2020-2021学年广东省汕头市高二下学期期末考试数学试题 word版

试卷类型：A汕头市2020~2021学年度普通高中期末教学质量监测■Jr・▲S”、、上一高二数学本试卷共4页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．考生注意：答卷前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑、如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．考试结束后，监考员将答题卡交回．第I卷选择题一、单项选择题：本题共8小题，毎小题5分，共40分．在毎小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集U=R，集合A={|0<x<2},B={|x<1}，则集合”(AUB)=()A.(皿,2]B.(—s,1]C.(2,+a)D.[2,A.(皿,2]2•设复数z=—2i(i为虚数单位，则Iz1=()2D.21—2D.21A.-2>3•已知平面向量a=(k，2)，b=(1,1),kEr，则k=2是a与b平行的(A.A.充分不必要条件C.充要条件B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件44、已知等差数列3的前“项和为S,n的展开式中含xn—4的项的系数恰为Sn，则笃=()TOC\o"1-5"\h\zA.－96B.96C.－80D.805.已知三棱锥P—ABC中,PA=4,AB=AC=&；3，BC=6,PA丄面ABC，则此三棱锥的外接球的体积为()‘25航32兀A.B.256^C.D.32i33

cosx—saa12=aa—cosx—saa12=aa—aa，若f(x)=5c)aa1423cos一+2x34V2丿6•定义2X2知阵cosx+sinx，则f(x)（、兀AA.图象关于—而‘°中心对称V12丿兀B.图象关于直线x=-对称C.在区间［-—，0］上的最大值为D周期为兀的奇函数7•点A在直线尹=兀上，点B在曲线y=lnx上，则|AB的最小值为（B.1DB.1&已知数列匕｝的前n项和&已知数列匕｝的前n项和S=（2n+1）n,bnnn1+++=(bbbbbb122320220211D.—2021響，则114202120202019A.B.C.—202220212020二、多项选择题：本题共4小题，毎小题5分，共20分．在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.5G技术的运营不仅提高了网络传输速度，更拓宽了网络资源的服务范国.目前，我国加速了5G技术的融合与创新，前景美好！某手机商城统计了5个月的5G手机销量，如下表所示:月份2020年6月2020年7月2020年8月2020年9月2020年10月月份编号x12345销量y（部）5295a185227若尹与x线性相关，由上表数据求得线性回归方程为y=44x+1°,则下列说法正确的是（）A.a=152B.5G手机的销量逐月增加，平均每个月增加约30台Cj与x正相关D.预计12月份该手机商城的5G手机销量约为318部设F，F分别是双曲线c：丄—兰二1的左、右焦点，且IFF=8则下列结论正确的是（）12s+1s—t12A.S=8B.F到渐近线的距离随着t的增大而增大C.t的取值范围是（一32，32）D.当t=4时，C的实轴长是虚轴长的空3倍在棱长为1的正方体abc—电幷耳占中，m是线段Ac上的一个动点，则下列结论正确的是（）

