第3章 刚体的定轴转动大物讲稿

本章题头LwIw与刚体的刚体的定轴转动定轴转动

第三章rigidbodyrotationwithafixedaxis

chapter3本章内容本章内容Contentschapter3运动学刚体的定轴转动机械能守恒定律角动量守恒定律kinematicsrotationofrigid-bodywithafixedaxisprincipleofconservationofmechanicalenergylawofconservationofangularmomentum刚体力学习题练习7～9其中练习7.T三.1；练习8.T三.2→填空第1节运动学

kinematics运动学3-1ssssrotationofrigidbodywithafixedaxis刚体的定轴转动刚体的定轴转动

刚体：形状固定的质点系（含无数质点、不形变、理想固体。）平动刚体任意两点的连线保持方向不变。各点的相同，可当作质点处理。rrva定轴转动刚体每点绕同一轴线作圆周运动，且转轴空间位置及方向不变。平面运动

刚体质心限制在一平面内，转轴可平动，但始终垂直于该平面且通过质心定点运动

刚体上各质点都以某一定点为球心的各个球面上运动。一般运动

复杂的运动与平动的混合。定轴转动参量刚体转轴1.角位置q转动平面（包含p并与转轴垂直）(t)pp(t+△t)qrqrqqrp参考方向Xpp刚体中任一点p刚体定轴转动的运动方程qq()t2.角位移qrrt0rqdq3.角速度wwtdqwdw0w常量静止匀角速()tww变角速4.角加速度btddwb变角加速b()tb常量b匀角加速b0匀角速,wdq转动方向用矢量表示或时，它们与刚体的转动方向采用右螺旋定则wdq描述刚体定轴转动的物理量描述刚体定轴转动的物理量转动方程求导例题单位：qrqdqrad,w-1rads,b-2rads例已知求()tqp+05t21p+pt2w()tb()trad)(

50p

51p

52p

53pw1rads0213tsqrad100p150p03st

50pp12b2rads0213tsp解法提要tdqwd05p+ptw()ttddwb-1rads()b()tp-2rads(),,匀变角速定轴转动积分求转动方程例已知求w()t()tq任意时刻的b()tkk0恒量且

t

=0时w0wq0q()ttddwb,tddwbwwbw0dw0ttdk0ttd得解法提要t+w0kdqwtd,dqwtd)(t+w0ktd0tdqqq0)(t+w0ktd得qrqq0t+w0kt212或()tqq0+t+w0kt212匀变角速定轴转动的角位移方程匀变角速定轴转动的运动方程线量与角量的关系例bw定轴转动刚体在某时刻t

的瞬时角速度为，瞬时角加速度为，已知求刚体中一质点P至转轴的距离为r质点P

的大小rPPrOOw瞬时线速度v瞬时切向加速度atna瞬时法向加速度()batdtdvdtdrwrvdstdqdrtdwrnavr2(wr)2rrw2这是定轴转动中线量与角量的基本关系qdqddsds解法提要dsqdr公式对比质点直线运动或刚体平动刚体的定轴转动速度角速度加速度角加速度位移角位移vrx1t2x()tx()r1t2()t()qqqwddtwddtqabddtvddt匀速直线运动ssvt匀角速定轴转动qwt匀变速直线运动匀变角速定轴转动s021+vt2atqw0+t21b2t2vv022asw2w022bqvv0+atww0+bt第2节刚体的定轴转动

rotationofrigid-bodywithafixedaxis刚体的定轴转动3-2ssss刚体转动定律引言刚体的转动定律刚体的转动定律质点的运动定律或刚体平动F

=

m

a惯性质量合外力合加速度若刚体作定轴转动，服从怎样的运动定律？主要概念使刚体产生转动效果的合外力矩刚体的转动定律刚体的转动惯量合外力矩外力在转动平面上对转轴的力矩使刚体发生转动M

=

r

×

F111力矩切向1FtFrM叉乘右螺旋1M2MM

=

r

×

F222M

=

r

F

sinj222大小2r2=2Ftd2=2F1M2M合外力矩=M+d22F大小M=d11F=r22Ftr11Ftr1=1FtM

=

r

F

sinj111大小1d1=1Fj1d1r1F1P1OF2r22FtP2j2d2切向一、外力矩与合外力矩方向转动定律某质元rmirmifi受内力受外力FiFi+f=rmirmiaii其法向n分量均通过转轴，不产生转动力矩。t其切向投影式为ijFisin+ifsinqit=rmirmiai=rmirmiribtnrmirmiFiOrifiijqi瞬时角速度w角加速度瞬时b等式两边乘以ri并对所有质元及其所受力矩求和=内力矩成对抵消=0+riifsinqi∑iFijsin∑ri合外力矩Mbrrmirmii∑2()得Mbrrmirmii∑2()=二、刚体的转动定律转动惯量某质元rmirmifi受内力受外力FiFi+f=rmirmiaii其法向n分量均通过转轴，不产生转动力矩。t其切向投影式为ijFisin+ifsinqit=rmirmiai=rmirmiribtnrmirmiFiOrifiijqi瞬时角速度w角加速度瞬时b等式两边乘以ri并对所有质元及其所受力矩求和=内力矩成对抵消=0+riifsinqi∑iFijsin∑ri合外力矩Mbrrmirmii∑2()得Mbrrmirmii∑2()=二、刚体的转动定律Mbrrmirmii∑2()=与刚体性质及质量分布有关的物理量，用表示称为转动惯量IbIM刚体的转动定律即bMIMI刚体所获得的角加速度

