第5章-空间力系与重心

第5章空间力系与重心（时间：2次课，4学时）第5章空间力系与重心教学目标工程中常见物体所受各力的作用线并不都是在同一平面内,而是空间分布的,如发动机变速箱,机床主轴等结构。设计这些结构时，需要进行结构的空间受力分析，本章主要研究空间力系的平衡问题及其应用。空间力系中，按照力作用线的相对分布位置，又可以分为空间汇交力系、空间力偶系、空间平行力系和空间一般力系。而前面讨论的平面力系也可以看作是空间力系的特殊情况。通过本章的学习，要求读者了解空间力系的投影计算方法，空间力对轴之矩的概念和空间力系平衡分析计算。第5章空间力系与重心教学重点和难点：计算空间力系在直角坐标轴上的投影方法，二次投影法的应用；空间力对轴之矩的概念和将空间力系问题转化为平面力系问题的分析方法和过程；空间力系平衡分析空间力系平衡问题分解成为三个平面的平面力系问题的求解；平行力系中心、图形的形心和物体的重心等概念及其在实际中的应用。第5章空间力系与重心5.1力在空间直角坐标系中的投影5.2力对轴的矩5.3空间力系的平衡5.4物体的重心5.5实训与练习5.1力在空间直角坐标系中的投影5.1.1力在空间直角坐标轴上的投影5.1.2合力投影定理5.1力在空间直角坐标系中的投影前面几个章节中，我们讨论的力系中的力作用线都是位于同一个平面内，即平面力系问题。在工程中，经常有物体所受到的各力的作用线不在同一平面内，而是空间分布的情况，如图5.1所示。这些力系既为空间力系。5.1力在空间直角坐标系中的投影图5.1工程中空间力系实例

5.1.1力在空间直角坐标轴上的投影5.1.1力在空间直角坐标轴上的投影5.1.1力在空间直角坐标轴上的投影5.1.1力在空间直角坐标轴上的投影5.1.2合力投影定理

5.1.2合力投影定理

5.2力对轴的矩5.2.1力对轴的矩的概念5.2.2合力矩定理5.2力对轴的矩在第3章中已经建立了平面力系中力对点的矩的概念,实际上平面力系中力对点的矩是空间力系中力对通过矩心并垂直与转动平面的轴的矩。在工程实践和日常生活中，常遇到刚体在力的作用下绕固定轴转动的情形。

5.2.1力对轴的矩的概念

们用力对轴的矩来度量力使刚体绕轴转动的效应。以开关门为例，讨论力对轴的矩。如图5.5(a)所示的关门动作。门的一边是转轴z，现在A点作用一力F。为度量力F对门的转动效应，可将力F分解为两个互相垂直的分力：一个是与z轴平行的分力Fz=Fsinα

；另一个是与z轴垂直的并过A点的P平面上的分力Fxy=Fcosα

。由日常经验可知，Fz是不能使门绕z轴转动的，因此只有分力Fxy才对门产生绕z轴的转动作用。我们取P平面来做进一步研究，如图5.5(b)所示。如以d表示z轴与P平面的交点O到分力Fxy作用线的垂直距离，则Fxy对O点的矩，就代表了力F对门产生绕转轴z转动效应的度量，记作：（5-8）式（5-8）表明：力对轴之矩的大小等于力在与该轴垂直的平面上的投影对该轴与该平面交点的矩。力对轴的矩是代数量。力对轴的矩的正负号表示为力对刚体绕轴的转动方向，规定为：当从轴的正向看去，逆时针方向转动为正，顺时针方向转动为负。也可以用右手螺旋法则，即用右手的四指表示力绕轴的转向，如果拇指的指向与z轴一致，力矩为正，反之为负。如图5.6所示。5.2.1力对轴的矩的概念

图5.5力对轴之矩

5.2.1力对轴的矩的概念

图5.6空间力对轴的矩方向的规定

5.2.2合力矩定理

5.2.2合力矩定理

5.2.2合力矩定理

图5.7求拐轴中力F对坐标轴的矩

5.3空间力系的平衡5.3.1空间力系的平衡方程5.3.2空间力系平衡方程式的应用5.3.3空间力系平衡应用举例5.3空间力系的平衡一个空间任意力系F1，F2，…，Fn作用在物体上，若这个物体不平衡，则力系可能使物体产生沿x、y、z轴方向的移动，和使物体绕x、y、z三个轴的转动；若物体沿x、y、z轴方向不会移动，同时物体也不会绕x、y、z三个轴的转动则物体处于平衡状态。作用在处于平衡状态物体上的力系的合力R为零,合力R对x、y、z三个轴的矩为零。

5.3.1空间力系的平衡方程作用在处于平衡状态物体上的力系的合力R为零既是力系中的各力在坐标轴上的投影代数和为零；当物体绕某轴的转动状态不发生变化，同样力系中的各力对该轴的矩代数和也为零。由此可见，空间任意力系使物体平衡的必要和充分条件是：力系中的各力在三个坐标轴上投影的代数和以及各力对三个坐标轴的矩的代数和都必须同时为零。即：（5-12）5-12）称为空间任意力系的平衡方程。利用该六个独立的方程式，可以求解六个未知力。空间问题中，物体的约束分析要按照空间的力作用方式进行分析。

