山东省聊城市临清京华中学高二数学理下学期期末试卷含解析

山东省聊城市临清京华中学高二数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正弦值为（）A. B. C. D.参考答案：B【分析】首先求出，，由，得是异面直线与所成角（或所成角的补角），利用余弦定理可得答案．【详解】设正方体的棱长为2，∵为棱的中点，∴，，∵，∴是异面直线与所成角（或所成角的补角），，∴．∴异面直线与所成角的正弦值为．故选：B．【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，异面直线所成的角常用方法有：将异面直线平移到同一平面中去，达到立体几何平面化的目的；或者建立坐标系，通过求直线的方向向量得到直线夹角或其补角.2.直线x+y+1=0与圆的位置关系是（

）A．相切

B．相离

C．相交

D．不能确定

参考答案：A略3.设，是虚数单位，则“”是“复数为纯虚数”的（

）A.充分不必要条件

B.必要不充分条件C.充分必要条件

D.

既不充分也不必要条件参考答案：B略4.已知0<x<1,a、b为常数，且ab>0，则的最小值为（

）A.(a+b)2

B.(a-b)2

C.a+b

D.a-b参考答案：A5.设实数a使得不等式|2x?a|+|3x?2a|≥a2对任意实数x恒成立，则满足条件的a所组成的集合是

[

]A.

B.

C.

D.[?3，3]w

参考答案：解析：令，则有，排除B、D。由对称性排除C，从而只有A正确6.已知（3，1）和（﹣4，6）在直线3x﹣2y+a=0的两侧，则a的取值范围是（）A．a＜1或a＞24 B．a=7或a=24 C．﹣7＜a＜24 D．﹣24＜a＜7参考答案：C【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．

【专题】计算题；转化思想．【分析】将两点坐标分别代入直线方程中，只要异号即可．【解答】解：因为（3，1）和（﹣4，6）在直线3x﹣2y+a=0的两侧，所以有（3×3﹣2×1+a）[3×（﹣4）﹣2×6+a]＜0，解得﹣7＜a＜24故选C．【点评】本题考查线性规划知识的应用．一条直线把整个坐标平面分成了三部分，让其大于0的点，让其大于0的点以及让其小于0的点．7.命题p：，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根，则“”形式的命题是

A.，使得方程x2＋mx＋1＝0无实根

B.，方程x2＋mx＋1＝0无实根C.，方程x2＋mx＋1＝0有实根

D.至多有一个实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0有实根参考答案：B8.设a，b∈R，则“a+b＞2”是“a＞1且b＞1”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件参考答案：B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】利用不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：若a＞1且b＞1时，a+b＞2成立．若a=0，b=3，满足a+b＞1，但a＞1且b＞1不成立，∴“a+b＞2”是“a＞1且b＞1”的必要不充分条件．故选：B【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，以及不等式的性质的判断，比较基础．9.直线=1与椭圆=1相交于A，B两点，该椭圆上点P使得△PAB面积为2，这样的点P共有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：D【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意可知：，求得A和B点坐标，求得丨AB丨=5，△PAB面积S=?丨AB丨?d=2，解得：d=，设与直线平行的直线为3x+4y+m=0，与椭圆相切，代入椭圆方程，由△=0，即可求得m的值，根据点到直线的距离公式可知：这样到直线AB的距离为的直线有两条，这两条直线与椭圆都相交，分别有两个交点，共4个．【解答】解：由题意可知：，解得：或，设A（4，0），B（0，3），由条件可知：若点P到直线AB的距离为d，那么△PAB面积S=?丨AB丨?d=2，解得：d=，设与直线平行的直线为3x+4y+m=0，与椭圆相切，∴，整理得：18x2+6mx+m2﹣16×9=0，由△=0，即36m2﹣4×18（m2﹣16×9）=0，整理得：m2=288，解得：m=±12，∴切线方程l1：3x+4y+12=0，切线方程l2：3x+4y﹣12=0，由直线l1与直线=1的距离d1==（+1）＞，同理直线l2与直线=1的距离d2==（﹣1）＞，∴这样到直线AB的距离为的直线有两条，这两条直线与椭圆都相交，分别有两个交点，共4个，故选D．【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查直线与椭圆的位置关系的应用，考查点到直线的距离公式，三角形的面积公式，考查计算能力，属于中档题，10.已知点、，是直线上任意一点，以A、B为焦点的椭圆过点P．记椭圆离心率关于的函数为，那么下列结论正确的是（

