高中数学必修3概率的加法公式

3.1.4概率的加法公式例：抛掷一颗骰子，观察掷出的点数，设事件A为“出现奇数点”，B为“出现2点”.求P(A)及P(B).问：1.A、B两个事件能同时发生吗？

2.设“出现奇数点或2点”的事件C，它与A和B之间有怎样的关系？1.事件A与事件B不可能同时发生，这种不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件（或称互不相容事件）互斥事件：AB注:两个事件互斥的定义还可以推广到n个事件中去如:“x<0,x=0,x>0”是彼此互斥的.问：1.A、B两个事件能同时发生吗？练习：对着飞机连续发射两次，每次发射一枚炮弹，设A={两次都击中},B＝{两次都没有击中}，C＝{恰有一弹击中飞机},D={至少有一弹击中飞机}.其中彼此互斥的事件有哪几对?A与BB与CA与CB与D设事件C为是一个随机事件.

事件C与事件A、B的关系是：若事件A和事件B中至少有一个发生，则C发生；若C发生，则A，B中至少有一个发生，我们称事件C为A与B的并(或和)如图中阴影部分所表示的就是A∪B.

问:2.设“出现奇数点或2点”的事件C，它与A和B之间有怎样的关系？2．事件的并：AB在同一事件中，事件至少有一个发生，即表示事件C发生表示这样一个事件：事件A∪B是由事件A或B所包含的基本事件所组成的集合.由事件A和B至少有一个发生（即A发生，或B发生，或A、B都发生）所构成的事件C，称为事件A与B的并（或和）.记作C=A∪B.假定事件A与B互斥，则P(A∪B)=P(A)+P(B).3.互斥事件的概率加法公式证明：假定A、B为互斥事件，在n次试验中，事件A出现的频数为n1，事件B出现的频数为n2，则事件A∪B出现的频数正好是n1+n2，所以事件A∪B的频率为如果用μn(A)表示在n次试验中事件A出现的频率，则有μn(A∪B)=μn(A)+μn(B).由概率的统计定义可知，P(A∪B)=P(A)+P(B).一般地，如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)，即彼此互斥事件和的概率等于概率的和.互斥事件的概率加法公式具有“化整为零、化难为易”的功效，但需要注意的是使用该公式时必须检验是否满足它的前提条件“彼此互斥”.例2：

在数学考试中，小明的成绩在90分以上的概率是0.18，在80～89分的概率是0.51，在70～79分的概率是0.15，在60～69分的概率是0.09，计算:(1).小明在数学考试中取得80分以上成绩的概率

(2).小明考试及格的概率？解：

分别记小明的成绩在90分以上，在80~89分，在70~79分，在60~69分为事件B，C，D，E，这四个事件是彼此互斥的.

根据概率的加法公式，小明的考试成绩在80分以上的概率是P(B∪C)=P(B)+P(C)=0.18+0.51=0.69.小明考试及格的概率为P(B∪C∪D∪E)=P(B)+P(C)+P(D)+P(E)=0.18+0.51+0.15+0.09=0.93.对立事件：A不能同时发生且必有一个发生的两个事件对立事件的概率

若事件A的对立事件为A，则P(A)=1－P(A).证明：事件A与A是互斥事件，所以P(A∪A)=P(A)+P(A)，又A∪A=Ω，而由必然事件得到P(Ω)=1,

故P(A)=1－P(A).例2：

在数学考试中，小明的成绩在90分以上的概率是0.18，在80～89分的概率是0.51，在70～79分的概率是0.15，在60～69分的概率是0.09，计算(2)小明考试及格的概率？解：

分别记小明的成绩在90分以上，在80~89分，在70~79分，在60~69分为事件B，C，D，E，这四个事件是彼此互斥的.小明考试及格的概率为P(B∪C∪D∪E)=P(B)+P(C)+P(D)+P(E)=0.18+0.51+0.15+0.09=0.93.若令A=“小明考试及格”,则A=“小明考试不及格”如果求小明考试不及格的概率P(A)=1－P(A)=1－0.93=0.07.即小明考试不及格的概率是0.07.例3.判断下列给出的每对事件，（1）是否为互斥事件，（2）是否为对立事件，并说明理由.