A.四面体b]acM£体积恒为定值'直线DM与平面ADC斤成角正弦值的最大值为害C.异面直线BM与AC所成角的范围是0，—D.当4AM=AC时，平面BDM截该正方体所得的截面图形为等腰梯形在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石.布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹•布劳威尔匕.E.J.Brouwer）,简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数f（X）,存在一个点x0，使得f（x0）=x0，那么我们称该函数为不动点”函数，下列为“不动点”函数的是（）A.A.f(x)=2x一xB.f(x)=X2-2x+兀2xD.f(x)=X一I第II卷非选择题三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知13.已知o<a<壬(兀、,cosa+——I6丿3=5，则sina=14.已知抛物线C：y2=4x的焦点为F,直线l过F与C交于A、B两点，若IAF1=1BFI，则尹轴被以线段AB为直径的圆截得的弦长为.15•六个同学重新随机调换座位，则恰有两人坐在自己原来的位置上的概率16•已知函数f16•已知函数f(x)=<.兀xsin——2——,x〉0、2x—1+2—x+1，则函数f（X）的最大值是四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（本小题满分10分）在AABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、C,设△ABC的面积为S,已知.任选一个条件①3C2+a2）=3b2+16S:②4c—5a=一5bcosC，补充在上面横线处，然后解答补充完整的题目.(1)求sinB的值；(2)若S=42,a=10，求b的值.注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分．(本小题满分12分)已知等差数列£｝的前n项和为S，且满足a+a=20$=40.nn135求£｝的通项公式；n记b=|a-2，求匕｝的前n项和T.nnnn(本小题满分12分)如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为正方形，ZPAB=90°,PB=PD,PA=AB,E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点.求证：AE丄平面PBC；是否存在点F,使平面AEF与平面PCD所成的锐二面角为30°?若存在，试确定点F的位置；若不存在，请说明理由.(本小题满分12分)端午假期即将到来，某超市举办“高考高棕”有奖促销活动，凡持高考准考证考生及家长在端年节期间消费每超过600元(含600元)，均可抽奖一次，抽奖箱里有10个形状、大小完全相同的小球(其中红球有3个，黑球有7个)，抽奖方案设置两种，顾客自行选择其中的一种方案.从抽奖箱中，一次性摸出3个球，其中奖规则为：若摸到3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球则打6折，若摸出1个红球，则打7折；若没摸出红球，则不打折.方案二：从抽奖箱中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元.(1)若小清、小北均分別消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求他们至多一人享受免单优惠的概率(2)若小杰消费恰好满1000元，试比较说明小杰选择哪一种抽奖方案更合算?(本小题满分12分)已知椭圆C：—+岂=1(a〉b〉O)的离心率为空a2b22焦距为2;3•求圆C的方程；过点D(0,3)作直线l与椭圆C交于A、B两点，点N满足ON=OA+OB(O为坐标原点)，求四边形OANB面积的最大值．22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=Inx-x,g(x)=Inxx(1)证明：对任意的十x,匸(°曲)，都有If(x])|>g(x2)；(2)设m〉n〉0,比较/(m"m-(/(”"”)与的大小，并说明理由.m-nm2+n2高二数学测试参考答案一、单选题DCCBAAAB二、多选题CDADABDACD三、填空2p'332.331510；2；16；21.D【详解】•・•集合A={10<x<2},B={|x<1},AuB=(—^,2)..\C(AuB)=[2,+»)U2.C详解】复数z二1复数z二1—i一2=1+i(1—i)(1+i)13i22(3)2C【详解】由a与b平行得H—2X1=O,.K=2,所以k=2是a与b平行的充要条件.B详解】'4、详解】'4、n因为X—-Ix丿的展开式的通项公式为Tr+1=Cr•(—4)r•Xn-2r，n所以当r=2时，含xn-4的项的系数恰为C2」6=8n(nj),n又等差数列｛J又等差数列｛J的前n项和为Sn的展开式中含xn-4的项的系数恰为Sn所以S=C2・16=8n(n—1)a=S—S=96TOC\o"1-5"\h\znn7765.A【详解】••底面△ABC中，AB=AC=2'3,BC=6,3.•.cosZBAC=—-.sinZBAC=二,\o"CurrentDocument"2

