山东省烟台市龙口第十中学2021年高二数学理期末试题含解析

山东省烟台市龙口第十中学2021年高二数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知△ABC的两边长分别为2，3，这两边的夹角的余弦值为，则△ABC的外接圆的直径为（）A． B． C． D．8参考答案：B【考点】正弦定理；余弦定理．

【专题】解三角形．【分析】利用同角三角函数的基本关系求得三角形边长分别为2、3的夹角的正弦值为，由余弦定理可求第三边的长，根据正弦定理即可求得外接圆的直径．【解答】解：△ABC的两边长分别为2、3，其夹角的余弦为，故其夹角的正弦值为，由余弦定理可得第三边的长为：=3，则利用正弦定理可得：△ABC的外接圆的直径为=．故选：B．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，三角形的面积公式，属于基础题．2.已知函数，是的导函数，则函数的一个单调递减区间是（

）A．

B．

C.

D．参考答案：A，令，得：，∴单调递减区间为

3.下列命题中，正确结论有（）（1）如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等（2）如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等（3）如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补（4）如果两条直线同平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行Ａ．1个

Ｂ．2个

Ｃ．3个

Ｄ．4个

参考答案：B略4.已知A（2，4）与B（3，3）关于直线l对称，则直线l的方程为(

)A．x+y=0 B．x﹣y=0 C．x+y﹣6=0 D．x﹣y+1=0参考答案：D【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．【专题】计算题．【分析】先求出线段AB的中点坐标，线段AB的斜率，可得直线l的斜率，用点斜式求得直线l的方程．【解答】解：由题意得直线l是线段AB的中垂线．线段AB的中点为D（，），线段AB的斜率为k==﹣1，故直线l的斜率等于1，则直线l的方程为y﹣=1×（x﹣），即x﹣y+1=0，故选D．【点评】本题考查求线段的中垂线所在的直线方程的方法，求出所求直线的斜率，是解题的关键．5.一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题这4个命题中

（

）A.真命题与假命题的个数相同

B.真命题的个数一定是奇数C.真命题的个数一定是偶数

D.真命题的个数可能是奇数，也可能是偶数

参考答案：C略6.函数在区间(0,1)内的零点个数是(

)A．0

B．1

C．2

D．3参考答案：B7.已知等边三角形的一个顶点位于抛物线的焦点，另两个顶点在抛物线上，则这样的等边三角形的个数是（A）4

（B）3

（C）2

（D）1参考答案：C8.设z的共轭复数是，若Z+=4,Z·=8,则=A．i

B．-i

C．±1

D．±i参考答案：D略9.若一元二次不等式的解集为，则的解集为A．

B．C．

D．参考答案：C10.函数的定义域为

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.椭圆的焦点为，点在椭圆上，若，的大小为

参考答案：120度略12.已知倾斜角为α的直线l与直线x+2y﹣3=0垂直，则=．参考答案：【考点】三角函数的化简求值．【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由直线垂直的性质求出tanα=2，由此利用同角三角函数关系式能求出的值．【解答】解：∵倾斜角为α的直线l与直线x+2y﹣3=0垂直，∴tanα=2，∴===．故答案为：．【点评】本题考查三角函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意三角函数性质的合理运用．13.已知直线和，若∥，则的值为

参考答案：114.点（x，y）在直线x+3y-2=0上，则最小值为

；参考答案：915.的否定是

．（原创题）参考答案：16.如果等差数列中，，那么

参考答案：2817.若对一切，不等式恒成立,则的取值范围是

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分12分）如图，已知椭圆C的中心在原点O，焦点在轴上，长轴长是短轴长的2倍，且经过点M.平行于OM的直线在轴上的截距为并交椭圆C于A、B两个不同点.

（1）求椭圆C的标准方程；（2）求的取值范围；y

（3）求证：直线MA、MB与轴始终围成一个等腰三角形.参考答案：解：（1）设椭圆C的标准方程为

（＞＞0）

由题意

解得

C的方程为

………………4分

（2）

设：由消去得

直线与椭圆有两个不同的交点

式有两个不等实根

则＞0

解得＜＜2

又

的取值范围为

………………8分

（3）设，则、为（）式的两根，设MA交轴于点P，MB交轴于点Q

MA的方程为：

令，可得P（）=

同理可得Q

设PQ的中点为N，则

由②知

又

MPQ的中线MNPQ

MPQ为等腰三角形

………………12分19.已知定点A（1，0），定直线l:x=5，动点M（x,y）

(1)若M到点A的距离与M到直线l的距离之比为,试求M的轨迹曲线C1的方程；

（2）若曲线C2是以C1的焦点为顶点，且以C1的顶点为焦点，试求曲线C2的方程；

（3）是否存在过点F(,0)的直线m，使其与曲线C2交得弦|PQ|长度为8呢？若存在，则求出直线m的方程;若不存在，试说明理由。参考答案：提示:C1方程为;C2方程为或x+m的方程为x=或y=(x－)

20.(本小题满分14分)已知中心在原点,焦点在坐标轴上的椭圆E,它的离心率为,一个焦点和抛物线y2=-4x的焦点重合,过直线l:x=4上一点M引椭圆E的两条切线,切点分别是A,B.(Ⅰ)求椭圆E的方程；(Ⅱ)若在椭圆(a>b>0)上的点(x0,y0)处的椭圆的切线方程是.求证:直线AB恒过定点C；并出求定点C的坐标.(Ⅲ)是否存在实数λ,使得|AC|+|BC|=λ|AC||BC|恒成立？(点C为直线AB恒过的定点)若存在,求出λ的值；若不存在,请说明理由.参考答案：(I)设椭圆方程为(a>b>0).∵抛物线的焦点是,∴故,又,所以,所以所求的椭圆方程为

…………4分(II)设切点坐标为,,直线上一点M的坐标.则切线方程分别为,.又两切线均过点M,即,即点A,B的坐标都适合方程,而两点之间确定唯一的一条直线,故直线AB的方程是,显然对任意实数t,点(1,0)都适合这个方程,故直线AB恒过定点.………9分(III)将直线AB的方程,代入椭圆方程,得,即所以不妨设，,同理………12分所以即.故存在实数,使得.

……………14分21.如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AC=4，BC=3，AB=5，AA1=4，点D是AB的中点．（1）求证：AC1∥平面CDB1；（2）求直线AB1与平面BB1C1C所成角的正切值．参考答案：【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【专题】证明题；转化思想；综合法；空间角．【分析】（1）设BC1∩CB1于点O，连结OD，则OD，由此能证明AC1∥平面CDB1．（2）推导出AC⊥BC，AC⊥C1C，从而∠AB1C是直线AB1与平面B1BCC1所成角，由此能求出直线AB1与平面BB1C1C所成角的正弦值．【解答】证明：（1）如图，设BC1∩CB1于点O，连结OD，∵O、D分别是BC1和AB的中点，∴OD，又∵OD?平面CDB1，AC1?平面CDB1，∴AC1∥平面CDB1．（2）∵AC=4，BC=2，AB=5，∴∠ACB=90°，即AC⊥BC，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，∴AC⊥C1C，又BC∩CC1=C，∴AC⊥平面BCC1B1，∴直线B1C是斜线AB1在平面B1BCC1上的射影，∴∠AB1C是直线AB1与平面B1BCC1所成角，在Rt△AB1C中，B1C=5，AC=