从40张扑克牌（红桃、黑桃、方块、梅花，点数从1~10各4张）中，任取1张：（1）“抽出红桃”与“抽出黑桃”；（2）“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；（3）“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”.解：（1）是互斥事件，不是对立事件；（2）既是互斥事件，又是对立事件；（3）不是互斥事件，当然不可能是对立事件；

所以对立事件一定是互斥事件，而互斥事件不一定是对立事件.例4.某战士射击一次，问：(1)若事件A=“中靶”的概率为0.95，则A的概率为多少？(2)若事件B=“中靶环数大于5”的概率为0.7，那么事件C=“中靶环数小于6”的概率为多少？(3)事件D=“中靶环数大于0且小于6”的概率是多少？解：因为A与A互为对立事件，(1)P(A)=1－P(A)=0.05；

(2)事件B与事件C也是互为对立事件，所以P(C)=1－P(B)=0.3；(3)事件D的概率应等于中靶环数小于6的概率减去未中靶的概率，即P(D)=P(C)－P(A)=0.3－0.05=0.25例5.盒内装有各色球12只，其中5红、4黑、2白、1绿，从中取1球，设事件A为“取出1只红球”，事件B为“取出1只黑球”，事件C为“取出1只白球”，事件D为“取出1只绿球”.已知P(A)=，P(B)=,P(C)=，P(D)=，求：（1）“取出1球为红或黑”的概率；（2）“取出1球为红或黑或白”的概率.解:(1)“取出红球或黑球”的概率为P(A∪B)=P(A)+P(B)=(2)“取出红或黑或白球”的概率为P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=法2:A∪B∪C的对立事件为D，所以P(A∪B∪C)=1－P(D)=

即为所求.：例6.某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3、0.2、0.1、0.4，（1）求他乘火车或乘飞机去的概率；（2）求他不乘轮船去的概率；（3）如果他乘某种交通工具去开会的概率为0.5，请问他有可能是乘何种交通工具去的？解：记“他乘火车去”为事件A，，“他乘轮船去”为事件B，“他乘汽车去”为事件C，“他乘飞机去”为事件D，这四个事件不可能同时发生，故它们彼此互斥，（1）故P(A∪C)=0.4；（2）设他不乘轮船去的概率为P，则P=1－P(B)=0.8；（3）由于0.5=0.1+0.4=0.2+0.3，故他有可能乘火车或乘轮船去，也有可能乘汽车或乘飞机去.1.某射手在一次射击中射中10环、9环、8环、7环、7环以下的概率分别为0.24、0.28、0.19、0.16、0.13.计算这个射手在一次射击中：（1）射中10环或9环的概率，（2）至少射中7环的概率；（3）射中环数不足8环的概率.0.520.870.29练习题：2．从1，2，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数.在上述事件中，是对立事件的是（）（A）①（B）②④（C）③（D）①③C3.甲、乙2人下棋，下成和棋的概率是,乙获胜的概率是，则甲不胜的概率是（）

A.B.C.D.B4.从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A.“至少有一个黑球”与“都是黑球”B.“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”C.“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”D.“至少有一个黑球”与“都是红球”C5.抽查10件产品，设事件A：至少有两件次品，则A的对立事件为（）

A.至多两件次品

B.至多一件次品

C.至多两件正品

D.至少两件正品B6.从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于4.8g的概率为0.3，质量小于4.85g的概率为0.32，那么质量在[4.8，4.85)(g)范围内的概率是（）

A.0.62B.0.38C.0.02D.0.68C7.某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率为0.03、丙级品的概率为0.01，则对成品抽查一件抽得正品的概率为（）

A.0.09B.0.98C.0.97D.0.96D8.某射手射击一次击中10环、9环、8环的概率分别是0.3，0.3，0.2，那么他射击一次不够8环的概率是

.0.29.某人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是

.两次都不中靶10.我国西部一个地区的年降水量在下列区间内的概率如下表所示：年降水量/mm［100，150）［150，200）［200，250）［250，300］概率0.210.160.130.12则年降水量在[200，300]（mm）范围内的概率是______________.0.251、投掷一枚硬币，考察正面还是反面朝上。

A={正面朝上}，B={反面朝上}

A，B是对立事件A，B是互斥（事件）2、某人对靶射击一次，观察命中环数

A=“命中偶数环”

B=“命中奇数环”

C=“命中0数环”A，B是互斥事件A，B是对立事件练习抛掷色子，事件A=“朝上一面的数是奇数”，事件B=“朝上一面的数不超过3”，求P（A∪B）练习解法一：因为P（A）=3/6=1/2，P（B）=3/6=1/2所以P（A∪B）=P（A）+P（B）=1解法二：A∪B这一事件包