课件-第七章7-12平面图形面积

1第七章定积分的应用22定积分有着广泛的用途,先介绍建立定积分的一种适用的简便微元法(元素法).现介绍它在几何、物理上的简单应用,培养用数学知识来分析和解决实际问题的能力.方法---37.1微元法的基本思想一.问题的提出二.微元法的一般步骤4回顾曲边梯形求面积的问题一、问题的提出abxyo5面积表示为定积分的步骤如下（3）求和，得A的近似值6abxyo（4）求极限，得A的精确值提示面积元素78（二）微元法的一般步骤：9这个方法通常叫做微元法（或元素法）．应用方向：平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等．107.2平面图形的面积一.直角坐标下的面积公式二.边界曲线由参数方程表示时的面积公式三.极坐标系下的面积公式四.小结定积分在几何学上的应用11曲边梯形的面积曲边梯形的面积定积分在几何学上的应用一、直角坐标下的面积公式

12求这两条曲线及直线x=a,x=b所围成的区域的面积A.面积微元dA为它对应的(1)即区间设在区间[a,b]上,曲线y=f(x)位于曲线y=g(x)的上方,在[a,b]上任取一个小13解两曲线的交点面积元素选为积分变量定积分在几何学上的应用14解两曲线的交点选为积分变量定积分在几何学上的应用15于是所求面积说明：注意各积分区间上被积函数的形式．积分变量只能选吗？?定积分在几何学上的应用16(2)

由曲线x=f(y),和直线y=c,x=d所围成的区域的面积A.面积微元dA为它对应的区间x=g(y)在[c,d]上任取一个小17解两曲线的交点选为积分变量定积分在几何学上的应用18(3)

平面图形(如图)面积为?设f(x)、

g(x)在[a,b]上连续,则曲线y=f(x)、y=g(x)与直线x=a,x=b所围成的19解两曲线的交点画草图,练习20如果曲边梯形的曲边为参数方程则曲边梯形的面积定积分在几何学上的应用二、边界曲线由参数方程表示时的面积公式21解曲线的参数方程为由对称性,作变量代换,例4其中总面积等于4倍第一象限部分面积．不易积分.定积分在几何学上的应用

一般地,当曲线用参数方程表示时,都可以用类似的变量代换法处理.22解面积练习作变量代换定积分在几何学上的应用23三、极坐标系下的面积公式24()dor=()微元法1取极角为积分变量，其变化区间为[,]以圆扇形面积近似小曲边扇形面积，得到面积元素：..

曲边扇形的面积dAA3作定积分.r+d25解由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积定积分在几何学上的应用26xyoaa一圆沿另一圆外缘无滑动地滚动，动圆圆周上任一点所画出的曲线。心形线(圆外旋轮线)27xyo.a一圆沿另一圆外缘无滑动地滚动，动圆圆周上任一点所画出的曲线。

(圆外旋轮线)来看动点的慢动作a心形线28xyo2a来看动点的慢动作.一圆沿另一圆外缘无滑动地滚动，动圆圆周上任一点所画出的曲线。

(圆外旋轮线)aa心形线29xyor=a(1+cos)020r2aPr.一圆沿另一圆外缘无滑动地滚动，动圆圆周上任一点所画出的曲线。

(圆外旋轮线)2a心形线30解利用对称性知定积分在几何学上的应用31解求交点由对称性2例7定积分在几何学上的应用32解例8交点由对称性定积分在几何学上的应用33求在直角坐标系下、参数方程形式下、极坐标系下平面图形的面积.（注意恰当的选择积分变量有助于简化积分运算）四、小结定积分在几何学上的应用34思考题定积分在几何学上的应用35思考题解答xyo两边同时对求导36积分得所以所求曲线为37解求由抛物线