《应用微积分》61定积分的概念与性质

第6

章定积分及其应用定积分的概念与性质定积分的计算定积分的应用6.1定积分的概念与性质定积分问题举例1定积分的定义2定积分的几何意义3定积分的性质积分中值定理4实例1

（曲边梯形的面积问题）求其面积A.矩形面积梯形面积yaAcbxB设曲边梯形是由连续曲线以及两直线围成,所6.1.1定积分问题举例用矩形面积近似取代曲边梯形面积abxyoabxyo显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．（四个小矩形）（九个小矩形）观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．播放观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．解决步骤1)分割.在区间[a,b]中任意插入

n–1个分点用直线将曲边梯形分成n

个小曲边梯形;2)近似代替.在第i

个窄曲边梯形上任取作以为底,为高的小矩形,并以此小梯形面积近似代替相应窄曲边梯形面积得yAxxixi+1By3)求和.4)取极限.令则曲边梯形面积实例2

（求变速直线运动的路程）思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值．1）分割3）求和4）取极限路程的精确值2）近似代替得解决步骤即在区任一种分法任取总趋于确定的极限

I,则称此极限I为函数上的定积分,记作间6.1.2定积分定义定义6.1被积函数被积表达式积分变量积分上限积分下限积分和此时称

在上可积.(1)函数在区间上可积,要求区间有限.函数在这区间内是有界的.【注】虽然在划分和选点是任意的,但其和式只有唯一的极限.这样,对于函数如果可积,则可用特殊的点和特殊的划分使问题简单.(2)

定义中对小区间的划分和选点是任意的.(3)定积分和积分变量的字母的选取无关.例如注意(4)定积分只与被积函数和积分区间有关.与区间的划分和选点无关.由积分定义,可知以

上连续曲线为曲边的曲边梯形的面积利用定义计算定积分为方便计，将区间n等分，在

上连续，故

在

上可积左侧取点例6.1解

于是有曲边梯形面积曲边梯形面积的负值各部分面积的代数和6.1.2定积分的几何意义

利用定义几何意义计算定积分

定积分表示曲线与直线及x轴围成的图形面积，该图形是圆心在原点，半径为1的四分之一圆,其面积为例6.2解(设所列定积分都存在)（线性）线性组合的定积分等于定积分的线性组合,即存在ki(i=1,2...n)为常数,使得性质的好处是把较复杂的积分变成几个简单的积分.

（可加性）c点可在[a,b]的区间内,也可在区间外.6.1.3定积分的性质性质6.1性质6.2【注】【注】（单位性）如果在

上,则其几何意义是高为1的矩形面积等于底边乘高.如则性质6.3【注】性质6.4性质6.5推论6.1(可估性)设M与m分别是f(x)在区间[a,b]是的最大值与最小值,则该性质可用来计算不等式.具体做法是利用被积函数的性质;如极值,单调性等得到在该区间中的最大值M和最小值m.注意性质6.6------定积分中值定理积分中值公式的几何解释：几何意义:是曲边梯形的面积等于以为底边,

为高的矩形面积性质6.7由性质6.5，得

比较下列各对积分值的大小。

(1)与

(2)与

(1)因为在上，

(2)令,在区间上，所以，又，当时，例6.3解即从而由性质6.5，得

估计定积分的值。在区间上的最大值和最小值。，得驻点，因为比较驻点，区间端点得最小值，最大值根据估值定理得先求令的函数值,例6.4解证明

因为，不妨设，则在由积分中值定理知，使所以上连续，例6.5证（注意估值性质、积分中值定理的应用）（１）估计积分值；（２）不计算定积分比较积分大小．典型问题内容小结

定

积

分

的性质2

定

积

分