初奥林匹克数学竞赛训练试题集05

初一奥林匹克数学比赛训练试题集（05）一、选择题（共8小题，每题4分，满分32分）1．（4分）一件工程甲独自达成要a小时，乙独自达成要b小时，两人合作一小时达成所有工作的（）A．B．C．D．2．（4分）有n个自然数的积为a，假如每个数都扩大5倍，则它们的乘积是（）A．5nnC．5nanB．5D．5a3．（4分）a、b是两个有理数，且a＞b，那么必然有（）A．a+b＞aB．a﹣b＜aC．2a＞2bD．＞14．（4分）用四舍五入法获得的近似数a＝2.4，b＝2.40，则a，b的关系是（）A．a＝bB．a＞bC．a＜bD．以上都不对5．（4分）在有理数中，不存在这样的一个数a，它（）．既是自然数又是整数．既是分数又是负数C．既是非正的数又是非负的数．既是正数又是负数6．（4分）若x＜0，xy＜0，则|y﹣x+1|﹣|x﹣y﹣5|的值应是（）A．4B．﹣4C．﹣4或4D．﹣2x+2y+67．（4分）在自然数会合中，最小的数是a，最小的奇数是b，最小的偶数是c，最小的质数是d，最小的合数是e，则它们的大小关系为（）A．a＜b＜c＜d＜eB．a＝b＜c＜d＜eC．a＜b＜c＝d＜eD．a＝b＝d＜c＜e8．（4分）大于10小于100的整数，当数字互换地点后（即个位数字变成十位数字，而十数位字变成个位数字），新数比原数大9，这样的数共有（）个．A．10B．9C．8D．7二、填空题（共8小题，每题5分，满分40分）9．（5分）将以下各代数式分别填入它们所属的会合：2，﹣，3，m，，4xy，x+x﹣，，2x﹣3，0，﹣整式会合{}，第1页（共12页）分式会合{}，多项式会合{}，单项式会合{}．10．（5分）若|x+y﹣2|+（2x﹣3y+5）2＝0时，则x＝，y＝．11．（5分）分解因式：（x﹣3）（x﹣1）（x+2）（x+4）+24＝．12．（5分）若22．，且xy+yz+zx＝99，则2x+12y+9z＝13．（5分）小勇有一个哥哥和一个弟弟，哥哥的年纪是20岁，小勇的年纪的2倍加上他弟弟年纪的5倍等于97，小勇的年纪是岁，他弟弟的年纪是．14．（5分）一个两位数，它的十位数字与个位数字对换后，所得数是原两位数两个数字和的6倍，则此两位数是．15．（5分）5≤x≤20，25≤a≤30，则的取值范围是．16．（5分）1+2+3+4++1993的值是（奇、偶）数．三、解答题（共3小题，满分48分）17．（16分）把1，2，3，4，，1986，1987这1987个自然数平均排成一个大圆圈，从1开始数：隔过1划2，3；隔过4划掉5，6，这样每隔一个数划掉两个数，转圈划下去，问：最后剩下哪个数？18．（16分）已知：|2y﹣a|＝axy﹣1）求证：无论a为什么值时，总有y2＝x；2）当a为什么值时，|x|＝|y|成立？19（．16分）甲乙两邮递员分别从A，B两地同时以匀速相向而行，甲比乙多走了18千米（km），相遇后甲走4.5小时抵达B地，乙走8小时到A地，求A，B两地的距离．第2页（共12页）初一奥林匹克数学比赛训练试题集（05）参照答案与试题分析一、选择题（共8小题，每题4分，满分32分）1．（4分）一件工程甲独自达成要a小时，乙独自达成要b小时，两人合作一小时达成所有工作的（）A．B．C．D．【分析】两人合作一小时达成的工作量＝甲1小时的工作量+乙1小时的工作量，把有关数值代入即可．【解答】解：∵一件工程甲独自达成要a小时，乙独自达成要b小时，∴甲1小时的工作量为，乙1小时的工作量为，∴两人合作一小时达成的工作量为，应选：A．【讨论】察看列代数式；获得甲乙合作1小时的工作量的等量关系是解决本题的重点．2．（4分）有n个自然数的积为a，假如每个数都扩大5倍，则它们的乘积是（）A．5nnC．5nanB．5D．5a【分析】设出本来相应的自然数，都扩大5倍获得新的自然数，让它们相乘，化简即可．