,

=0.3。求：圆柱的主应力。解：。

柱受到的压应力

3

153MPAP87

3

153MPPA2

5.001

5

0.000251

⎦⎦2233

1

⎡⎤

1

⎡

p

p ⎤EE

⎣⎣p

3

E2

8.43MP1

径向的应变由广义胡克定律可得88p

3

E2

8.43MP1

圆柱的主应力为：1

2

p

8.43MP3

153MP89§7.

9 复杂应力状态的变形比能1单向应力状态下的比能u

1

22三向应力状态下的比能·

功能原理dydxdz2

1

3·

变形能与加载方式无关U

W1 1 2 2 3 32 2 2u

1

1

1

为将变形能用主应力表示，将广义胡克定律3 1902三向应力状态下的比能1 1 2 2 3 32 2 2为将变形能用主应力表示，将广义胡克定律1

(1/

E)[1

(

2

3

)]

2

(1/

E)[

2

(

3

1

)]3

(1/

E)[

3

(1

2

)]代入上式，化简得u

1

1

1

u

1

2

2

2

2

2 31 2 3 1 22E913 体积改变比能和形状改变比能2E

m

m

m1

m2

m3

m+

21

3u

1

2

2

2

2

2 3 3 11 2 3 1 2体积改变,

形状不变；

体积不变,

形状改变923 体积改变比能和形状改变比能

m

m

m1

m2

m3

m+

21

3体积改变,

形状不变；

体积不变,

形状改变因体积改变而贮存的变形能

⎯

体积改变比能

uv因形状改变而贮存的变形能

⎯

形状改变比能

u

f93·

体积改变比能

m

m

m

mm

mm

uv

2 2 211

mm1m

[

m

(

m

m

)]E1

mm

E1

2

mm

uv

3222E3(1

2)

m2(1

2

3

)uv

1

26E942(1

2

3

)uv

·

形状改变比能u

f6E1

2u

1

2

2

2

2

2 3 3 11 2 3 1 22E

u

uv1

2

3

1

2

23

31)1

(u

f

3E或2 2 2

)2

(

)2

]3 3 1u

1

[(

)2

(6E21 2f95例

2

(书例8.10)已知:

纯剪切应力状态。求：导出E,

G,

之间的关系。解：第3章已求出纯剪切时。

用本节公式求纯剪时的应变能2Gu

21

,

2

0,

3

纯剪切时u

1

2

2

2

2

2 3 3 11 2 3 1 22E96。

用本节公式求纯剪时的应变能1

,

2

0,

3

纯剪切时u

1

2

2

2

2

1 2 3 1 2 2 3 3 12E

1

2

0

(

)2

20

0

(

)

2E

1 2

2

2

2

1

22EE第3章已求出纯剪切时2Gu

2

1

1

2G

EG

E 2(1

)97强度理论研究材料失效的判据，从而建立强度条件。·

不同材料在相同的加载情况下，破坏(失效)的形式不同。。

塑性材料：屈服失效。。

脆性材料：断裂失效。§7.10 强度理论概述98·

相同材料在不同的加载情况下，破坏(失效)的形式不同。。

塑性材料：当有深切槽时，发生断裂。应力集中导致根部出现三向应力状态。99。

脆性材料：100· 对单向应力状态和纯剪切通过实验建立强度

条件· 对复杂应力状态无法通过实验建立强度条件强度理论

⎯⎯

根据部分实验结果，提出的假说。从而可根据单向应力状态的实验结果，建立复杂应力状态下的强度条件。101强度理论分为两类：§7.11 四种常用的强度理论1最大拉应力理论(第一强度理论)·

基本观点不论是什么应力状态，只要最大拉应力达到材料的某一极限，就发生脆性断裂。·

失效准则。

适用于断裂失效情况。

适用于屈服失效情况1

b

,

2

0,

3

0。

单向拉伸失效时。

复杂应力状态时，令1

b1021最大拉应力理论(第一强度理论)·

基本观点不论是什么应力状态，只要最大拉应力达到材料的某一极限，就发生脆性断裂。·

失效准则·

强度条件nb

[

]

b1·

相当应力

r1

11

b

,

2

0,

3

0。

单向拉伸失效时。

复杂应力状态时，令1

b103·

强度条件·

相当应力·

适用对象脆性材料受拉，塑性材料受三向拉伸且

1、

2

、

3相近。·

缺点

没有考虑

2和

3

的影响，且无法应用于没有拉应力的情况。2最大伸长线应变理论(第二强度理论)·

基本观点不论是什么应力状态，只要最大伸长线应变达到材料的某一极限，就发生脆性断裂。1

r1

1nb

[

]

b1042最大伸长线应变理论(第二强度理论)·

基本观点不论是什么应力状态，只要最大伸长线应变达到材料的某一极限，就发生脆性断裂。E

b1·

失效准则。

单向拉伸失效时。

复杂应力状态时，令

)]

b

1

[

(321 1E1

(

2

3

)

bE105·

强度条件·

相当应力·

适用对象·

缺点1

(

2

3

)

[

]

r

2

1

(

2

3

)脆性材料受压。1

(

2

3

)

bnbb对脆性材料受拉与试验符合不好。

)]

b

1

[

(2 31 1EE·

失效准则。

单向拉伸失效时E

b1。

复杂应力状态时，令1063最大切应力理论(第三强度理论)·

基本观点不论是什么应力状态，只要最大切应力达到材料的某一极限，就发生塑性屈服。·

失效准则。

单向拉伸失效时

2maxs2

1

3

smax。

复杂应力状态时21

3

s·

强度条件1

3

[

]

nss1071

3

s·

失效准则·

强度条件·

相当应力·

适用对象·

缺点1

3

[

]

r

3

1

3ns

s塑性材料的一般受力状态。偏于安全；没有考虑

2的影响。4形状改变比能理论(第四强度理论)·

基本观点不论是什么应力状态，只要形状改变比能达到材料的某一极限，就发生塑性屈服。·

失效准则1084形状改变比能理论(第四强度理论)·

基本观点不论是什么应力状态，只要形状改变比能达到材料的某一极限，就发生塑性屈服。·

失效准则。

单向拉伸失效时1

s

,

2

0,

3

0

)2

(

)2

]3 3 1u

1

[(

)2

(6E21 2f代入上式得1

2u

f

(2

)6Es[(

)2

(

)2

(

)2

]

1 2 2 3 3 1 s109·

失效准则。

单向拉伸失效时1

s

,

2