的大小与刚体受到的

b合外力矩的大小成正比，与刚体的转动惯量成反比。转动惯量的计算转动惯量及其计算Mb=I将刚体转动定律与质点运动定律F=am对比转动惯量是刚体转动惯性的量度II∑rmiriri2

与刚体的质量、形状、大小及质量对转轴的分布情况有关质量连续分布的刚体用积分求Ir为体积元

dV处的密度rVdVrmdIr2m2I的单位为m2kg分立质点的算例转动惯量的计算举例可视为分立质点结构的刚体m12m转轴Or1r2

若连接两小球（视为质点）的轻细硬杆的质量可以忽略，则Irmiriri2∑m1r12+2mr22转轴O2mm1601l2lIrmiriri2∑+2mm121l(sin60)2(sin60)2l0.75(m11l2+2m2l2)直棒算例质量连续分布的刚体匀直细杆对中垂轴的ILmOdmrdrI2rdmL2L22rmLdr3mL1r3L2L2211mL2匀直细杆对端垂轴的ILmOdmrdrI2rdmL2rmLdr0mL31r3L031mL22IOIC+mrmCO质心新轴质心轴r,L平行移轴定理对新轴的转动惯量IO对质心轴的转动惯量ICr新轴对心轴的平移量例如：rL2时代入可得I端31mL2常用结果LRmm匀质薄圆盘匀质细直棒转轴通过中心垂直盘面22I=m

R123I=m

L1转轴通过端点与棒垂直其它典型RRRR12RRLba匀质矩形薄板转轴通过中心垂直板面I

=(a

+

b)22m12匀质细圆环转轴通过中心垂直环面I

=

m

R

2匀质细圆环转轴沿着环的直径2I

=2m

R匀质厚圆筒转轴沿几何轴I

=(R1

+

R2

)22m2匀质圆柱体转轴通过中心垂直于几何轴mI

=

R

+

22m124L匀质薄球壳转轴通过球心2I

=2m

R3转动定律例题一三、转动定律应用选例bIM合外力矩应由各分力矩进行合成。合外力矩与合角加速度方向一致。bM在定轴转动中，可先设一个正轴向（或绕向），若分力矩与此向相同则为正，反之为复。MMb与时刻对应，何时何时b则何时，M00b则何时M恒定恒定。例

匀直细杆一端为轴水平静止释放OLm,qmgMmgL21qcos,m2I31LbMI23Lgqcos2pq,q0,bMmgL21,23LgM0,b0转动定律例题三例Rm1m细绳缠绕轮缘Rm（A）（B）恒力F滑轮角加速度b细绳线加速度a求解法提要（A）bMIFR21mR22FmRabR2Fm（B）bIRT21mR2bam1gTm1m1Rbbm121mm1+()RgabRm121mm1+()g转动定律例题四Rm1m2m例已知m=5kgm2=1kgm1=3kgR=0.1mT2T1T1T2G1G2baa解法提要对m1m2m分别应用和质点运动和刚体转动定律m1

g–T1=

m1aT2–

m2

g=

m2a(

T1

–

T2)

R=Ib及a=RbI=mR221得b

=(m1-m2)gR(m1+m2+m2)常量qdqt00dtw(m1-m2)gR(m1+m2+m2)0ttdtwtb故tdqdwqdwtd由,qt(m1-m2)gR(m1+m2+m2)222

(rad)gt求()tqq物体从静止开始运动时，滑轮的转动方程转动定律例题五例已知qqmB()A()LmLL2LOOq从等倾角处静止释放两匀直细杆地面求两者瞬时角加速度之比bb解法提要MbIbbMIMI213singmLq1mLsingmLq1mL32122根据1L1LLL2短杆的角加速度大且与匀质直杆的质量无关练习8T三1.2、刚体转动定律1、解：质点B：设绳的张力为T2，质点A：设绳的张力为T1，则由牛顿定律：m1T1m1ga则水平方向上m2Nm2gT2加速度为a，练习8滑轮：设物体A、B对系统的反作用力分别为，由转动定律（设角加速度垂直纸面向下为正）由于绳和滑轮无滑动，则联立上述方程，得：由圆盘代入上式得：mmAB2rr2、解：分析受力如图：mgmgT1T2a2a1设A的加速度为a1方向向下；B的加速度为a2方向向上；滑块的加速度为β方向垂直纸面向外。质点A：质点B：两个圆盘粘在一起，视作一个刚体，其转动惯量为由转动定律列方程：由牛顿第三定律：由角量与线量的关系：解以上方程组得：第3节机械能守恒定律

rotationofrigid-bodywithafixedaxis机械能守恒定律3-3ssss含平动的转动问题功能原理

+rE机械A外A非保守内力(E动+)E势(E动+)E势00()E平动+E转动()E+E00平动转动wOviviririrmirmi∑刚体中任一质元的速率rmirmiviviririw该质元的动能Erik21rmivi221rmiririw22对所有质元的动能求和EkErik21rmiriri2w2()∑转动惯量

