第1章 2.数值运算的误差估计及注意事项_第1页
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数值运算的误差估计及注意事项邹昌文本讲重点误差的传播与积累数值运算的误差估计误差定性分析避免误差的危害误差的传播与积累/Spread&Accumulation/例：蝴蝶效应

——纽约的一只蝴蝶翅膀一拍，风和日丽的北京就刮起台风来了？！NYBJ以上是一个病态问题

/ill-posedproblem/关于本身是病态的问题，我们暂时还是留给数学家去头痛吧，当然，我们将会做一个数值实验来感受一下的！例：计算公式一：注意此公式精确成立记为则初始误差????!!!Whathappened?!考察第n步的误差我们有责任改变。造成这种情况的是不稳定的算法

/unstablealgorithm/迅速积累，误差呈递增走势。可见初始的小扰动公式二：注意此公式与公式一在理论上等价。方法：先估计一个IN

,再反推要求的In(n<<N)。可取取考察反推一步的误差：以此类推，对n<N

有：误差逐步递减,这样的算法称为稳定的算法

/stablealgorithm/

在我们今后的讨论中，误差将不可回避，算法的稳定性会是一个非常重要的话题。和、差、积、商的误差函数的误差估计/ErrorEstimationforFunctions/问题：对于y=f(x)，若用x*

取代x，将对y

产生什么影响？分析：ε*(y)=f(x*)f(x)ε

*(x)=x*xMeanValueTheorem=f’()(x*x)x*与x非常接近时，可认为f’()

f’(x*)，则有：|ε

*(y)||f’(x*)|·|ε

*(x)|即：x*产生的误差经过f作用后被放大/缩小了|f’(x*)|倍。故称|f’(x*)|为放大因子

/amplificationfactor/

或

绝对条件数

/absoluteconditionnumber/.相对误差条件数

/relativeconditionnumber/

f的条件数在某一点是小\大，则称f在该点是好条件的

/well-conditioned/\坏条件的

/ill-conditioned/。注：关于多元函数的讨论，请参阅教材第4页。例:计算y=ln

x。若x

20，则取x

的几位有效数字可保证y

的相对误差<0.1%?解：设截取

n

位有效数字后得x*

x，则估计x

和y

的相对误差上限满足近似关系不知道怎么办啊？x

可能是20.#，也可能是19.#，取最坏情况，即a1=1。n4例：计算，取4

位有效，即,则相对误差数值计算中需注意的问题避免相近两数相减防止大数“吃掉“小数引起失真避免大数除以小数计算复杂性本章小结

误差在数值计算中是不可避免的，误差的传播和积累直接影响到计算结果的精度。在研究算法的同时，必须注重误差分析，使建立起来的算法科学有效。按照误差产生的来源可分为模型误差、观测误差，截断误差、和舍入误差等。误差的表示

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