第九章根轨迹法MATLAB

在自动控制原理中，绘制根轨迹需要有一系列的法则，非常费时费力。MATLAB中专门提供了一系列绘制根轨迹的指令。第九章根轨迹法的MATLAB实现9.1根轨迹的MATLAB实现一、绘制零、极点图在MATLAB中，绘制零极点图的函数指令为pzmap[()，其调用格式为：[p,z]=pzmap(sys)：式中sys是LTI对象开环传递函数，此指令可以得到sys的零点和极点数据，不绘制零、极点图；零点数据保存在变量z中，极点数据保存在变量p中；pzmap(p,z)：用于在复平面绘制零、极点图。在图中，极点用“×”表示，零点用“○”表示；极点p为行向量，零点z为列向量。1例9-1已知系统的开环传递函数为：试绘制该系统的零、极点图。其MATLAB命令如下：z=[-2];p=[0-1-2];pzmap(p,z)2MATLAB用函数命令rlocus()来绘制根轨迹图，其调用格式为：二、绘制系统根轨迹图rlocus(sys)：sys为闭环系统的开环传递函数G(s)H(s)，此函数在当前窗口中绘制出闭环系统特征方程1+kG(s)H(s)=0的根轨迹图。可以用于连续系统，也可用于离散系统；例9-2已知系统的开环传递函数为：试绘制该系统的根轨迹图。z=[-3];p=[0-1-2];k=1;sys=zpk(z,p,k);rlocus(sys)其MATLAB命令如下：3rlocus(sys,k)：此命令可用指定的反馈增益向量k来绘制根轨迹图；[r,k]=rlocus(sys)：此命令只返回系统特征方程根位置的复数矩阵和相应的增益向量k，而不绘制零、极点图。三、计算给定一组根的系统根轨迹增益[k,poles]=rlocfind(sys)：sys为LTI对象的开环传递函数，命令执行后，可在根轨迹窗口中显示出十字光标，当用户选择根轨迹上的一点时，其相应的增益由k记录，与增益对应的闭环极点(即特征方程的根)由poles记录；[k,poles]=rlocfind(sys,p)：对于给定根计算对应的增益和闭环极点poles。4例9-3已知一单位负反馈系统的开环传递函数为：试绘制该系统的闭环根轨迹图，并在图上任选一点，计算该点的增益和此增益对应的所有闭环极点。解：num=[1];den=conv(conv([10],[0.51]),[41]);sys=tf(num,den);rlocus(sys)[k,poles]=rlocfind(sys)其MATLAB命令如下：程序执行后会绘制出该闭环系统根轨迹图，而且在图中出现一个十字光标，在根轨迹上任选一点，单击鼠标左键，会得出此点增益值和此增益所对应的闭环特征方程的根。56k=0.4984poles=-2.0664-0.0918+0.3349i-0.0918-0.3349i7例9-4设系统结构如图所示，试绘制反馈系数Ta从0→∞变动时闭环系统的根轨迹图，并计算其零极点。解：(1)由系统结构图知系统的开环传递函数为：其闭环系统的特征方程为：(2)构造新的等效单位负反馈系统，使它们具有相同的闭环特征方程。8num=[50];den=[515];sys=tf(num,den);rlocus(sys)[p,z]=pzmap(sys)其MATLAB命令如下：程序执行后可得到系统的极点与零点：(3)绘制Ta从0→∞变动时闭环系统的根轨迹图：9所绘制Ta从0→∞变动时闭环系统的根轨迹图如右图所示。p=-0.1000+0.9950i-0.1000-0.9950iz=010采用[k,poles]=rlocfind(sys)（可在根轨迹窗口中显示出十字光标，当用户选择根轨迹上的一点时，其相应的增益由k记录，与增益对应的闭环极点(即特征方程的根)由poles记录）这条指令反复进行操作，可以来判断系统的稳定性。9.2用根轨迹法判定系统的稳定性例9-5已知一单位负反馈系统的开环传递函数为：试绘制该系统的闭环根轨迹图，并对系统的稳定性进行判断。11解：num=[0.251];den=conv([10],[0.51]);sys=tf(num,den);rlocus(sys)[k,poles]=rlocfind(sys)其MATLAB命令如下：程序运行后得到根轨迹图如左图所示。当参数k从0→∞变化时，根轨迹均在s平面虚轴左侧，对应的闭环系统始终稳定。12对根轨迹多次使用[k,poles]=rlocfind(sys)进行操作，得到两个分离点：d1=-1.172,d2=-6.828，对应的开环增益k1=0.686,k2=23.31。当在根轨迹实轴上第一区段即自开环极点p1=0、P2=-2指向分离点D1=-1。172的区段时，对应的0≤K≤0.686；当在实轴上的第二区段即自分离点D2=-6.828指向开环零点Z1=-4与无穷远时，对应的23.31≤K≤∞，这都对应着系统闭环阶跃响应无超调量（过阻尼状态）。当在根轨迹圆上时，系统闭环特征方程出现共轭复根（欠阻尼状态），系统闭环阶跃响应有超调量，但系统还是稳定的。13例9-6已知一单位负反馈系统的开环传递函数为：试绘制该系统的闭环根轨迹图，并对系统的稳定性进行判断。解：num=[1];den=conv(conv([10],[11]),[0.51]);sys=tf(num,den);rlocus(sys)[k,poles]=rlocfind(sys)其MATLAB命令如下：14对根轨迹使用[k,poles]=rlocfind(sys)进行操作，将十字光标指向根轨迹与纵坐标的交点时，对应的开环增益与极点为：K=2.9957,ploes=-2.9919-0.0040+1.4056i-0.0040-1.4056i。当参数K从0→3变动时，根轨迹均在s平面虚轴左半部分，对应的闭