【解答】解：设本来n个自然数分别为x1，x2，x3xn，则扩大后的数分别为5x1，5x2，5x35xn，∴它们的乘积为：5x1×5x2×5x3××5xn，＝5n×x1×x2×x3×xn，n＝5a，应选：D．【讨论】主要察看有理数乘方的知识；注意每个数都扩大5倍；易错点为：n个5的积为n5．3．（4分）a、b是两个有理数，且a＞b，那么必然有（）A．a+b＞aB．a﹣b＜aC．2a＞2bD．＞1【分析】由不等式的性质2，不等式两边同乘以2，不等号的方向不变，C正确．第3页（共12页）【解答】解：∵a、b是两个有理数，a、b的符号不确立，A、B、D错误；∵a＞b，2a＞2b，故C正确．应选：C．【讨论】本题察看了不等式的性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．4．（4分）用四舍五入法获得的近似数a＝2.4，b＝2.40，则a，b的关系是（）A．a＝bB．a＞bC．a＜bD．以上都不对【分析】获得近似数a＝2.4时，a的范围2.35≤a≤2.44，获得近似数b＝2.40时，b的范围2.395≤b≤2.404，三种状况都有，应选D．【解答】解：∵2.35≤a≤2.44，2.395≤b≤2.404，∴a＞b或a＜b或a＝b，应选：D．【讨论】本题察看了求一个数的近似数的逆运算，难度偏大．5．（4分）在有理数中，不存在这样的一个数a，它（）．既是自然数又是整数．既是分数又是负数C．既是非正的数又是非负的数．既是正数又是负数【分析】本题需要依照有理数的分类、自然数、整数、分数、负数、正数的特色及定义对各个选项逐一分析，找出正确选项即可．【解答】解：由于自然数是整数，因此A错由于负分数即是分数由是负数，因此B错由于0既是非正的数又是非负的数，因此C错应选：D．【讨论】本题主要察看学生对自然数、整数、分数、负数、正数的特色及定义的理解和掌握，解答本题的重点是对有关见解的灵巧掌握．第4页（共12页）6．（4分）若x＜0，xy＜0，则|y﹣x+1|﹣|x﹣y﹣5|的值应是（）A．4B．﹣4C．﹣4或4D．﹣2x+2y+6【分析】先依照x＜0，xy＜0质，判断出x、y的符号，依照x、y的符号进一步确立y﹣x+1、x﹣y﹣5的符号，去绝对值求值．【解答】解：∵x＜0，xy＜0，y＞0，y﹣x+1＞0，即：|y﹣x+1|＝y﹣x+1，x﹣y﹣5＜0，即：|x﹣y﹣5|＝5+y﹣x，∴原式＝y﹣x+1﹣（5+y﹣x）＝﹣4．【讨论】本题主要察看了绝对值的性质，能够依照已知条件正确地判断出x、y的符号，从而判断（y﹣x+1、x﹣y﹣5的符号）是解答本题的重点．7．（4分）在自然数会合中，最小的数是a，最小的奇数是b，最小的偶数是c，最小的质数是d，最小的合数是e，则它们的大小关系为（）A．a＜b＜c＜d＜eB．a＝b＜c＜d＜eC．a＜b＜c＝d＜eD．a＝b＝d＜c＜e【分析】先找出符合条件的数：在自然数会合中，最小的数是1，最小的奇数是1，最小的偶数是2，最小的质数是2，最小的合数是4；此后再来比较a、b、c、d、e的大小．【解答】解：在自然数会合中，最小的数是0，最小的奇数是1，最小的偶数是2，最小的质数是2，最小的合数是4即a＝0，b＝1，c＝2，d＝2，e＝40＜1＜2＝2＜4，∴a＜b＜c＝d＜e；应选：C．【讨论】解答本题的重点是找出符合条件的a、b、c、d、e的数．8．（4分）大于10小于100的整数，当数字互换地点后（即个位数字变成十位数字，而十数位字变成个位数字），新数比原数大9，这样的数共有（）个．A．10B．9C．8D．7【分析】设这个整数十位数字为a，个位数字为b，这个整数为10a+b，互换地点后10b+a，【解答】解：设这个整数十位数字为a，个位数字为b这个整数为10a+b，则换地点后得10b+a．