第8章虚位移原理

8.1位形、约束方程及约束分类8.1.1质点系的位形8.1.2约束方程8.1.3约束的分类8.2实位移和虚位移8.2.1实位移8.2.2虚位移8.2.3刚体的虚位移和刚体上点的虚位移8.3力的功8.3.1元功和有限功8.3.2功的计算8.4虚位移原理8.5通过广义力研究质点系的平衡问题8.5.1广义力及其相应的平衡条件8.5.2在有势力场重质点系的平衡条件和平衡的稳定性问题作业8.38.4

8.7

8.118.128.158.168.218.23第8章虚位移原理8学时不要求只要求单自由度虚位移关系有限功虚功方程1第8章虚位移原理矢量力学在牛顿力学中所讨论的许多力学概念，如矢径、速度、加速度、角速度、角加速度、力和力偶矩等物理量都是以矢量形式出现的，因此称牛顿力学为矢量力学。分析力学18世纪开始出现了另一种力学体系，引进标量形式的物理量，如广义坐标、能量、功等，用纯分析的方法来处理力学问题，称为分析力学。本章主要内容研究分析力学中的静力学部分（分析动力学将在23章介绍）。2静力学的研究方法与缺点(1)以刚体为研究对象，从力的观点出发，得出了作用在刚体上的主动力系和约束力系平衡的充要条件。(2)对于由多个刚体组成的刚体系统，这个条件只是必要条件。(3)在求解刚体系统的平衡问题中，常需取分离体为研究对象，并要列写足够的平衡方程。(4)由于方程中常有一些中间未知量，因此求解过程变得比较繁琐。虚位移原理虚位移原理是分析静力学的基本原理。以一般质点系为研究对象，从虚功的观点出发，直接给出了质点系平衡时作用于其上的主动力之间应满足的充要条件。由于研究对象中的多数约束力不作虚功，所以表示虚位移原理的方程中不出现这些约束力，从而使很多问题的求解变得较为简单。在介绍虚位移原理之前，需要先了解约束方程、虚位移、虚功等基本概念。3第8章虚位移原理§8.1位形约束方程约束分类8.1.1质点系的位形位形质点在空间的位置可由其直角坐标确定。由n个质点所组成的质点系，可用每个质点的直角坐标确定该质点系全部质点的位置，称这3n个坐标的集合为该质点系的位形。很多时候，人们仍然习惯地称为位置，实际是指这里所严格定义的位形。位形概念是质点位置概念在质点系中的扩展。自由度位形空间(1)系统的自由度描述系统位形的坐标选取方法多种多样，然而独立坐标的个数是不变的，这个不变数为系统的自由度。例如：4由n个质点组成的非自由质点系，其自由度k<3n，所以描述质点系位形的3n个直角坐标彼此间不完全独立，存在某些关系，因此常取广义坐标来确定质点系的位形。如果把这k个参量看作是k维空间中某点的坐标，则称这个k维空间为位形空间。质点系在任意时刻的位形与其位形空间的某个点一一对应。(2)位形空间8.1.2约束方程约束方程则这些坐标之间存在某些约束关系，这些约束关系的数学表达式称为约束方程。分析力学主要用数学分析的手段研究非自由质点系的机械运动规律，因此，首先需要用某种描述坐标表示系统的位形，若举例说明5则该系统的约束方程为该系统的自由度刚杆如图所示取，为广义坐标，则系统位形可由，确定。系统直角坐标与广义坐标的关系为举例1双侧约束完整约束定常约束等号只限制位置不限制速度不含有时间变量6举例2将A，B间的刚杆用柔绳代替，绳且绳长可随时间变化则该系统的约束方程为举例3如图所示满足的约束方程为（为点D的初始位置）(不含时间t)(含时间t)小车的v=const，套筒M沿竖直杆平动确定套筒上的点单侧约束完整约束双侧约束完整约束非定常约束非定常约束78.1.3约束的分类1.