第6讲 群的同态

在平面几何学中,有两个非常熟悉的概念:全等三角形和相似三角形.

请问:这两个概念的思想是什么?全等三角形具有完全相同的几何性质和数量关系;相似三角形具有相似的几何性质和数量关系.问题:比较的实质是什么?如何用数学语言来描述?比较的实质就是在两个事物之间建立一个对应,若能使相互对应的元素具有相同或相似的属性,就可以说这两个事物是一样的或相似的.通过比较进行分类第6讲群的同态1/31/20231定义

设f是群G到群H的一个映射,如果

a,b∈G,f(ab)=f(a)f(b)[保持运算]则称f是Ｇ到Ｈ的一个同态（映射）．当是满射时，则称f是满同态，记G～H；当是单射时，则称f是单同态；当是双射时，则称f是同构，记G≌H;当G=H时，则称f是G的自同态；何谓自同构？1/31/20232命题1.3.3

若f是群Ｇ到群Ｈ的一个同态,则

f(eG)=eH,f(a－1)=f(

a)－1。证明:

a∈G,f(a)=f(eGa)=f(eG)f(a),等式两端右f(a)的逆得f(eG)=eH.

f(a－1)f(

a)=f(a－1

a)=f(eG)=eH,故f(a－1)=f(

a)－1。■1/31/20233命题1.3.4(同态核)ker(f)={a∈G：f(a)=eH}G。证明:a,b∈ker(f),f(a)=eH,f(b)=eH,于是,f(ab)=f(a)f(b)=eHab∈ker(f).由命题1.3.2得f(a－1)=f(

a)－1=eH－1=eH。因而a－1∈ker(f),根据判定定理知ker(f)G。■1/31/20234命题1.3.5(同态像)Im(f)=f(G)={f(a):a∈G}H.证明:a,b∈Im(f),有x,y∈G使f(x)=a,f(y)=b,于是

ab=f(x)f(y)=f(xy)∈Im(f).

a－1=f(x)－1=f(x

－1)∈Im(f).根据判定定理知Im(f)G。■1/31/20235Cayley定理

每个抽象群必与某个变换群同构．证明：设Ｇ是任一群．１、构造变换群g∈G,令Ig:GG,Ig(x)=gx,则Ig∈SG.Ig是满射:每个x∈G在Ig下都有原像g-1x;Ig是单射:若Ig(x)=Ig(y),即gx＝gy，由消去律得x＝y．令H={Ig:g∈G}，则Ｈ是SG的子群。根据命题1.3.5,其证明蕴涵于下面的证明.1/31/202362、验证同构映射f:GＳG,f(g)=

Ig.g,h∈G,x∈G,Igh(x)=gh(x)=g(h(x))=Ig(Ih(x))=(IgIh)(x).故Igh=IgIh,即f(gh)=f(g)f(h).f是同态映射.若

f(h)=f(g),即Ih=Ig,于是,Ih(e)=Ig(e)h=g.所以,f是单射,G与f(G)=H同构.

■1/31/20237注:两个同构的群具有完全一样的运算性质,其代数结构也完全一样.代数学中主要是研究运算的一般性质,而对承载运算的集合是不注意的.同构的群作为代数运算系统被看作是一样的.

Cayley定理告诉我们:第一,只需要研究变换群就可以了;第二,每个抽象群都有具体的模型.1/31/20238例.

域Ｆ上的N维向量空间Ｖ上的全体可逆线性变换之集GLn(V)关于变换的合成运算构成一个群,且与GLn(F)同构.因为,两个可逆线性变换的合成还是可逆线性变换,且可逆线性变换的逆变换还是可逆线性变换,即,∈GLn(V)有

∈GLn(V),且-1∈GLn(V),所以,GLn(V)是SV的子群,因而是群.给定V的一个基X,∈GLn(V),记关于基X的矩阵为f(),在高等代数中已经证明,f是群GLn(V)到群GLn(F)的双射,且保持运算.■1/31/20239例.对数函数