山东省聊城市高集乡中学2021年高三数学文月考试卷含解析

山东省聊城市高集乡中学2021年高三数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知数列{an}，{bn}满足，，.则数列的前10项和为（

）A. B. C. D.参考答案：D【分析】根据题目条件判定为等差数列，为等比数列，分别求出通项公式，然后求和.【详解】因为，所以为等差数列，为等比数列且公差，公比均为3，所以，，所以，易知是以1为首项，27为公比的等比数列，所以前10项和为，故选D.【点睛】本题主要考查等差数列和等比数列的通项公式及等比数列求和，侧重考查数学运算的核心素养.2.双曲线x2－y2=4的两条渐进线和直线x=2围成一个三角形区域（含边界），则该区域可表示为

A．

B．

C．

D．参考答案：答案：B3.已知函数是偶函数，当时，有，且当，的值域是，则的值是(

) A．

B．

C． D．参考答案：C略4.已知，若a+1，a+2，a+6依次构成等比数列，则此等比数列的公比为

A．4

B．2

C．1

D．参考答案：【知识点】等比数列

D3A解析：由题意可知，所以第二项除以第一项等于4，所以A为正确选项.【思路点拨】根据等比数列的定义求出字母a，再求出数列的各项即可求出公比.5.从某班的2名女生、2名男生中任选2人，代表该班参加学校的才艺展示活动，则选中的学生刚好为一男一女的概率为A.

B.

C.

D.1参考答案：C6.已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球体积为（

）A. B. C. D.12π参考答案：C【分析】由三视图可知，原几何体是一条侧棱与底面垂直的三棱锥，底面是斜边上的高为，腰长为2，斜边长为2的等腰直角三角形，棱锥高为2，故三棱锥的外接球与以棱长为2的正方体的外接球相同，由此可得。【详解】由三视图可知，原几何体是一条侧棱与底面垂直的三棱锥，底面是斜边上的高为，腰长为2，斜边长为2的等腰直角三角形，棱锥高为2，故三棱锥的外接球是以棱长为2的正方体的外接球相同，其直径为，半径为，所以三棱锥的外接球体积为，故选C。【点睛】本题主要考查通过三视图还原几何体，以及三棱锥的外接球的体积计算，意在考查学生的直观想象和数学计算能力。7.f（x）=x2﹣2x，g（x）=ax+2（a＞0），若对任意的x1∈[﹣1，2]，存在x0∈[﹣1，2]，使g（x1）=f（x0），则a的取值范围是（）A． B． C．[3，+∞） D．（0，3]参考答案：A【考点】函数的值域；集合的包含关系判断及应用．

【专题】计算题；压轴题．【分析】先求出两个函数在[﹣1，2]上的值域分别为A、B，再根据对任意的x1∈[﹣1，2]，存在x0∈[﹣1，2]，使g（x1）=f（x0），集合B是集合A的子集，并列出不等式，解此不等式组即可求得实数a的取值范围，注意条件a＞0．【解答】解：设f（x）=x2﹣2x，g（x）=ax+2（a＞0），在[﹣1，2]上的值域分别为A、B，由题意可知：A=[﹣1，3]，B=[﹣a+2，2a+2]∴∴a≤又∵a＞0，∴0＜a≤故选：A【点评】此题是个中档题．考查函数的值域，难点是题意的理解与转化，体现了转化的思想．同时也考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力，8.已知集合，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：【知识点】集合的运算A1B解析：因为，所以，所以选B.【思路点拨】可先求出集合M,N，再求两个集合的并集即可.9.等差数列中，若，则等于

（

）

A．3

B．4

C．5

D．6

参考答案：C因为等差数列，因此选C

10.“”是“函数在区间[4,+∞)上为增函数”的(

)A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：B函数f（x）=x2﹣4ax+1在区间[4，+∞）上为增函数．∴2a≤4，解得a≤2．∴“a≤3”是“函数f（x）=x2﹣4ax+1在区间[4，+∞）上为增函数”的必要不充分条件．故选：B．

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知奇函数.当[0,1]时，，的值为

。参考答案：12.已知函数，则______．参考答案：【分析】利用分段函数的解析式先求出，从而可得的值.【详解】，且，，，故答案为.【点睛】本题主要考查分段函数的解析式，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰.当出现的形式时，应从内到外依次求值．13.已知，则的值为

。参考答案：-3略14.下列四个命题：①函数与的图像关于直线对称；②函数的值域为，则实数的取值范围为；③在中，“”是“”的充分不必要条件；④数列的通项公式为，若是单调递增数列，则实数的取值范围为。其中真命题的序号是_________