双侧约束单侧约束双侧约束约束方程以等式形式出现的约束称为双侧约束。单侧约束约束方程以不等式表示的约束称为单侧约束。式(8.3)所表示的约束即为单侧约束。几何约束运动约束仅限制物体在空间位置的约束称为几何约束。既限制物体在空间位置又限制其运动速度的约束称为运动约束。8只限制质点系中各质点的位置而不限制其速度，即约束方程中不包含坐标对时间的一阶导数，这种约束称为完整约束。方程(8.1)、(8.2)、(8.3)均为完整约束。方程(8.4)虽然表现为对运动速度的限制，但通过积分可以转变为对位置的约束，这类约束也属于完整约束。完整约束的最终一般形式为或2.完整的约束非完整约束完整约束完整约束包含几何约束和运动约束（积分后无时间的一阶导数）。式中为第i个质点的位置矢径；为质点系中各质点的直角坐标，共有n个质点；为独立的约束方程个数。9约束方程中包含坐标对时间的导数，且不可能积分成有限形式，这种约束称为非完整约束。一阶非完整约束方程的一般形式为或非完整约束（h为独立的约束方程个数）非自由质点系统位形的最小独立坐标数（广义坐标数）由n个质点组成的非自由质点系，若受到的约束为并且这些约束方程是相互独立的，则描述该系统位形的最小的独立坐标（广义坐标）数为（l为完整约束独立的约束方程个数）（h为非完整约束独立的约束方程个数）10而系统的自由度为显然，仅当系统的全部约束为完整约束时，广义坐标数才等于系统的自由度。非自由质点系统的位形，若用广义坐标确定，这时每个质点的位置矢径或直角坐标可表示为或3.定常约束非定常约束定常约束约束方程的最终形式不显含时间t的约束称为定常约束。方程(8.1)、(8.2)属于定常约束。非定常约束约束方程显含时间t的约束称为非定常约束。方程(8.3)、(8.4)属于非定常约束。在分析静力学中仅涉及完整、双侧、定常类型的约束方程。11§8.2实位移虚位移8.2.1实位移质点系n个质点，完整约束，自由度数k，选取一组广义坐标则每个质点的位置可用广义坐标唯一确定或用矢径表示点的位置用直角坐标表示点的位置（上述两式的具体函数形式由约束条件决定）对式(8.7a)或(8.7b)求微分得到或式中对于完整约束，k=s12或只与约束方程和质点所处的位置有关。的大小由动力学方程和运动初始条件确定。是广义坐标在时刻t，经过时间dt所产生的增量，显然，由上述两式得到的应满足：(1)约束许可条件；(2)其大小和方向满足运动的初始条件；(3)其大小和方向满足受到的主动力。实位移广义实位移

对于给定的约束条件、运动初始条件和所受到的主动力，有一组唯一的值，这组值真实地反映了质点系中各质点在dt时间内所发生的位移。因此，一般将称为质点系的一组实位移。而将称为质点系的一组广义实位移。138.2.2虚位移虚位移广义虚位移虚速度(1)虚位移(2)广义虚位移(3)虚速度在某一时刻t，各质点在满足约束条件的前提下，假想其位置发生一个无限小的变更，这一变更不是由于主动力的作用、经过一定时间使得质点有了实际运动所发生的位移，而只是满足约束条件的假想的一组微小位移，这种位移称为虚位移。记为虚位移对应的广义坐标所产生的变更称为广义虚位移。记为产生虚位移的速度称为虚速度。（因此，，均满足约束方程）14不同之处：在任一时刻t，质点系中各点虚位移的发生不但不需满足运动初始条件和时间间隔（即），而且与作用在其上的主动力无关；相同之处：它们均要满足约束条件。虚位移与实位移的异同虚位移的表达式或式中的大小无需由动力学方程和运动初始条件确定，是假想的、任取的一组无限小的代数量。仅是约束许可的，与主动力和运动初始条件无关的、不需要时间间隔的、假想的虚位移，在某一时刻质点的虚位移可以有无穷多个。