16r=—x—TOC\o"1-5"\h\z:.△ABC的外接圆半径为2(PA¥L•••BA丄面ABC,；.三棱锥外接球的半径R2=r2+一=(2j3)2+22=16,/.R=4,I2丿4256冗所以三棱维P—ABC外接球的体积V=3冗R3=—.6.AL(八【详解】由题意得f(x)=(COSx-sinx)(cosx+sinx)—J3cos2x+厅k2丿=co2x-sin2x+<3sin2x3sin2x+cos2x=2sin2x+—k6丿((冗、冗、=2sin2x—+—=0,「12丿kk迈丿6丿故图象关于-百，°中心对称.k12丿7.A【详解】设平行于直线y=x的直线y=x+b与曲线y=lnx相切,则两平行线间的距离即为|AB的最小值.设直线y=x+b与曲线y=lnx的切点为(m,lnm),则由切点还在直线y=x+b上可得lnm=m+b,由切线斜率等于切点的导数值可得丄=1,m联立解得m=l,b=—l.由平行线间的距离公式可得IAB的最小值为由平行线间的距离公式可得IAB的最小值为|-1-0|<12+(-1)22-8.B【详解】S=(加+1”，当n>2时，S=[2(n—l)+l]n—1)=2n2—3n+1,nn-1所以a=S-S1=4n—1，又b=n，所以nnn-1n111111111++..■+=—•—+■—+..■+■—bbbbbb122320202021122320202021TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"11111112020\o"CurrentDocument"=1…・+=1=—\o"CurrentDocument"122320202021202120219CD【详解】由表中数据可知x=5(1+2+3+4+5)=3,又因为回归方程为y=44x+10,代入回归方程，解得y二142,所以y=1(52+95+a+185+227)=142,得a=151,由此知5G手机的销量逐月增加，平均每个月增加约40台左右，将x=7代入回归方程得y—318,因为44>0,所以y与x正相关，10.AD【详解】因为c2—s+t+s—t—2s—16，所以s=8,故A正确；因为F到渐近线的距离等于虚半轴长为p8—F,其在te(—&8)上单递减，故B错误；[s+1>0因为双曲线焦点在x轴上，由]八，且s=8,得t的取值范国是(一8,8),故C错误;Is—t>0当t=4时，C的实轴长为43虚轴长4,C的实轴长是虚轴长的J3倍，故D正确.11.ABD对于A选项，根据正方体的特征可得AC1//AC，所以AC〃平面ABC,所以线段AC上的点到平面ABC的距离相等,因为三角形ABC的面积为定值，m是线段Ac上一个动点，所以四面体BACM的体积为定值，故A正确；对于b选项，设直线dm与平面adC所成的角为a,又SAD£=2X屁屁血60甘又SAD£=2X屁屁血60甘,J」2=_xlxl=—,2所以d=弓，易知当M为AC1的中点时，DlM最小,此时sina取得最大值,为普故B正确;对于C选项，设异面直线BM与AC所成的角为,M到平面ADDC的距离为〃，则si"=DM,l因为afj/ac,所以Ac〃平面adC所以M到平面ADDC的距离与Al到平面ADDC勺距离相等,11连接，由匕棱锥ACD_匕棱锥C-AA]D]可得3SACDXd二3^AADXl，11当M与Al或C1重合时，9取得最小值，为60°,当M为AC的中点时，9取得最大值，为90°，故C选项错误；对于D选项，过点M作EF//BD,分别交AD,AB1于点e,F,连接DE,BF,则四边形DEFB为等腰梯形,故D正确．

