第一章命题逻辑-3 .公式等价

公式的等价：若命题公式A和B的所有真值全都相同，则称A和B是等价的或逻辑相等，记作AB.AB，当且仅当AB为重言式.三、公式的等价如：

(PQ)

(P

Q)的真值全为真，则(PQ)

与

(P

Q)是等价的或逻辑相等.反之亦然.(一)公式等价的概念例1.3.1试证

P

Q

PQ.证：PQ

P

TTTFFTFFF

F

TTPQTF

TT列出真值表PQTF

TT可知

P

Q

与PQ真值相同，牢记本题结论：PQ

P

Q.所以

P

Q

PQ.(二)用真值表证明公式等价三、公式的等价证：PQTTTFFTFFPQTF

FT列出真值表PQTF

TTPQ与(PQ)(QP)真值相同，记住这个简单的结论.得证二者等价.QPTTFT(PQ)(QP)TF

FT例1.3.2试证P

Q

(PQ)(QP).用真值表证明公式等价三、公式的等价证：PQTTTFFTFFPQTF

FT列出真值表PQ与(PQ)(P

Q)真值相同，建议记住这个结论：这是向,的转化式.得证二者等价.(PQ)(P

Q)TF

FT例1.3.3试证P

Q

(PQ)(P

Q).用真值表证明公式等价三、公式的等价1.P对合律2.PP3.PP幂等律4.PQ5.PQ交换律P

P

PQPQP(三)常用的等价公式三、公式的等价6.(PQ)

R7.(PQ)R结合律8.P(QR)9.P(Q

R)分配律10.(PQ)11.(PQ)德·摩根律P(QR)P(QR)(PQ)

(PR)(PQ)(PR)PQPQ常用的等价公式三、公式的等价12.P(PQ)13.P(PQ)吸收律

14.PT15.PF零律16.PF17.PT同一律PP19.P

P18.

P

P否定律PPTFF

T常用的等价公式三、公式的等价20.PQ21.(PQ)22.PQ23.P

(Q

R)

24.P

Q25.P

Q

P

Q

P

Q

26.(P

Q)(PQ)(QP)(P

Q)(P

Q)PQ(P

Q)

RQP常用的等价公式三、公式的等价例1.3.4试证P

(Q

R)

(PQ)

R证：P

(Q

R)

P

(QR)

P

(

QR)(

P

Q)R(PQ)R(PQ)

RE20德·摩根律结合律E20E20注P

(Q

R)

(PQ)

R三、公式的等价证：注意到P

Q

(PQ)(P

Q)，有例1.3.5证明(P

Q)

PQP

Q

PQ

(PQ)(PQ).(1)(P

Q)即又(PQ)(P

Q).(PQ)(PQ).(2)由(1),(2)两式，得(P

Q)PQ三、公式的等价(PQ)(PQ)(PP)(QP)(PQ)(QQ)置换子公式：如果X是合式公式A的一部分，且X本身也是一个合式公式，则称X为公式A的子公式.置换原理(RuleofReplacement)：设X是合式公式A的子公式，且XY，将A中的X用Y来置换，得到新的公式B，则AB.即，如果则AB.三、公式的等价例如(PQ)R中以QP代PQ

，得(PQ)R(QP)R或(PP)Q以F代PP，得(PP)QFQ

置换三、公式的等价从含义上理解记忆.对比集合的运算律记忆.同一律、零律、否定律中的F,T分别对比集合中的空集，全集.例如，分配律P(QR)

(PQ)

(PR)

P(Q

R

)(PQ)(PR)P(QR)

(PQ)(PR)

P(Q

R

)(PQ)(PR)德·摩根律(PQ)PQ(PQ)PQ~(PQ)~P~

Q~(PQ)~P~

Q常用等价公式的记忆三、公式的等价例1.3.7判别下列公式的类型(1)Q

((PQ)P)(2)(P

P)((QQ)R)解：(1)Q

((PQ)P)

Q(QP)分配律否定律同一律

Q(QP)德·摩根律结合律否定律

Q((PP)(QP))

Q(F(QP))

TP(QQ)P

T零律故(1)是重言式三、公式的等价

F