IEk21Iw2得刚体转动动能公式转动动能动能定理例题二解法提要外力作的总功gmA02pL2qdcosq从水平摆至垂直由Aw212I0w212I得w2AI代入得wgmL2LmI231本题gL3利用vrw的关系还可算出此时杆上各点的线速度已知例水平位置静止释放求摆至垂直位置时杆的wGqw00wgmO？Lm,()匀直细杆一端为轴第4节角动量守恒定律

lawofconservationofangularmomentum角动量守恒定律3-4ssss刚体的角动量定理刚体的角动量定理角动量定理角动量定理微分形式积分形式0ttdLMdtL0LLL0ddtLrFM定轴转动刚体的角动量

所有质点都以其垂轴距离为半径作圆周运动任一质元（视为质点）的质量mri其角动量大小Limriviriw2mririvimriOriwviriw全部质元的总角动量L∑Liw∑2mriri()wI对质量连续分布的刚体L∑LiwwIm2r()d定轴转动刚体的角动量是无数质点对公共转轴的角动量的叠加LwI定轴转动刚体的角动量大小方向L与同绕向wLw或与沿轴同指向角动量刚体的角动量守恒定律刚体的角动量守恒定律角动量守恒定律刚体的角动量定理由MLtdd所受合外力矩M0若则Ltdd0即LIw常矢量

当刚体所受的合外力矩等于零时，MIw

刚体的角动量保持不变。刚体的角动量守恒定律角动量守恒的另一类现象角动量守恒的另一类现象变小则Iw变大，乘积保持不变Iw变大则Iw变小收臂大小Iw

用外力矩启动转盘后撤除外力矩张臂I大小w花样滑冰中常见的例子角动量守恒的另一类现象变小则Iw变大，乘积保持不变，Iw变大则Iw变小。收臂大小Iw

用外力矩启动转盘后撤除外力矩张臂I大小w花样滑冰收臂大小Iw张臂Iw大小先使自己转动起来收臂大小Iw共轴系统的角动量守恒共轴系统若0IMwS外则LSi恒矢量Sii轮、转台与人系统I轮I人台初态全静LSi初0人沿某一转向拨动轮子w轮末态w人台I轮w轮LSi末+I人台w人台LSi初0得I人台w人台I轮w轮导致人台反向转动直升飞机防旋措施直升飞机防止机身旋动的措施用两个对转的顶浆（支奴干CH47)165用尾浆（美洲豹SA300）（海豚Ⅱ）练习9T三1.2、转动的功与能刚体的角动量弹簧原长1、解：棒转到水平位置时弹簧伸长量棒下摆过程中，系统机械能守恒且：解得：重力势能零点在哪儿？2、解：dmdxx薄板对轴的转动惯量为：式中dm是宽度为dx的一条细棒的质量。小球碰撞后速度方向不变，大小变为v。则碰撞中角动量守恒：碰撞前后系机械能守恒：解以上方程组得：x*讨论：当3m>M，v>0小球碰后继续向前；当3m<M，v<0小球碰后方向改变；当3m=M，v=0小球碰后静止。刚体力学习题刚体力学习题练习7～9下次交圆盘算例匀质薄圆盘对心垂轴的I取半径为微宽为的窄环带的质量为质元rdrdm2dmmpR2pdrr2mRdr2rOrdrRmdmdm3I2rdm0R2r2mRdr2r2mRdr20Rr2mR24r40R21R2m球体算例匀质实心球对心轴的ImORrryyddmdm2rR2y2rRp343m可看成是许多半径不同的共轴薄圆盘的转动惯量的迭加Id距为、半径为、微厚为Oyydr的薄圆盘的转动惯量为dmrdVpr2ryd2rdmId21其中IId212rpr2ryd21prr4ydRR2y2()yd221prR158prR5225mR()转动定律例题二例已知求T1T2a（以后各例同）Rm1m2m轮轴无摩擦轻绳不伸长轮绳不打滑解法提要T2T1G1G2T2T1aabT1–m1

g=

m1am2

g–

T2=

m2a(

T2

–

T1)

R=Iba=RbI=mR22转动平动线-角联立解得a=m1m1+m2+

gm2m21gT1=m1(g+a)T2=m2(g–a)m1gm