5.3.2空间力系平衡方程式的应用

5.3.3空间力系平衡应用举例

例5-4如图5.8(a)所示空间支架固定在相互垂直的墙上。支架由垂直于两墙面的光滑铰接杆OA、OB和OC组成，其中OA和OB位于同一水平面内。已知α=30˚，φ=60˚，在三杆汇交点O处挂一重为G=1.2KN的重物。若不计各杆自重，试求三杆的受力。5.3.3空间力系平衡应用举例图5.8空间支架

5.3.3空间力系平衡应用举例

例5-6起重绞车的鼓轮轴如图5.10所示。已知：G=10KN，b=c=30cm，a=20cm，齿轮的半径R=20cm。在最高点E处受Fn的作用，Fn与齿轮的分度圆切线夹角为α=20˚，鼓轮半径r=10cm，A、B两端为向心球轴承。试求齿轮的作用力Fn以及两端轴承对轴的约束反力。5.3.3空间力系平衡应用举例

图5.10起重绞车

5.4物体的重心5.4.1空间平行力系中心5.4.2物体的重心5.4物体的重心物体的重心在工程实践中具有重要的意义，如重心的位置会影响物体的平衡和稳定。如高速转动的转子，如转轴不通过重心，将会引起强烈的振动，甚至会引起破坏。5.4.1空间平行力系中心

1.空间平行力系中心概念在前面我们知道，所谓空间平行力系是指力系中各力的作用线是相互平行的力系。如果空间平行力系可以合成一个合力的话，这个合力的作用点就是空间平行力系的中心。5.4.1空间平行力系中心

5.4.1空间平行力系中心

5.4.1空间平行力系中心

图5.11空间平行力系

5.4.1空间平行力系中心

图5.12物体的重心

5.4.2物体的重心

5.4.2物体的重心

5.4.2物体的重心

5.4.2物体的重心

5.4.2物体的重心

图5.13平面图形的形心

5.4.2物体的重心

5.4.2物体的重心

由此可见，对于等厚度均质平板（平面图形），其重心位置仅与平板的平面图形的形状和尺寸有关。Sx和Sy分别称为平面图形对x轴和y轴的“面积矩”或“静矩”。其量纲为[长度]3。单位为mm3或m3。静矩和形心位置的概念和计算，将会在材料力学中涉及到。关于静矩和形心，还应注意以下几点：①根据式（5-20）静矩的定义，同一图形对于不同的坐标轴，静矩各不相同。静矩可能为正、为负或为零。②由式（5-21）可知，若坐标轴通过形心，则图形对该轴的静矩等于零。或者，若图形对于某轴的静矩等于零，则该轴必通过图形的形心。5.4.2物体的重心

2.求平面图形形心的方法(1)对称法凡是具有对称面、对称轴或对称中心的均质物体，它们的形心位置必在对称面、对称轴或对称中心上。如图5-15所示，工程中常用的几种钢材的截面形状，其形心位置都在它们的对称轴上。(2)查表法对于常用的一些简单图形截面的形心和均质物体的重心位置，可从工程手册中查得。现将几种常用的简单形体的形心位置列于表（5-2）。(3)组合法对于比较复杂形状或由若干简单形状组合而成的形体，可将它们分解成几个简单的形体，若这些简单形体的形心可通过查表得到，则整个形体的形心位置可用式（5-18）或式（5-21）求出。例5-8图5.16为Z形钢的截面，求该Z截面的形心位置。5.4.2物体的重心

图5.14常用型钢的截面形状

5.4.2物体的重心

图5.15Z形钢截面5.4.2物体的重心

5.5实训与练习实训与练习目的掌握空间力系的合成方法掌握空间力对轴的矩的计算与合力矩的计算掌握空间力系的平衡方程及平衡方程的具体应用掌握物体重心的计算方法5.5实训与练习实训内容空间力系的平衡问题，也可以转化为平面力系问题来进行求解。工程中把空间物体的结构及受力图如同工程制图中处理线、面和形体投影一样，将其化为三个坐标平面进行求解，这样就得到Oxy、Ozy、Oxz三个平面力系。分别列出三个投影面上力的平衡方程进行求解，同样得到所要求解的结果。这种将空间力系转化为平面问题来求解的方法，称作“空间问题的平面解法”。5.5实训与练习要求：1.利用空间问题的平面解法将例题5-6中的图5.10所示的鼓轮及受力分别向三个坐标平面投影2.根据三个投影面的受力图，分别列出平面平衡方程并求解3.所求结果与例5-6中使用的方法所求结果相比较4.说明空间力系转化为三个平面力系后，可列出九个平衡方程，为什么仍只能解决六个未知量

5.5实训与练习思考内容1.若：（1）空间力系中各力的作用线平行于某个固定平面；（2）空间力系中各力的作用线分别汇交于两个固定点，试分析这两种力系各有几个独立的平衡方程。2.力对轴之矩如何计算？怎样决定其正负？在什么情况下力对轴的矩等于零？3.