参考答案：②④

略15.已知向量，，，若，则______；参考答案：【分析】由求得x,得到的坐标，再求模长即可.【详解】，∴2x+2=0,∴x=-1,∴,∴故答案为【点睛】本题考查向量的坐标运算，模，熟记垂直性质，熟练计算模长是关键，是基础题.16.（3分）在△ABC中，不等式成立；在凸四边形ABCD中，不等式成立；在凸五边形ABCDE中，不等式成立．根据以上情况，猜想在凸n边形A1A2…An（n≥3）中的成立的不等式是．参考答案：【考点】：归纳推理．【专题】：综合题．【分析】：根据已知中△ABC中，不等式成立；在凸四边形ABCD中，不等式成立；在凸五边形ABCDE中，不等式成立．观察分子与多边形边的关系及分母中π的系数与多边形边的关系，即可得到答案．【解答】：解：由已知中已知的多边形角的倒数所满足的不等式：△ABC中，不等式成立；凸四边形ABCD中，不等式成立；凸五边形ABCDE中，不等式成立；…由此推断凸n边形A1A2…An（n≥3）中的成立的不等式是：故答案为：【点评】：本题考查的知识点是归纳推理，其中根据已知分析分子与多边形边的关系及分母中π的系数与多边形边的关系，是解答本题的关键．17.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤，问本持金几何”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金，第2关收税金为剩余金的，第3关收税金为剩余金的，第4关收税金为剩余金的，第5关收税金为剩余金的，5关所收税金之和，恰好重1斤，问原来持金多少？”若将题中“5关所收税金之和，恰好重1斤，问原来持金多少？”改成假设这个原来持金为x，按此规律通过第8关，则第8关需收税金为x．参考答案：【考点】数列的应用．【分析】第1关收税金：x；第2关收税金：（1﹣）x=x；第3关收税金：（1﹣﹣）x=x；…，可得第8关收税金．【解答】解：第1关收税金：x；第2关收税金：（1﹣）x=x；第3关收税金：（1﹣﹣）x=x；…，可得第8关收税金：x，即x．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知的最小值为．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）已知，，且，求证：．参考答案：（Ⅰ）1（Ⅱ）见解析【分析】（Ⅰ）去绝对值变成分段函数，根据分段函数的单调性可求出的最小值，与已知最小值相等列式可求出；（Ⅱ）利用分析法结合基本不等式即可证明．【详解】解：（Ⅰ），在区间上单调递减，在区间上单调递增，，；（Ⅱ）由（Ⅰ），，且，要证，只要证，即证，即证，即证，即证，即证，显然，当且仅当时取等号．∴．【点睛】本题考查了分段函数的问题，解决分段函数常见的方法是分类讨论；本题还考查了推理与证明的知识，可运用分析法求解.19.（本题满分14分）在平面直角坐标系xoy中，已知曲线C1上的任一点到点（1，0）的距离与到直线的距离之比为，动点Q是动圆C2：上一点．（1）求曲线C1的轨迹方程；（2）若点P为曲线C1上的点，直线PQ与曲线C1和动圆C2均只有一个公共点，求P、Q两点的距离｜PQ｜的最大值．

参考答案：（1）设，依题意得化简方程得.……3分（2）依题意可知直线PQ显然有斜率，设其方程为设、，…………………4分由于直线PQ与曲线C1相切，点P为切点，从而有得，故…………6分从而可得，…………8分又直线PQ与圆C2相切，则……9分由（1）、（2）得，………………10分并且即，当且仅当时取等号，………13分故P、Q两点的距离｜PQ｜的最大值………………14分20.已知F为椭圆C：=1（a＞b＞0）的右焦点，直线PP′过坐标原点O，与椭圆C分别交于点P，P′两点，且|PF|=1，|P′F|=3，椭圆C的离心率e=（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）直线l过椭圆C的右焦点F，且与椭圆C交于A，B两点，若∠AOB是钝角，求直线l的斜率k的取值范围．参考答案：【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）由题意可知丨PF1丨+|PF|=3+1=4=2a，a=2c，即可求得c的值，b2=a2﹣c2=3，即可求得椭圆C的方程；（Ⅱ）当k=0时，求得A和B的坐标，由?=1﹣=＞0，则∠AOB是锐角，当k≠0，代入椭圆方程，由韦达定理及向量的坐标运算，x1x2+y1y2＜0，即可求得k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的左焦点为F1，由题意可在：丨PF1丨=|P′F|=3，则丨PF1丨+|PF|=3+1=4=2a，则a=2，椭圆的离心率e==，则c=1，b2=a2﹣c2=3椭圆C的方程：；（Ⅱ）由（Ⅱ）可知：椭圆的右焦点（1，0），直线AB的斜率k=0时，A（1，），A（1，﹣），?=1﹣=＞0，∴∠AOB是锐角，当直线AB的斜率存在时，直线l的方程y=k（x﹣1），k≠0，A（x1，y1），B（x2，y2）．则，整理得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，∵直线l过焦点F，∴△＞0恒成立，且x1+x2=，x1x2=，∠AOB是钝角，则?＜0，∴x1x2+y1y2＜0，x1x2+k2（x1﹣1）（x2﹣1）＜0，化为：（1+k2）x1x2﹣k2（x1+x2）+k2＜0，则（1+k2）×﹣k2×+k2＜0，解得：k2≥﹣，综上可知：k∈R，且k≠0，直线l的斜率k的取值范围（﹣∞，0）∪（0，+∞）．【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，韦达定理，向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．21.

设不等式的解集为集合A，关于x的不等式的解集为集合B。

（I）若，求实数a的取值范围；

（II）若，求实数a的取值范围。参考答案：解：由题意，集合………………2分

集合

………5分

（Ⅰ）若，则可得．所以时，关系式

成立．

…………8分（Ⅱ）要满足，应满足或，所以或综上所述，或

时，