山东省聊城市临清老赵庄镇中学高三数学文月考试卷含解析

山东省聊城市临清老赵庄镇中学高三数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了解该单位职工的心理状况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，则样本容量为（）A．7 B．15 C．35 D．25参考答案：B【考点】分层抽样方法．【专题】概率与统计．【分析】根据分层抽样的定义进行求解即可．【解答】解：设样本容量为n，则由题意得，解得n=15，故选：B【点评】本题主要考查分层抽样的应用，比较基础．2.下列函数中，周期为1的奇函数是（）A．y=1﹣2sin2πxB．C．D．y=sinπxcosπx参考答案：D考点：三角函数的周期性及其求法；正弦函数的奇偶性．.专题：计算题．分析：对A先根据二倍角公式化简为y=cos2πx为偶函数，排除；对于B验证不是奇函数可排除；对于C求周期不等于1排除；故可得答案．解答：解：∵y=1﹣2sin2πx=cos2πx，为偶函数，排除A．∵对于函数，f（﹣x）=sin（﹣2πx+）≠﹣sin（2πx+），不是奇函数，排除B．对于，T=≠1，排除C．对于y=sinπxcosπx=sin2πx，为奇函数，且T=，满足条件．故选D．点评：本题主要考查三角函数的奇偶性和最小正周期的求法，一般先将函数化简为y=Asin（wx+ρ）的形式，再由最小正周期的求法T=、奇偶性的性质、单调性的判断解题．3.某校开设A类选修课2门，B类选修课3门，一位同学从中选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有

A.3种B.6种C.9种D.18种参考答案：C

【知识点】计数原理的应用．J1解析：可分以下2种情况：①A类选修课选1门，B类选修课选2门，有C21C32种不同的选法；②A类选修课选2门，B类选修课选1门，有C22C31种不同的选法．∴根据分类计数原理知不同的选法共有C21C32+C22C31=6+3=9种．故要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有9种．故选：C【思路点拨】两类课程中各至少选一门，包含两种情况：A类选修课选1门，B类选修课选2门；A类选修课选2门，B类选修课选1门，写出组合数，根据分类计数原理得到结果.4.某几何体的三视图如图所示，则其体积为（）A．4 B． C． D．参考答案：D【考点】由三视图求面积、体积．【分析】通过三视图复原的几何体是正四棱锥，结合三视图的数据，求出几何体的体积．【解答】解：由题意三视图可知，几何体是正四棱锥，底面边长为2的正方形，一条侧棱垂直正方形的一个顶点，长度为2，所以四棱锥的体积．故选D．5.函数y=的图象大致是（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】对数函数的图象与性质．【分析】先由奇偶性来确定是A、B还是C、D选项中的一个，再通过对数函数，当x=1时，函数值为0，可进一步确定选项．【解答】解：∵f（﹣x）=﹣f（x）是奇函数，所以排除A，B当x=1时，f（x）=0排除C故选D6.若A为不等式组表示的平面区域，则当a从﹣2连续变化到1时，则直线x+y=a扫过A中的那部分区域的面积为（）A．1 B． C． D．参考答案：D【考点】简单线性规划．【分析】先由不等式组画出其表示的平面区域，再确定动直线x+y=a的变化范围，最后由三角形面积公式解之即可．【解答】解：如图，不等式组表示的平面区域是△AOB，动直线x+y=a（即y=﹣x+a）在y轴上的截距从﹣2变化到1．知△ADC是斜边为3的等腰直角三角形，△EOC是直角边为1等腰直角三角形，所以区域的面积S阴影=S△ADC﹣S△EOC=×3×﹣×1×1=故答案为：D．7.若点在直线上，则的值等于（

）A. B.

C.

D.参考答案：B8.下列命题中正确的是（）A．若命题p为真命题，命题q为假命题，则命题“p∧q”为真命题B．命题“若xy=0，则x=0”的否命题为：“若xy=0，则x≠0”C．“”是“”的充分不必要条件D．命题“?x∈R，2x＞0”的否定是“”参考答案：D考点：命题的真假判断与应用；四种命题间的逆否关系；复合命题的真假；特称命题；必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：若命题p为真命题，命题q为假命题，则命题“p∧q”为假命题；命题“若xy=0，则x=0”的否命题为：“若xy≠0，则x≠0”；“”?“+2kπ，或，k∈Z”，“”?“”，故“”是“”的必要不充分条件；命题“?x∈R，2X＞0”的否定是“?”．解答：解：若命题p为真命题，命题q为假命题，则命题“p∧q”为假命题，故A不正确；命题“若xy=0，则x=0”的否命题为：“若xy≠0，则x≠0”，故B不正确；“”?“+2kπ，或，k∈Z”，“”?“”，故“”是“”的必要不充分条件，故C不正确；命题“?x∈R，2x＞0”的否定是“”，故D正确．故选D．点评：本题考查命题的真假判断，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答．9.已知且f(0)＝2，f(－1)＝3，则f(f(－3))＝()A．－2