15变分符号与变分运算比较式(8.8a)与(8.9a)可以看出：在非定常、完整约束下，实位移不是虚位移中的一个；在定常、完整约束下，实位移是虚位移中的一个。符号“”为变分符号，进行变分运算，其运算与微分运算相同。称为等时变分。16求虚位移的方法——坐标法由或或这种求虚位移的方法称为坐标法。举例说明：实位移虚位移178.2.3刚体的虚位移刚体上点的虚位移刚体的虚位移刚体是特殊的质点系，在某一瞬时，刚体内每一点的虚位移一定与约束所许可的刚体的可能运动相关。刚体的运动完全可由其相应的广义坐标确定，刚体的可能运动也就可以通过表述刚体整体运动的刚体的虚位移来表示。刚体在某瞬时能满足其约束条件的任意一个假想的、无限小的位移称为刚体的虚位移。刚体上点的虚位移具有确定运动形式（刚体平移、定轴转动和一般平面运动）的刚体虚位移，可以用刚体上任一点的虚位移来表示。(1)平移约束允许刚体作平移，则其虚位移可用其上任一点来表示，取质心C的虚位移为，如图所示。因此，平移刚体上各点的虚位移相等，18任一点的虚位移都等于，即(2)定轴转动(3)一般平面运动约束允许刚体绕某固定轴转动，如图所示。则刚体的虚位移可用绕该固定轴转过的一无限小转角来表示。此时，刚体上任一点的虚位移的大小为式中为点到转轴的垂直距离。的方向如图所示。约束允许刚体作一般平面运动，刚体在任一瞬时的运动状态为瞬时平动，或者为瞬时转动。对于瞬时平动，刚体上任一点M的虚位移与其质心C的虚位移相等，即19方向如图所示对于瞬时转动，刚体的虚位移可用绕此时刚体虚速度瞬心转过的一无限小转角来表示。如图所示。此时刚体上任一点M的虚位移的大小为虚位移的分布规律刚体上各点虚位移的分布规律与此瞬时刚体上各点虚速度分布相同。运动学中所得到的有关速度的结论，在此处也可应用，例如，同一刚体上任意两点A，B的虚位移一定满足虚速度法由于上述求刚体上各点虚位移的方法与刚体运动学中求速度的方法相似，因此，把这种求虚位移的方法称为虚速度法。20在由多个刚体组成的系统中，因约束允许每一刚体的运动形式不同，刚体的虚位移也不同，但是由于系统所受的所有约束都必须得到满足，因而各刚体的虚位移彼此间并不独立。找出各刚体虚位移间的关系，即各虚位移最终能以其中的一个或几个独立虚位移表示，是正确使用虚位移原理的前提条件。多个刚体系统的虚位移（使用虚位移原理的前提条件）：21§8.3力的功8.3.1元功有限功在大学物理中，定义过作用在质点上的力的元功作用在质点上的力的有限功如图所示。注意：这里“”仅为记号，而不是微分符号“”，因为一般情况下元功不能表示为某函数的全微分。实际上，是一个微分1-形式。22(a)利用矢量点积（投影）计算元功在参考空间中建立直角坐标系(1)元功则力的元功为在自然轴系中则力的元功为23若同一质点上作用合力为共点力系合力的元功等于各分力元功的代数和(c)一般力系的元功该力系的总元功为(b)共点力系的元功合力在该点位移上的元功为作用于不同质点的力系其中为力作用点的无限小位移。24(2)实元功虚功有限功在元功计算中，当位移为实位移，所求结果是力在实位移中的元功，称为实元功。实元功虚功力在虚位移中的元功，称为虚功，记作。由于虚位移是在某瞬时，为约束所允许的、假想的无限小位移，因此，虚功也是假想的，无法定义有限虚功。将实元功的各计算式代入式(8.15)便可计算出这些力在有限路径上的有限功。有限功258.3.2功的计算1.内力的功1.内力的功2.常见力的功(1)重力的功(2)弹性力的功3.约束力的功4.作用于刚体上力系的功5.