现代数字信号处理(chap3-确定性最小二乘)(2012修订版)

现代数字信号处理/确定性最小二乘滤波器第三章确定性最小二乘滤波器本章的教学内容正则方程滤波器的渐近性最小二乘逆滤波器白化滤波器前言一、LP、HP、BP、BS滤波器设计(本科)设计特点：在频域上给出容限图，期望能逼近理想滤波器。滤波器设计与输入\输出信号的统计特性关系不密切。以低通滤波器为例前言二、最佳滤波器的概念期望输出实际输出

设计特点：在时域上，我们希望实际输出尽量逼近期望输出。与输入和输出信号的波形特性密切相关。输入和输出既可是随机信号，也可是确定信号。逼近准则：最小均方误差、最小二乘h(k)g(k)y(k)f(k)以信道均衡为例?前言确定性最小二乘滤波器直接对样本数据{g(k)}进行处理,无须知道g(k)的统计特性,只对该样本现实最佳统计性最小二乘滤波器(又称为最小均方误差滤波器)需要知道g(k)的二阶统计特性,对具有该二阶统计特性的随机信号的所有样本现实,从平均意义上最佳第4章第一节正则方程一、确定性最佳滤波的引出将输入信号的起点时刻定义为k=0时刻，假设输入因果信号g(k)为单位脉冲信号u(k)通过因果/稳定线性系统G(z)后产生的因果稳定序列;序列g(k)的Z变换为G(z)问题的解决似乎很容易,真有这么简单吗?第一节正则方程在因果、稳定的要求下，H(z)无法物理实现的原因：

最优准则：最小二乘

1.的零点不一定在单位圆内,如果g(k)不是最小相位序列,即不是最小相位的，那么就不是稳定的；2.对应的可能是一个因果稳定的IIR滤波器，而所设计的要求是一个有限阶的FIR滤波器。3.如果不是因果的，则不是因果的物理可实现的解决方案：设计因果、稳定或FIR的最佳线性滤波第一节正则方程二、正则方程误差序列因果输入序列期望输出(不一定因果)n阶FIR滤波器(不限定)表示平方可积(和)序列帕斯瓦尔定理误差总能量第一节正则方程最小二乘准则(LS:Least-Square)

要求h(m)因果、FIR积分的乘积变成二维积分，采用两个积分变量第一节正则方程与h无关的常数项：期望输出信号的能量

线性项h(m)的系数：输入与输出的互相关函数

输入序列是因果的卷积定义？第一节正则方程二次项h(m)h(l)的系数：输入信号自相关

积分变量置换积分变量置换参见前面求和表达式第一节正则方程Toeplitz矩阵(n+1)(n+1)维的输入自相关矩阵，第i行第j列元素值为r(|i-j|)n+1维滤波矢量令n+1维输入输出互相关矢量n阶滤波器第一节正则方程上式用矢量、矩阵形式表示为练习:反过来验证第一节正则方程标量V对矢量h求偏导零矢量当R为对称矩阵时下面介绍另外一种相对复杂的推导方法(展开法)第一节正则方程估计误差序列与输入序列(l=0)及其平移序列正交参见r()、q()的定义及性质第一节正则方程最小二乘滤波器的正则方程(n+1)(n+1)维的输入自相关矩阵，第i行第j列元素值为r(|i-j|)第一节正则方程三、误差分析

即：期望输出能量一定大于最小二乘滤波器实际输出能量。类似于勾股定理[参见第1章中的正交投影定理]误差能量等于期望输出信号能量-实际输出信号能量练习:根据定义以及可分离的二维求和性质第一节正则方程相对误差能量：期望输出f与实际输出y

完全一致期望输出f与实际输出y完全不一致输入与期望输出完全不相关。第一节正则方程输入序列长度为2情况下的举例，大于2时，引入超平面子空间概念期望输出与输入不相关期望输出与输入完全相关为输入的线性组合，必在输入信号构成的子空间内窄带干扰信号y(k)有长的相关长度，自相关在范围上有较大的值；干扰数目、频率等参数未知。例：窄带干扰(NBI)消除s(k)、y(k)和v(k)相互之间不相关；热噪声v(k)是白色的；有用信号s(k)是宽带的，因此有短的相关长度，即

第一节正则方程超宽带雷达(探地、救灾)信号处理,如何根据观测信号x(k)得到回波信号s(k)的最佳估计,或如何消除干扰y(k)例如各种窄带的通信信号由于y(k)和x(k)是相关的，可以通过x(k)用最佳线性估计方法得到一个对NBI的估计：