12.ACD【详解】根据定义可知：若12.ACD【详解】根据定义可知：若/(X)有不动点，则f(x)=x有解.令2x-x=x，所以2x=2x，易知x=l是方程的一个解，故f(x)是“不动点”函数；令x2-2x+兀=x，所以x2-3x+兀=0，方程的A=9-4兀<0，故方程无解，所以/(X)不是“不动点”函数；C.当xWl时，令2x2-1=x，所以x=-2或x=1,所以f(x)是“不动点”函数;2所以f(x)是“不动点”函数.13.213.2屈-3丁_10【详解】•••0<usina二sina二sin冗冗—一_sincos—-cosa+—16J6_16J616丿.兀sm6(兀)_3.cosa+一——9••sina+一16J516丿45=4左-3x1=空-2525251014.2；3【详解】如图所示所以圆心坐标为F所以圆心坐标为F(1,0),半径为r=2,弦长为2J22—12二2詣15.—16【详解】根据题意，分2步分析：①先从6个人里选2人，其位置不变，有C2=15种选法,6②对于剩余的四人，因为每个人都不能站在原来的位置上，因此第一个人有三种站法，被站了自己位置的那个人只能站在另外三个位置中的一个，选定后此时剩下两人只有一种站法，因此四个人调换有3X3=9种调换方法，故不同的调换方法有15X9=135种•而基本事件总数为A6=720，所以所求概率为613572031^【解析】当xWO时，f(x)<扌；・兀x、“rsm——当x>0时，f(x)二2—，2x-1+2-x+1令ex2-1+2-讪=2-1+-2->2，当且仅当2x-1=士，即%=1时取等号,即当x=l时，f(x).=2,1min兀令以x)=忙x“-I，兀又因为f(x)=f(1)=sin=1,2max22则f(x)maxf(x)2maxf(x)1min故函数/&)的最大值是2.四、解答题17.【详解】选择条件①(1)3(c2+a2)=3b2+16S,所以3C2+c2一b2)=16x—acsinB2整理得：8acsinB=3(a2+c2—b2)即4sinB=3-a2+c2—b22ac整理可得3cosB=4sinB,sinB又sinB>0,所以cosB>0,所以tanB=—cosB故sinB=.3(2)由(1)知sinB=5，又S=42,a=10,13贝yS=acsinB=—x10cx=42,25解得c=147将S=42,a=10,c=14代入3(c2+a2)=3b2+16S中,得3x(142+102)=3b2+16x42,解得b=6<2•10选择条件②(1)因为5bcosC+4c=5a,由正弦定理得，5sinBcosC+4sinC=5sinA,5sinBcosC+4sinC=5sin(B+C),即sinC(4一5cosB)=0,4在厶ABC中，sinC丰0，所以cosB=-,故sinB=v'1-cos2B=—4(2)由(1)知cosB=5，又5=42,a=10,13贝卩S=acsinB=—x10cx=42，25解得c=14由余弦定理得2accosB=a2+c2-b24TOC\o"1-5"\h\z2x10x14x=102+142-b295b二6込•10【解析】(1)设等差数列缶｝的公差为d,1n则a+a—2a+2d—20,1315x4~T~d=5a+10d40解得a=12,d=-21……4故a=a+(n-1)d=14-2n,(neN*)n12)2)bna—2=112—2nIn当n<6,neN*时b=12-2n,b=10,n1b+b22-2nT=r矿n=n=-n2+11n,8n22当n〉6时，b=2n-12,nT=10+8+6+4+2+0+b+b+••・+bn78n2+2n-12=30+(n-6)=n2-11n+60112所以T=n……12-n2所以T=n……12,neN*n2一11n+60,n〉6【详解】解：("•••△PAD^APAB(SSS):.ZPAD=ZPAB=90°:.PA±AB,PH丄AD,又•・•ABcAD=APA丄平面ABCD,BC□平面ABCD.PA丄BC•ABCD为正方形:.ABLBC又PAcAB=A,PA,AB□平面PAB:.BC丄平面PABTOC\o"1-5"\h\z:.AE□平面PAB:.AELBC2-PA=AB,E为线段PB的中点:.AELPB3又PBnBC=B,4PB,BC□半由PBC:.AELPBC5(2)存在定点F,使平面AEF与平面PCD所成的锐二面角为30°・•・AE=(1,1,0)PC=(-2,2,2),PD=(—2,0,2)设F(0,2,九)(0<X<2)，则AF=(02九)设平向AEF的一个法向量为n=1y1,"In-AE=0nn-AE=0n•AF=0令z1=2，则Ix1

y1=九=—九•n=(人一九,2)1x+y=0112y+九z=01IIm•PC=0则Im•PD=0设平面PCD的一个法向量为m=—2x+2y+2z=0

222—2x+2z=022令=1，则＜Iy=0I2z=12m=(1,0,1)10・・•平面AEF与平面PCD所成的锐二面角为30°,cos30°丨尢+2丨—总<'2v；2X2+4211TOC\o"1-5"\h\z・・・当点F为BC中点时，平面AEF与平面PCD所成的锐二面角为30°12【详解】解：(1)方案一若享受到免单优惠，则需摸出三个红球，C31设顾客享受到免单优惠为事件a，则P(A)=茁=120-210所以小清、小北二人至多一人享受到免单的概率为114399P=1-P(A)P(A)=1--=.41440014400(2)若小杰选择方案一，设付款金额为X元，则可能的取值为0、600、700、1000C3P(X=0)=3C312010P(X=600)=C2C13/C310740TOC\o"1-5"\h\zC1C221C37P(X=700)=—=——，P(X=1000)=a=6C340C3241010故X的分布列为X06007001000P17217120404024TOC\o"1-5"\h\z172171所以E(X)二0X——+600X—+700x一+1000x一=764-(元)71204040246若小杰选择方案二，设摸到红球的个数为Y,付款金额为Z,则Z=1000-20078由已知可得Y〜B所以E(Z)=E(1000-200Y)=1000-200E(Y)=820(元)10因为E(X)<E(Z)，11所以小杰选择第一种抽奖方案更合算．………12【详解】(1)设椭圆的焦距为2c,2c=2丫'3，「.C2=312=a2=4.4

x2・•・椭圆c的方程为才+y2=1.（2）・.・ON=OA+OB,・•・四边形OANB为平行四边形，当直线l的斜率不存在时，显然不符合题意；y=kx+3当直线i的斜率存在时，