B．2

C．3

D．－3参考答案：B10.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，直线A1B与平面BC1D1所成角的正切值为（

）（A）

（B）（C）

（D）参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在中，两中线与相互垂直，则的最大值为

.参考答案：12.若函数，则＝参考答案：

【知识点】导数的运算B11解析：因为，所以，则令可得，所以，则，而，则，即，故答案为。【思路点拨】通过导函数的运算求得，代回原函数式可得以及，即可求出、，最后写出结果。13.对于实数x，将满足“0≤y<l且x－y为整数”的实数y称为实数x的小数部分，用符号表示。对于实数a，无穷数列{an}满足如下条件：

①；

②。 （1）当时，数列{an}的通项公式为 。 （2）当时，对任意的都有，则a的值为 。参考答案：略14.在中，，，其面积，则边__________。参考答案：1315.计算：

参考答案：16.已知为数列的前项和，且，则数列的通项公式为

．参考答案：

17.i是虚数单位，计算的结果为

．参考答案：﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】直接利用复数的除法运算法则化简求解即可．【解答】解：i是虚数单位，===﹣i．故答案为：﹣i．【点评】本题考查复数的乘除运算，基本知识的考查．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.

设n为≥2的自然数．证明方程xn＋1＝yn＋1在x与n＋1互质时无正整数解．参考答案：证明：xn＝yn＋1－1＝(y－1)(yn＋yn－1＋…＋1)．如果质数p是y－1与yn＋yn－1＋…＋1的公因数，则p整除xn，从而p是x的因数．但y除以p余1，所以yn＋yn－1＋…＋1除以p与n＋1除以p的余数相同，即n＋1也被p整除，这与x、n＋1互质矛盾．因此y－1与yn＋yn－1＋…＋1互质，从而y－1＝sn，yn＋yn－1＋…＋1＝tn，其中s、t为自然数，st＝x．但yn＜yn＋yn－1＋…＋1＜(y＋1)n，所以yn＋yn－1＋…＋1≠tn，矛盾，原方程无解．19.在△ABC中，角A，B，C的对应边分别是a，b，c满足b2+c2=bc+a2．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）已知等差数列{an}的公差不为零，若a1cosA=1，且a2，a4，a8成等比数列，求{}的前n项和Sn．参考答案：【考点】数列的求和；等比数列的性质；余弦定理．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）由已知条件推导出=，所以cosA=，由此能求出A=．（Ⅱ）由已知条件推导出（a1+3d）2=（a1+d）（a1+7d），且d≠0，由此能求出an=2n，从而得以==，进而能求出{}的前n项和Sn．【解答】解：（Ⅰ）∵b2+c2﹣a2=bc，∴=，∴cosA=，∵A∈（0，π），∴A=．（Ⅱ）设{an}的公差为d，∵a1cosA=1，且a2，a4，a8成等比数列，∴a1==2，且=a2?a8，∴（a1+3d）2=（a1+d）（a1+7d），且d≠0，解得d=2，∴an=2n，∴==，∴Sn=（1﹣）+（）+（）+…+（）=1﹣=．【点评】本题考查角的大小的求法，考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．20.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，对角线与相交于点，底面，，分别为的中点.（1）求证：∥平面；（2）求直线与平面所成角的余弦值.参考答案：解：（1）取的中点，连接，因为为的中位线，所以平行且等于，在菱形中，平行且等于，又为的中点，故平行且等于，所以四边形为平行四边形，所以∥，又面，面，所以∥平面.（2）.取的中点，连接，因为为的中点，故∥，因为底面，所以面，故为直线与平面所成角，又，，，所以，即直线与平面所成角的余弦值为.（建系也可以）21.（本小题满分14分）已知首项大于的等差数列的公差，且．（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足：，，，其中．①求数列的通项；②是否存在实数，使得数列为等比数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．参考答案：（1）（2）①

②1【知识点】单元综合

（1）数列的首项，公差，，，

2，

整理得解得或（舍去）．因此，数列的通项．（2）①，

．

令，则有，．当时，，．因此，数列的通项．

②，，，

若数列为等比数列，则有，即，解得或．

当时，，不是常数，数列不是等比数列，当时，，，数列为等比数列．所以