山东省烟台市蓬莱第一中学2021-2022学年高二数学理期末试题含解析

山东省烟台市蓬莱第一中学2021-2022学年高二数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a＋b的最大值为()A.B.C.4D.参考答案：C2.用反证法法证明命题：“若能被3整除，那么中至少有一个能被3整除”时，假设应为（

）A．都能被3整除

B．都不能被3整除

C．不都能被3整除

D．能被3整除

参考答案：B3.已知，则的最小值是（

）(A）4

（B）

（C）5

（D）参考答案：D4.等比数列的前项和为，且成等差数列．若，则＝()A．7

B．8

C．15

D．16参考答案：C5.若，则下列不等式不成立的是(

)

A.

B.

C.

D.参考答案：A6.把把二项式定理展开，展开式的第项的系数是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D

解析：，系数为7.给出下列四个结论：

（1）

（2）若“”的逆命题为真

（3）函数有3个零点

（4）若

则正确结论序号是(

)

A（2）（3）B.（1）（4）C.（1）（3）（4）D.（1）（3）参考答案：B8.某四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则该四棱锥的体积等于（

） A.1 B.2 C.3 D.4参考答案：B9.若实数x，y满足不等式则的取值范围是A．

B．

C．

D．参考答案：A略10.数列满足则等于 A．

B．－1

C．2

D．3参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.曲线y=x3在点（1，1）处的切线与x轴、直线x=2所围成的三角形的面积为．参考答案：【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】欲求所围成的三角形的面积，先求出在点（1，1）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故要利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：∵y=x3，∴y'=3x2，当x=1时，y'=3得切线的斜率为3，所以k=3；所以曲线在点（1，1）处的切线方程为：y﹣1=3×（x﹣1），即3x﹣y﹣2=0．令y=o得：x=，∴切线与x轴、直线x=2所围成的三角形的面积为：S=×（2﹣）×4=故答案为：．12.已知点A（1，1，﹣2），点B（1，1，1），则线段AB的长度是

．参考答案：3【考点】空间两点间的距离公式．【分析】直接运用距离公式，可得结论．【解答】解：由题意，|AB|=1+2=3．故答案为3．13.设，且，，则的值是__________．参考答案：4＋3i分析：由题意可得，再结合，即可得到答案详解：，，又，点睛：本题主要考查的是复数的加减法以及共轭复数，掌握复数的运算法则以及共轭复数的概念是解题的关键。14.在区间上随机取一个数，则事件发生的概率为

。参考答案：15.若，则等于

．参考答案：－4由，得：，取得：，所以，故，故答案为.

16.已知集合，若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围是

.参考答案：17.已知p：x＜8，q：x＜a，且q是p的充分而不必要条件，则a的取值范围为．参考答案：a＜8【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分必要条件的定义以及集合的包含关系判断即可．【解答】解：∵p：x＜8，q：x＜a，且q是p的充分而不必要条件，∴a＜8，故答案为：（﹣∞，8）．【点评】本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系，是一道基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知的展开式中前三项的系数成等差数列.(1)求展开式的二项式系数的和；(2)求展开式中含的项.参考答案：（1）256；（2）【分析】列出二项展开式的通项公式，利用前三项系数成等差可求得；（1）根据展开式二项式系数和的性质可得结果；（2）根据展开式通项公式可知，当时为所求项，代入通项公式求得结果.【详解】二项展开式的通项公式为：展开式前三项的系数依次为，，，整理可得：解得：（舍）或二项展开式的通项公式为：（1）二项展开式的二项式系数的和为：（2）令，解得：展开式中含的项为【点睛】本题考查组合数的运算、二项展开式二项式系数和的性质、求指定项的问题，考查对于二项式定理的知识的掌握，属于常规题型.19.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，且长轴长等于4．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）F1，F2是椭圆C的两个焦点，⊙O是以F1，F2为直径的圆，直线l：y=kx+m与⊙O相切，并与椭圆C交于不同的两点A，B，若?=，求k的值．参考答案：（I）有题义长轴长为4，即2a=4，解得：a=2，

∵椭圆C的离心率e=，∴c=1，

解得：b2=3，椭圆的方程为：+=1；

（II）由直线l与圆O相切，得：=1，即：m2=1+k2

设A（x1，y1）B（x2，y2）

由

消去y，

整理得：（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0，∴x1+x2=-，x1x2=，

∴y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=k2+km(-)+m2=∴x1x2+y1y2=+=

∵m2=1+k2∴x1x2+y1y2==-，解得：k2=，∴k的值为：±．20.(本小题满分14分)如图,AB为圆O的直径,点E、F在圆O上,AB//EF,矩形ABCD所在的平面与圆O所在的平面互相垂直.已知AB=2,EF=1.(Ⅰ)求证：平面DAF⊥平面CBF；(Ⅱ)求直线AB与平面CBF所成角的大小；(Ⅲ)当AD的长为何值时,平面DFC与平面FCB所成的锐二面角的大小为60°?参考答案：(I)证明：平面平面,,平面平面=,平面.平面,,…………2分又为圆的直径,,平面.

…………3分平面,平面平面.

…………4分(II)根据(Ⅰ)的证明,有平面,为在平面内的射影,因此,为直线AB与平面所成的角

……………6分,四边形为等腰梯形,过点F作,交AB于H.,,则.在中,根据射影定理,得.

…………8分,.直线AB与平面所成角的大小为.

…………9分(Ⅲ)设中点为,以为坐标原点,、、方向分别为轴、轴、轴方向建立空间直角坐标系(如图).设,则点的坐标为则,又

…………10分设平面的法向量为,则,.即

令,解得

………………12分由(I)可知平面,取平面的一个法向量为,依题意与的夹角为,即,解得t=∴当AD的长为时,面DFC与面FCB所成的锐二面角的大小为60°……14分21.(本题满分10分)在平面直角坐标系中，直线的参数方程为：，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设曲线C与直线交于两点，求的长.参考答案：(1)

（2）222.（本题12分）已知曲线C：（1）当为何值时，曲线C表示圆；（2）若曲线C与直线交于M、N两点，且OM⊥ON(O为坐标原点)，求的值。参考答案：解（1）由D2+E2-4F=4+16-4m=20-4m>0，得m<5．

………………4分（2）设M(x1,y1),N(x2,y2)，由OM⊥ON得x1x2+y1y2=0。将直线方程与曲