有势力的功与势能关系质点系中任意两质点i，j，设其相互作用的内力，如图所示两个内力的元功之和为（点积形式）令表示是的函数当为排斥力；当为吸引力26有限功结论当质点系中任意两质点间距离恒保持不变时，其内力的元功之和恒为零。当点i，j之间的距离发生改变时，内力，的元功之和不为零；所以，对于变形体，质点间的内力的功一般不为零；对于刚体，内力则不作功。272.常见力的功(1)重力的功质点系的重心在点C（如图所示）建立直角坐标系重力的元功重力的虚功重力的有限功当质心C的轨迹为图中所示曲线，从点A到点B，的有限功可由式(8.15)、(8.24)得到重力的有限功与质心的运动过程（路径、快慢）无关，只与起止位置的高度差有关。令为重心高度的变化值，则重力的功为28当重心下降时，取正值；当重心上升时，取负值。显然重力的功不依赖于坐标系的选取。(2)弹性力的功两质点，由弹簧相连，如图所示系统内力为弹性力，，设弹簧原长为，在任意位置时长为，刚度系数为。在上的投影为则弹簧力的元功为令弹簧的变形量为29弹簧的元功为弹簧的虚功为

设在同一时间间隔内，点从运动到，点从运动到，则弹簧长度从变化到，弹簧的变形量由初始时的，变为末位置时的，弹簧力的有限功为若时，负功303.约束力的功约束力可能是质点系的外力，也可能是质点系的内力，这取决于研究对象的选取。约束力的功本质上与主动力功的计算没有任何差别。由于约束力的大小、方向往往与主动力和运动相关，因此在一般情况下不能事先计算出约束力的功，但是对于大多数质点系，约束力的功的代数和常常等于零。约束力不作功或作功之和为零的情况：31定常完整约束与非定常完整约束情况下，虚功和实元功的关系(1)在定常完整约束下，实位移是虚位移中的一个，因此若约束力的虚功之和为零，则实元功一定也为零。在非定常完整约束下，实位移不是虚位移中的一个，若某约束力的虚功为零，则该约束力的实元功并不一定为零。(2)例如，如图中所示，套筒M受到与小车固连的光滑杆约束，作用在套筒M上的约束力与套筒的虚位移垂直，该约束力对套筒的虚功为零，但是对套筒的实元功却不为零（如图所示）。对于整个系统，小车与套筒间约束力，的实功之和却为零。理想约束如果质点系所受的约束力在任何一组虚位移上所作的虚功之和为零，则称该质点系所受约束为理想约束。式中为系统中质点所受到的约束力。当遇到非理想约束时，可将非理想约束力看作是主动力，这样剩余约束力的虚功之和仍为零。动滑动摩擦力不是理想约束；静滑动摩擦力是理想约束。324.作用于刚体上力系的功刚体作平面运动，如图所示，力系的作用下在Oxy平面内，为力的作用点，则力的元功为力系的元功为33若基点A选为该刚体的速度瞬心P，则其中为力系对点P的主矩在方向上的投影。作用于平面运动刚体上的力系虚功为虚功是瞬时量，而平面运动刚体在某瞬时为瞬时转动（绕速度瞬心的转动）。作用于平面运动刚体上的力系的有限功为作用于平移刚体上的力系的元功、虚功、有限功为(其中为点A运动的路径)34作用于定轴转动刚体上的力系的元功、虚功、有限功为其中为力系对转轴的主矩。力系在有限转角上的有限功为当时，