如果

则第一节正则方程线性预测器可以利用最小二乘滤波器来实现。滤波器期望输出为y(k)，输入为x(k)

问题：只有观测数据

x(k)，y(k)不可得。序列的卷积如何计算互相关?可计算自相关?思路：最佳滤波器的设计需要的是期望输出与输入之间的互相关函数{q(m)|m=0,1,…,n},而不是期望输出

f(k);进一步的问题是:依然无法计算y(k)与x(k)的互相关，能否通过x(k)的自相关来计算y(k)与x(k)

的互相关呢？思考：x(k)由s(k)、y(k)、v(k)三部分组成，s(k)的相关长度小于D，y(k)的相关长度大于D，v(k)相关长度为零，则x(k)中的s(k)与x(k-D)中的s(k-D)、

y(k-D)、v(k-D)三部分都不相关;同理,x(k)中的v(k)

也与x(k-D)不相关,则

x(k)与x(k-D)的自相关就是期望输出y(k)与输入x(k-D)的互相关第一节正则方程思路：以x(k-D)作为输入，以y(k)作为期望输出与以x(k)作为期望输出是等价的[由于互相关函数的等价性]第一节正则方程Z-D最优线性滤波+-x(k)e(k)性质:x1(k)第一节正则方程y(k)未知情况下依然可以通过x(k)估计y(k)与输入序列x1(k)的互相关函数第一节正则方程设x(k)的实际长度范围为{x(k)|k=0,1,…,N-1}，滤波器的长度范围为{h(k)|k=0,1,…,n}(n<N-D)；计算构造如下矢量与矩阵有限数据长度时，两个求和式中的k的变化范围应该一致。第一节正则方程则有：去除窄带干扰后的信号为第一节正则方程举例采样间隔1/fs=0.5ns第一节正则方程第一节正则方程14个干扰频率课程上机实验4：确定性最小二乘滤波器的实现上述举例中，其他参数不变，干扰信号参数设置为

A1=A2=…=A14=2;φ1=φ2=…=φ14=0

1=0.06,2=0.10,3=0.18,4=0.215=0.30,6=0.48,7=0.52,8=0.57

9=0.61,10=0.64,11=0.67,12=0.70

13=0.78,14=0.94采用Matlab语言编程(1)参照实验3的方法产生均值为0，根方差为0.1的正态白噪声第一节正则方程数据点数从实验3的100000变成200(2)按设定的参数产生干扰信号数据第一节正则方程针对Matlab的数组下标只能从1开始的调整(3)k0=96，产生信号数据第一节正则方程画出以及的波形图(4)画出含有噪声以及干扰的合成信号x(k)的波形图(5)给定参数D=16，n=12,N=200；求FIR线性最小二乘滤波器{h(k)|k=1,2,…,n+1}数组下标从1开始,对应实际的h(0)到h(n)第一节正则方程第一节正则方程(6)利用线性最小二乘滤波器对观测数据{x(k)}进行滤波处理，得到窄带干扰信号序列的估计值序列(7)利用滤波器的输出数据序列对观测信号中的干扰信号进行对消处理；画出对消后信号的波形图；观察其与的相似性及差异性利用Matlab的矩阵运算函数第二节最小二乘滤波器的渐近性输入序列，因果，不一定最小相位期望输出序列，不一定因果因果IIR滤波器(n)下面讨论最小二乘滤波器的阶n足够大或趋于的情况问题：n时，V(h)可以下降到多少？是否可下降到0？期望输出实际输出y(k)第二节最小二乘滤波器的渐近性一、最优因果IIRLS滤波器的求解问题最小相位假设输入信号g(k)是因果、稳定的但非最小相位的，G(z)存在一个单位圆外的零点1/z0作等值变换矩阵求解?不行问题转化:序列所对应的全通函数序列的概念第二节滤波器的渐近性最小相位全通函数练习3.1：令z=ej,z0=|z0|ejθ利用复数运算性质证明对于G(z)有多个单位圆外零点的情况，采用同样方法可以得到最小相位全通函数稳定因果G(z)本身为最小相位的，则D(z)=1第二节滤波器的渐近性全通函数G(z)的所有单位圆外的零点设全通函数对应的序列为因果的输入序列g(k)已知的情况下,d(k)也是已知的序列总能量分子分母的阶相同第二节滤波器的渐近性现实情况下，要求理想情况下相当于以d(k)为输入,f(k)为期望输出,求最优的h0第二节滤波器的渐近性Rd、h0、qd为无穷阶的即有的解h0满足根据功率谱定义、全通函数的性质、单位脉冲函数定义即