（10b+a）﹣（10a+b）＝9，即（10b+a）﹣（10a+b）＝9、第5页（共12页）a+b＝1，即b＝a+1且a＜b，∴相应10a+b能够取到：12，23，34，45，56，67，78，89，共8个数．应选：C．【讨论】本题察看的是数字问题，重点是设出这个两位数个位上的数字和十位上的数字，此后列出方程讨论求解．二、填空题（共8小题，每题5分，满分40分）9．（5分）将以下各代数式分别填入它们所属的会合：2，，﹣，3﹣3，0，﹣，m，，4xy，x+x﹣，2x整式会合{}，分式会合{}，多项式会合{}，单项式会合{}．【分析】依照整式、分式、多项式、单项式的见解进行分类．【解答】解：整式会合：{4xy，x2+x﹣，，2x3﹣3，0，m，}分式会合：{﹣，，﹣，}23}多项式会合：{x+x﹣，2x﹣3，单项式会合：{4xy，，0，m}【讨论】本题察看整式、分式、多项式、单项式的见解，要熟记这些见解．10．（5分）若|x+y﹣2|+（2x﹣3y+5）2＝0时，则x＝，y＝．【分析】先依照非负数的性质“两个非负数相加，和为0，这两个非负数的值都为0”列出对于x、y的二元一次方程组，再解方程组即可求出x、y的值．【解答】解：由题意，得，解得．故答案为：，．【讨论】本题察看了非负数的性质．初中阶段有三各样类的非负数：第6页（共12页）1）绝对值；2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必然知足此中的每一项都等于0．根据这个结论能够求解这种题目．211．（5分）分解因式：（x﹣3）（x﹣1）（x+2）（x+4）+24＝（x﹣2）（x+3）（x+x﹣8）．【分析】第一分析原式有一个+24常数项，再察看（x﹣3）（x﹣1）（x﹣2）（x+4）对每个因式去括号张开后会出现常数项﹣24，因此先利用联合律初步张开．（x﹣3）同（x+4）22联合，（x﹣1）与（x+2）联合，张开后为（x+x﹣12）（x+x﹣2），至此可用换元法简化因式的次数．再进一步分解，最后用换原式代入．【解答】解：（x﹣2）（x+3）（x2+x﹣8）∵原式＝（x﹣3）（x+4）（x﹣1）（x+2）+2422＝（x+x﹣12）（x+x﹣2）+242令x+x＝A，∴原式＝（A﹣12）（A﹣2）+24＝（A﹣6）（A﹣8）22＝（x+x﹣6）（x+x﹣8）2＝（x﹣2）（x+3）（x+x﹣8）【讨论】对于此类题，最好的方法是注意察看，多做一些练习，自然能够摸清规律．特别注意常数项．12．（5分）若22522或，且xy+yz+zx＝99，则2x+12y+9z＝【分析】由题意，能够求出x＝3y，z＝2y，此后把其代入出x，y，z的值，从而进行求解．【解答】解：∵，x＝3y，z＝2y，2222∴xy+yz+zx＝3y+2y+6y＝11y＝99，∴y2＝9，∴y＝±3，当y＝﹢3时，22222x+12y+9z＝2×9y+12×3+9×4y＝522，

．xy+yz+zx＝99，求第7页（共12页）当y＝﹣3时，22222x+12y+9z＝2×9y+12×（﹣3）+9×4y＝450，故答案为522或450．【讨论】本题主要察看代数式的求值，利用整体代入法进行计算，能够减少运算量，另外计算时要认真．13．（5分）小勇有一个哥哥和一个弟弟，哥哥的年纪是20岁，小勇的年纪的2倍加上他弟弟年纪的5倍等于97，小勇的年纪是16岁，他弟弟的年纪是13．【分析】第一假定小勇年纪是x岁，他弟弟年纪是y岁．依照题意可列方程2x+5y＝97，再找寻隐含条件x，y均为正整数，且20＞x＞y≥1．从而求得x、y的值．