）A．与一一对应

B．函数无最小值，有最大值C．函数是增函数

D．函数有最小值，无最大值参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动，则直线D1E与A1D所成角的大小是，若D1E⊥EC，则AE=．参考答案：90°，1。【考点】异面直线及其所成的角．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设E（1，t，0），0≤t≤2，分别求出和，由?=0，能求出直线D1E与A1D所成角的大小；分别求出，，由=0，能求出AE的长．【解答】解：∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动，∴以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），D1（0，0，1），A（1，0，0），A1（1，0，1），C（0，2，0），设E（1，t，0），0≤t≤2，则=（1，t，﹣1），=（﹣1，0，﹣1），∴?=﹣1+0+1=0，∴直线D1E与A1D所成角的大小是90°．∵=（1，t，﹣1），=（﹣1，2﹣t，0），D1E⊥EC，∴=﹣1+t（2﹣t）+0=0，解得t=1，∴AE=1．故答案为：900，1．【点评】本题考查异面直线所成角的大小的求法，考查线段长的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．12.已知△ABC的三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，P为AB边上任意一点，则·(－)的最大值为________．参考答案：913.如图，PA⊥⊙O所在平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AE⊥PC，AF⊥PB，给出下列结论：①AE⊥BC；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC，其中真命题的序号是．参考答案：①②④【考点】命题的真假判断与应用．【分析】利用线面垂直的判定与性质定理、圆的性质即可得出．【解答】解：①∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC，∵PA⊥⊙O所在平面，∴PA⊥BC．又PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC．∵AE?平面PAC．∴BC⊥AE．因此①正确．④由①可知：AE⊥BC，又∵AE⊥PC，PC∩BC=C，∴AE⊥平面PBC．因此④正确．②由④可知：AE⊥平面PBC，∴AE⊥PB．又∵AF⊥PB，AE∩AF=A，∴PB⊥平面AEF，∴PB⊥EF．因此②正确．③AF⊥BC不正确；用反证法证明：假设AF⊥BC，又AF⊥PB，PB∩BC=B．∴AF⊥平面PBC．这与AE⊥平面PBC相矛盾．因此假设不成立．故③不正确．综上可知：只有①②④正确．故答案为：①②④．【点评】本题考查了线面垂直的判定与性质定理、圆的性质，属于中档题．14.若函数f（x）=（x﹣2）（x2+c）在x=2处有极值，则函数f（x）的图象在x=1处的切线的斜率为

．参考答案：﹣5【考点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】对函数f（x）=（x﹣2）（x2+c）进行求导，根据函数在x=2处有极值，可得f′（2）=0，求出c值，然后很据函数导数和函数切线的斜率的关系即可求解．【解答】解：∵函数f（x）=（x﹣2）（x2+c）在x=1处有极值，∴f′（x）=（x2+c）+（x﹣2）×2x，∵f′（2）=0，∴（c+4）+（2﹣2）×2=0，∴c=﹣4，∴f′（x）=（x2﹣4）+（x﹣2）×2x，∴函数f（x）的图象x=1处的切线的斜率为f′（1）=（1﹣4）+（1﹣2）×2=﹣5，故答案为：﹣5．15.如图,某人在高出海面600米的山上P处，测得海面上的航标在A正东，俯角为30°，航标B在南偏东60°，俯角为45°，则这两个航标间的距离为_________米。参考答案：略16.函数在处的切线方程为_______________.参考答案：17.（5分）已知一个关于正整数n的命题P（n）满足“若n=k（k∈N*）时命题P（n）成立，则n=k+1时命题P（n）也成立”．有下列判断：（1）当n=2013时命题P（n）不成立，则n≥2013时命题P（n）不成立；（2）当n=2013时命题P（n）不成立，则n=1时命题P（n）不成立；（3）当n=2013时命题P（n）成立，则n≥2013时命题P（n）成立；（4）当n=2013时命题P（n）成立，则n=1时命题P（n）成立．其中正确判断的序号是

．（写出所有正确判断的序号）参考答案：（1）根据条件只有命题成立时，才能推导出下一个命题成立，当命题不成立时，则不一定成立，所以（1）错误．（2）若n=1时，命题P（n）成立，则一定能推出当n=2013时命题P（n）成立，与当n=2013时命题P（n）不成立，所以（2）正确．（3）根据条件可知当n=2013时命题P（n）成立，则n≥2013时命题P（n）成立．（4）当n=2013时命题P（n）成立，只能推出n≥2013时命题P（n）成立，无法推出n=1时命题P（n）是否成立．所以正确的是（2）（3）．故答案为：（2）（3）．利用归纳法的证明过程进行推理判断．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知是平面内两个定点，且，若动点与连线的斜率之积等于常数，求点的轨迹方程，并讨论轨迹形状与值的关系．参考答案：略19.（12分）计算：参考答案：解:原式略20.[选修4-5：不等式选讲]已知函数的定义域为[－1,1].（1）若，解不等式；（2）若，求证：.参考答案：解：（1），即，则，∴，∴不等式化为，①当时，不等式化为，∴；②当时，不等式化为，∴.综上，原不等式的解集为.（2）证明：由已知，∴.又，则.

21.某市电信部门规定：拔打市内电话时，如果通话时间不超过3分钟，则收取通话费0.2元，如果通话时间超过3分钟，则超过部分以每分钟0.1元收取通话费（通话时间以分钟计，不足1分钟时按1分钟计），试设计一个计算通话费的算法。要求写出算法，画出程序框图，编写程序。参考答案：我们用（单位：元）表示通话费用，（单位：分钟）表示通话时间，则依题意必有

算法步骤如下：第一步：输入通话时间；第二步：如果，那么；否则令；第三步：输出通话费用。程序框图如下所示：

程序为：22.已知函数，其中．（Ⅰ）当时，求曲线在原点处的切线方程．（Ⅱ）求的单调区间．参考答案：【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方