第6章常微分方程单元自测题

1、基本概念：微分方程，方程的阶，线性微分方程，方程的解，通解，特解2、可分离变量方程或分离变量方程的通解为各求各的积分代入方程，求出再将进行加代即可。3、齐次微分方程令，则4、一阶齐次线性微分方程通解为5、一阶非齐次线性微分方程通解为即6、二阶线性微分方程解的结构（1）（2）定理若

是(2)的两个线性无关的特解，则是(2)的通解。定理设

是(1)的一个特解，

是(2)的通解，则是(1)的通解。定理

若（1）

是的一个特解（2）

是的一个特解则是的一个特解特解的叠加原理7、二阶常系数齐次线性微分方程为常数求通解的步骤：写出特征方程：求出特征根：写出通解：（1）若为实根，则（2）若，则（3）若，则8、二阶常系数非齐次线性微分方程为常数类型I：次多项式特解：其中8、二阶常系数齐次线性微分方程求通解的步骤：写特征方程：求特征根：写出齐次通解。写齐次方程：求特解：设，代入原方程。一、填空题1.微分方程

的通解为

。分析解得可分离变量方程：方程可变形为两边积分其中是任意常数。2.微分方程

满足初始条件分析其中可分离变量方程：方程可变形为两边积分的特解为2.微分方程

满足初始条件分析其中可分离变量方程：方程可变形为两边积分的特解为2.微分方程

满足初始条件分析所以，通解为可分离变量方程：方程可变形为两边积分的特解为其中是任意常数。2.微分方程

满足初始条件分析通解为的特解为将代入：即，解得所以，特解为：3.微分方程

的通解为分析其中是任意常数。二阶常系数齐次线性微分方程：特征方程为解得特征根所以，方程的通解为二、选择题1．下列微分方程中，通解为的微分方程是（

B

）。（A）;（B）（C）;（D）分析（A）特征方程为解得特征根（B）特征方程为解得特征根二、选择题1．下列微分方程中，通解为的微分方程是（

B

）。（A）;（B）（C）;（D）分析（C）特征方程为解得特征根（D）特征方程为解得特征根2．微分方程

的特解形式（其中为常数）为(A)。（A）;（B）（C）;（D）分析特征方程为解得特征根二阶常系数非齐次线性微分方程：类型I所以，特解为3．微分方程

的特解形式（其中为常数）为(B)。（A）

；

（B）（C）

；

（D）分析特征方程为解得特征根二阶常系数非齐次线性微分方程：(1)：特解为(2)：特解为所以，原方程特解为解1.三、求下列微分方程的通解：可分离变量方程解得方程可变形为两边积分其中是任意常数。解2.令则代入方程得齐次方程即解得方程可变形为两边积分：其中是任意常数。将代入得：解3.方程可变形为其中是任意常数。一阶非齐次线性微分方程直接用公式：解3.（1）当时，（2）当时，解4.二阶常系数非齐次线性微分方程：类型I方程对应的齐次方程为特征方程为解得特征根所以，齐次方程的通解为设是非齐次方程的特解，则解4.二阶常系数非齐次线性微分方程：类型I代入非齐次方程得整理得比较系数得所以，从而，非齐次方程的通解为解1.已知曲线

经过原点，且在原点处的切线与四、应用题：（1）解：直线平行，而

满足微分方程求该曲线的方程。二阶常系数齐次线性微分方程特征方程为解得特征根所以，方程的通解为解1.已知曲线

经过原点，且在原点处的切线与四、应用题：（2）求特解：由题意知，直线平行，而

满足微分方程求该曲线的方程。所以