【解答】解：设小勇年纪是x岁，他弟弟年纪是y岁，此中x，y均为正整数，且20＞x＞y≥1，则依题意可得：2x+5y＝97y＝＝﹣＝﹣﹣＝由于y为正整数，因此也为正整数，且1＜x＜20，x为正整数，而且x＞y；依照x＞y，可得，x＞20＞x≥14①当x＝14、15时，不合题意舍去；②当x＝16时，y＝13；③当x＝17、18、19时，不合题意舍去．因此只有x＝16时，y＝13，知足题意．故答案为16，13．【讨论】本题察看二元一次方程组的运用．同学们对于像本题这样的不定方程，必然要依照题意找寻题目中的隐含条件，从而求得方程的解．14．（5分）一个两位数，它的十位数字与个位数字对换后，所得数是原两位数两个数字和的6倍，则此两位数是45．【分析】设这个两位数十位上的数字为a，个位上的数字为b，它的十位数字与个位数字对换后所得两位数为（10b+a），依照题意可列方程（10b+a）＝6（b+a）．求解即可．【解答】解：设这个两位数十位上的数字为a，个位上的数字为b，它的十位数字与个位数字对换后所得两位数为（10b+a），第8页（共12页）即：10b+a＝6a+6b4b＝5a，a＝4，b＝5，∴两位数为45．【讨论】本题察看的是一个数字问题，重点是正确设出这个两位数，设的时候设个位上的数字和十位上的数字，此后依照题意列方程求解．15．（5分）5≤x≤20，25≤a≤30，则的取值范围是．【分析】先求得的范围，在依照不等式的性质求出的范围即可．【解答】解：∵5≤x≤20，而25≤a≤30，∴≤≤，∴≤，故答案为≤．【讨论】本题察看了不等式的性质：1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．16．（5分）1+2+3+4++1993的值是奇（奇、偶）数．【分析】求出1+2+3+4++1993的值，即可作出判断．【解答】解：1+2+3+4++1993＝×1993×（1993+1）＝1993×997而1993与997都是奇数，因此它们的积是奇数，即1+2+3+4++1993是奇数．故答案是：奇数．【讨论】本题主要察看了奇数的性质：两个奇数的积还是奇数．正确求得1+2+3+4++1993的积是解题的重点．三、解答题（共3小题，满分48分）17．（16分）把1，2，3，4，，1986，1987这1987个自然数平均排成一个大圆圈，从1开始数：隔过1划2，3；隔过4划掉5，6，这样每隔一个数划掉两个数，转圈划下去，问：最后剩下哪个数？【分析】依照题意可得划过第一圈后，剩的数都是除以3后余数为1的数，再划过一圈第9页（共12页）后，剩的数是差为9的数列，再划一圈后，剩差为81的数列，再划，剩差为243的数列，再划一圈，剩差为729数列，由此可得出答案．【解答】解：划过第一圈后，剩的数都是除以3后余数为1的数，即：1，4，7，10，13，161987，再划过一圈后，剩的数是差为9的数列：7，16，251987，再划过一圈后，则剩下的数为差27的数列：25，52，791942，1969，再划一圈后，剩差为81的数列：25，106，2871888，1969，再划，剩差为243的数列：187，4301888，再划一圈，剩差为729数列以下：430，1159，1888∴最后再划一圈，所剩的数是1888．【讨论】本题察看带余数的除法，难度较大，技巧性也较强，重点是得出每次化掉数的特色．18．（16分）已知：|2y﹣a|＝axy﹣1）求证：无论a为什么值时，总有y2＝x；2）当a为什么值时，|x|＝|y|成立？【分析】（1）利用完满平方公式和绝对值的非负性求解即可；（2）由（1）可知x＝a2，y＝a，若|x|＝|y|则可成立对于a的方程解方程即可．【解答】解：（1）∵|2y﹣a|＝axy﹣，∴|2y﹣a|+（x﹣ay）2＝0，∴，将a消去，即有y2＝x；（2）若|x|＝|y|成立，则有＝，∴＝，当a≥0时，即a2﹣2a＝0，即a＝0或a＝2；第10页（共12页）a＜0时，即a2+2a＝0，a＝0或a＝﹣2；∴当a＝0或a＝2