Rd的第m行第l列元素值第二节滤波器的渐近性二、误差分析根据第一节(三)定义i<0时，d(i)=0第二节滤波器的渐近性变量置换：-mm全通函数性质第二节滤波器的渐近性非最小相位误差非因果误差

(1)如果期望输出是因果的，则

(2)如果输入序列是最小相位的，则D(z)=1，d(k)=δ(k)

可分离的二维积分化成两个积分的乘积第二节滤波器的渐近性对于m1，k

0，结论：(1)如果期望输出序列是因果的，输入序列是最小相位的，则当最小二乘滤波器的阶n足够大时，滤波器的输出可以逼近期望输出，误差能量可以达到任意小。(2)如果期望输出序列是非因果的，输入序列是最小相位的，则当最小二乘滤波器的阶n足够大时，滤波器的输出可以无限逼近期望输出序列的因果部分第三节最小二乘逆滤波器一、逆滤波器引出n阶FIR滤波器二、正则方程输入序列为因果稳定的期望输出为单位脉冲函数期望输出实际输出h(k)g(k)y(k)f(k)第三节最小二乘逆滤波器与n有关,h(0)与n有关第三节最小二乘逆滤波器三、渐近方程全通序列的性质参见第2节第三节最小二乘逆滤波器为G(z)的所有单位圆外的零点其中第三节最小二乘逆滤波器例1因果非最小相位滤波器求逆试设计一个n阶的FIR滤波器，满足解：实数第三节最小二乘逆滤波器对于此特殊情况,不一定要通过矩阵求逆解方程组第0个方程第k(0<k<n)个方程第n个方程第三节最小二乘逆滤波器通解差分方程有两个根根据《信号与系统》理论，差分方程的解通式考虑到所有方程满足第三节最小二乘逆滤波器解出系数c1、c2

练习3.2：将上式代入方程组中的第0,n个方程求得：第三节最小二乘逆滤波器渐近性：全通函数第三节最小二乘逆滤波器也可利用渐近性进行误差能量求解：根据Z变换性质例2解：(1)L=12第三节最小二乘逆滤波器试设计一个10阶的FIR滤波器，使得(1)L=12；(2)L=0练习3.3练习3.3续g(k)非最小相位序列10阶滤波器,只须计算0至10的q(m),虽然q(12)=1/4第三节最小二乘逆滤波器(2)L=0{-2.289×10-4,0,-5.722×10-5,0,-1.431×10-5,0,-3.576×10-6,0,-8.941×10-7,0,-2.236×10-7,0,1}练习3.3续解正则方程组练习3.3续：计算两个有限长度序列的卷积k=12时最大误差很小差分方程及边界条件由于h(10)作了近似,不按-qTh=1-q(10)h(10)计算第三节最小二乘逆滤波器{1/16,0,-0.234,0,-0.0586,0,-0.0146,0,-0.00366,0,-0.00092,0,-0.00023}h{1/4,0,6.25×10-2,0,-1.562×10-2,0,3.904×10-3,0,9.724×10-4,0,2.288×10-4}y(k)与(k)之间的误差很大两种情况的比较输入期望输出群时延为正，用因果滤波器实现时，误差较小练习3.3续由于h(0)作了近似,不按1-g(0)h(0)计算第三节最小二乘逆滤波器例3输入:期望输出:求四阶解：输入期望输出群时延为负，且输入序列为非最小相位的，用因果滤波器[响应在输入之后]无法实现相位的补偿，误差较大显然，输入为最小相位的，输出为因果的；n足够大时，存在精确的解第四节确定性白化滤波器生成模型白化模型一、白化滤波器引出若对A(z)=/G(z)无任何限制，平稳信号通过该系统后一定能得到完全白化；若要求A(z)为因果、稳定IIR系统，则G(z)必须为最小相位才能得到完全白化；若要求A(z)为n阶FIR系统，此时A(z)是/G(z)的n阶最小二乘逼近,不一定能完全白化。G(z)δ(n)nx不考虑物理可实现性A(z)nxδ(n)二、=1,A(z)为逆滤波器H(z)第四节确定性白化滤波器正则方程三、白化滤波器[与逆滤波器本