山东省青岛市即墨龙山中学2023年高三数学理模拟试卷含解析

山东省青岛市即墨龙山中学2023年高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数的零点，其中常数满足，，则的值为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D略2.已知是定义在上的函数，且则的解集是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C试题分析：设g（x）=f（x）-x，因为f（1）=1，f'（x）＞1，所以g（1）=f（1）-1=0，所以g（x）在R上是增函数，且g（1）=0．所以f（x）＞x的解集即是g（x）＞0的解集（1，+∞）．故选C．考点：1．函数的单调性与导数的关系；2．其他不等式的解法．3.运行右图所示框图的相应程序,若输入的值分别为和,则输出M的值是（

）A.0

B.1

C.2

D.－1参考答案：C4.为了了解某校高三400名学生的数学学业水平测试成绩，制成样本频率分布直方图如图，规定不低于60分为及格，不低于80分为优秀，则及格率与优秀人数分别是（

）

A．60%，60

B．60%，80

C．80%，80

D．80%，60参考答案：C5.设函数f（x）=xsinx+cosx的图象在点（t，f（t））处切线的斜率为k，则函数k=g（t）的部分图象为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】先对函数f（x）进行求导运算，根据在点（t，f（t））处切线的斜率为在点（t，f（t））处的导数值，可得答案．【解答】解：∵f（x）=xsinx+cosx∴f'（x）=（xsinx）'+（cosx）'=x（sinx）'+（x）'sinx+（cosx）'=xcosx+sinx﹣sinx=xcosx∴k=g（t）=tcost根据y=cosx的图象可知g（t）应该为奇函数，且当x＞0时g（t）＞0故选B．【点评】本题主要考查函数的导数和在某点处切线斜率的关系．属基础题．6.下列函数中，是奇函数且周期为的是A．

B． C．

D．

参考答案：答案：D解析：

.7.过平面区域内一点P作圆O：x2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，记∠APB=α，则当α最小时cosα的值为（） A． B．C．D．参考答案：C 【考点】简单线性规划． 【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据数形结合求确定当α最小时，P的位置，利用余弦函数的倍角公式，即可得到结论． 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，要使α最小， 则P到圆心的距离最大即可， 由图象可知当P位于点D时，∠APB=α最小， 由，解得，即D（﹣4，﹣2）， 此时|OD|=，|OA|=1， 则，即sin=， 此时cosα=1﹣2sin2=1﹣2（）2=1﹣=， 故选：C 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键，要求熟练掌握两角和的倍角公式． 8.函数，若方程有且只有两个不等的实根，则实数a的取值范围为（

）A.(－∞,1) B.[0,1) C.(－∞,0) D.[0,+∞)参考答案：A【分析】在同一坐标系中画出的图像与的图像，利用数形结合，易求出满足条件的实数的取值范围.【详解】画出函数图像如下：当时，函数的图像与的图像有两个交点，即方程有且只有两个不等的实根.故选：A【点睛】本题考查分段函数的图像，根的存在性及根的个数的判断，将方程根的个数转化为求函数零点的个数，并用图像法进行解答是本题的关键，属于基础题.9.已知在圆x2+y2﹣4x+2y=0内，过点E（1，0）的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为（）A． B．6 C． D．2参考答案：D考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：圆x2+y2﹣4x+2y=0即（x﹣2）2+（y+1）2=5，圆心M（2，﹣1），半径r=，最长弦AC为圆的直径．BD为最短弦，AC与BD相垂直，求出BD，由此能求出四边形ABCD的面积．解：圆x2+y2﹣4x+2y=0即（x﹣2）2+（y+1）2=5，圆心M（2，﹣1），半径r=，最长弦AC为圆的直径为2，∵BD为最短弦∴AC与BD相垂直，ME=d=，∴BD=2BE=2=2，∵S四边形ABCD=S△ABD+S△BDC=BD×EA+×BD×EC=×BD×（EA+EC）=×BD×AC==2．故选：D【点评】本题考查四边形的面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．10.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a2013=2S2014+6，3a2014=2S2015+6，则数列{an}的公比q等于（） A． B． ﹣或1 C． 或1 D． 2参考答案：考点： 等比数列的前n项和．专题： 等差数列与等比数列．分析： 已知两式相减结合等比数列的通项公式和求和公式可得q的方程，解方程可得．解答： 解：由题意可知a2013=2S2014+6，①，3a2014=2S2015+6，②②﹣①可得3a2014﹣a2013=2S2015﹣2S2014=2a2015，∴3a2013q﹣a2013=2a2013q2，∴2q2﹣3q+1=0，解得q=1或q=故选：C点评： 本题考查等比数列的求和公式，涉及通项公式和一元二次方程，属基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知曲线C：及点P（2，2），则过点P可引切线条数为

（

）（A）0

（B）1

（C）2

（D）3参考答案：D设切点Q（），则切线的方程为：即由P（2，2）在上，故即则或因此，共有三条切线故选D

12.若抛物线的焦点坐标为，则，准线方程为．参考答案：13.如图，在四面体ABCD中，，用平行于AB，CD的平面截此四面体，得到截面四边形EFGH，则该四边形EFGH面积的最大值为______参考答案：【分析】根据线面平行的性质可知,因为，故,所以四边形为矩形，设，建立二次函数关系求解四边形面积的最大值.【详解】因为直线AB//平面EFGH，且平面ABC交平面EFGH于HG,所以HG//AB，同理，，所以四边形EFGH平行四边形又，可证明所以四边形EFGH为矩形.设，，当时，有最大值.故填.14.若抛物线的准线经过双曲线的一个焦点,则

．参考答案：

15.若关于x的不等式的解集为空集，则实数a的取值范围是

。参考答案：略16.某慢性疾病患者，因病到医院就医，医生给他开了处方药（片剂),要求此患者每天早、晚间隔小时各服一次药，每次一片，每片毫克．假设该患者的肾脏每小时从体内大约排出这种药在其体内残留量的，并且医生认为这种药在体内的残留量不超过毫克时无明显副作用．若该患者第一天上午点第一次服药，则第二天上午点服完药时，药在其体内的残留量是

毫克，若该患者坚持长期服用此药

明显副作用（此空填“有”或“无”）参考答案：

,无．【知识点】等比数列解：设该病人第n次服药后，药在体内的残留量为毫克，

所以）=300，=350．

由，

所以是一个等比数列，

所以

所以若该患者坚持长期服用此药无明显副作用。

故答案为：

,无．17.若直线与直线互相垂直，则实数的值为

参考答案：1略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（13分）“累积净化量（CCM）”是空气净化器质量的一个重要衡量指标，它是指空气净化器从开始使用到净化效率为50%时对颗粒物的累积净化量，以克表示．根据GB/T18801﹣2015《空气净化器》国家标准，对空气净化器的累积净化量（CCM）有如下等级划分：累积净化量（克）（3，5]（5，8]（8，12]12以上等级P1P2P3P4为了了解一批空气净化器（共2000台）的质量，随机抽取n台机器作为样本进行估计，已知这n台机器的累积净化量都分布在区间（4，14]中，按照（4，6]，（6，8]，（8，10]，（10，12]，（12，14]，均匀分组，其中累积净化量在（4，6]的所有数据有：4.5，4.6，5.2，5.7和5.9，并绘制了如下频率分布直方图．（Ⅰ）求n的值及频率分布直方图中的x值；（Ⅱ）以样本估计总体，试估计这批空气净化器（共2000台）中等级为P2的空气净化器有多少台？（Ⅲ）从累积净化量在（4，6]的样本中随机抽取2台，求恰好有1台等级为P2的概率．参考答案：【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）先求出在（4，6]之间的数据一共有6个，再由频布直方图得：落在（4，6]之间的频率为0.03×2=0.06，由此能求出n的值及频率分布直方图中的x值．（Ⅱ）由频率分布直方图可知：落在（6，8]之间共24台，在（5，6]之间共4台，从而落在（5，8]之间共28台，由此能估计这批空气净化器（共2000台）中等级为P2的空气净化器有多少台．（Ⅲ）设“恰好有1台等级为P2”为事件B，依题意落在（4，6]之间共6台，属于国标P2级的有4台，则从（4，6]中随机抽取2台，基本事件总数n=，事件B包含的基本事件个数m==8，由此能求出恰好有1台等级为P2的概率．【解答】解：（Ⅰ）∵在（4，6]之间的数据一共有6个，再由频布直方图得：落在（4，6]之间的频率为0.03×2=0.06，∴n==100，由频率分布直方图的性质得：（0.03+x+0.12+0.14+0.15）×2=1，解得x=0.06．（Ⅱ）由频率分布直方图可知：落在（6，8]之间共：0.12×2×100=24台，又∵在（5，6]之间共4台，∴落在（5，8]之间共28台，∴估计这批空气净化器（共2000台）中等级为P2的空气净化器有560台．（Ⅲ）设“恰好有1台等级为P2”为事件B，依题意落在（4，6]之间共6台，属于国标P2级的有4台，则从（4，6]中随机抽取2台，基本事件总数n=，事件B包含的基本事件个数m==8，∴恰好有1台等级为P2的概率P（B）=．【点评】本题考查频率分布直方图的求法，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．19.设Sn为等差数列{an}的前n项和，已知，．（1）求{an}的通项公式；（2）令，，若对一切成立，求实数m的最小值．参考答案：解：（1）∵等差数列中，，，∴解得∴，∴．（2）∵w，∴，∵随着的增大而增大，∴递增，又，∴，∴，∴实数的最小值为5．

20.（本小题满分13分）某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图3，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83.（1）求和的值；（2）计算甲班7位学生成绩的方差；（3）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班至少有一名学生的概率.参考答案：（1）..（2）40；（3）甲校至少有一名学生的概率为.（1）解：∵甲班学生的平均分是85，∴.

……………1分∴.

……………2分∵乙班学生成绩的中位数是83，∴.

……………3分（2）解：甲班7位学生成绩的方差为.

……5分（3）解：甲班成绩在90分以上的学生有两名，分别记为，

……………6分乙班成绩在90分以上的学生有三名，分别记为.

……………7分从这五名学生任意抽取两名学生共有10种情况：.

……………9分其中甲班至少有一名学生共有7种情况：.…11分记“从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班至少有一名学生”为事件，则.答：从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲校至少有一名学生的概率为.……………12分21.“矩阵与变换和坐标系与参数方程”模块已知直线的极坐标方程为，圆的参数方程为为参数.（Ⅰ）求圆上的点到直线的距离的最小值；（Ⅱ）若过点的直线与圆交于、两点，且，求直线的斜率.

参考答案：解：（1）圆的普通方程为，