35*作用于刚体上力系的功*（补充）在质心C上，有一个平动坐标系定轴转动或定点运动而外力系对点C的主矩外力系对点C的主矢36即刚体作平面运动则主矩在z轴方向分量瞬时的微小转角(1)若刚体作平动(2)若刚体作定轴转动*作用于刚体上力系的功*（补充）毕37*力的虚功*（补充）作用在刚体上的力的虚功(1)刚体作平动(2)刚体作定轴转动(3)刚体作平面运动点P为刚体的瞬时虚速度瞬心*力的虚功*（补充）毕385.有势力的功与势能关系力场物体在空间某一区域内的任意位置上受到力系的作用，若这些力的大小和方向仅是位置的单值连续函数，则这种空间称为力场。势力场（保守力场）若这种力的功只与起止位置有关，而与力作用点路径无关，则这种力场称为势力场或保守力场，这种力称为有势力或保守力。有势力的势能在有势力场中，将有势力从空间某一位置运动至任选的参考位置，所作的功称为有势力相对于的势能重力势能：重力是有势力。重力的势能函数为其中z轴方向向上，是物体重心的z坐标，且取为重力势能的零势点。39弹性力势能为

其中是弹簧的变形量，并取弹簧未变形时为弹性势能的零势位。有势力的有限功、元功、虚功：当有势力的作用点由运动到点，其有限功为弹性力势能：弹性力是有势力。有势力的元功有势力的虚功40*有势力*（补充）毕*有势力*（补充）力场（空间）有势力场（保守力场）有势力（保守力）势能：若存在则重力功弹性功若则41§8.4虚位移原理虚位移原理是力学中独立于牛顿定律的另一个基本原理。虚位移原理具有双面理想约束的质点系，在某一位置能继续保持静止平衡的充要条件是：所有作用于质点系的主动力在该位置的任何一组虚位移上所作的虚功之和等于零。虚功方程作用在质点（它相对于空间固定点O的矢径为）上的主动力的合力。其中虚位移原理是分析静力学的基本原理，其正确性无需证明。在虚位移原理中提到静止平衡，其含义为质点系中的每个质点相对惯性空间是静止不动的。如果作用于质点系上的主动力的虚功之和等于零，则质点系仍然保持静止平衡。(1)(2)(3)42虚位移原理的适用范围虚位移原理的适用范围比牛顿静力学中的平衡条件广泛，它可以解决任意质点系的平衡问题。(1)力系的平衡条件仅能解决作用于单个刚体上的力系的平衡问题，对于刚体系统，这种平衡条件仅为必要条件。(2)虚位移原理对平衡的要求强于牛顿力学，它是指质点系的平衡，且为静止平衡，而力系的平衡条件仅可用来判断力系是否平衡，受平衡力系作用的刚体一般作惯性运动，其运动形式要视初始条件而定。(3)虚功方程的三种不同的表达形式(1)外力虚功方程当研究对象为刚体时，若虚功方程中的主动力全部是作用在该刚体上的外力，在这种情况下，虚功方程的形式为(2)内、外力虚功方程当研究对象为有弹簧连接的刚体系统，或变形体时43（此式将在第15章有重要应用。）在上式的主动力是全部作虚功的力，有内力也有外力，在此情况下，虚功方程为(3)有势力虚功方程当全部为有势力时，力的虚功为其虚功方程为其中V是质点系的势能。44§8.5通过广义力研究质点系的平衡问题8.5.1广义力及其相应的平衡条件当应用虚功方程求解问题时，经常需要建立虚功方程中各个虚位移之间的关系。这是由于系统存在约束使得这些虚位移彼此之间并不独立的缘故。所谓建立虚位移之间的关系，就是将那些不独立的虚位移用独立虚位移表示，独立虚位移个数要视系统的自由度而定。独立的虚位移广义虚位移如果将虚功方程中的虚位移用广义虚位移表示，根据广义虚位移的相互独立性，可以方便地得到系统平衡应该满足的充要条件。45广义力作用于质点系上的力系的虚功为令与广义坐标对应的广义力46对于完整约束系统，广义虚位移是彼此独立的，并可任意取值。等价式(8.52)成立的条件为具有双侧、理想、完整约束的质点系静止平衡的充要条件是系统的所有广义力都等于零。虚功方程的“广义力”形式用广义力表示的虚功方程为可见表明：47广义力的计算方法当作用于系统上的主动力已知时，常采用下面两种方法计算广义力：a.通过定义计算b.通过虚功和广义虚位移计算取一组广义虚位移，即令，而其余在这样一组虚位移上主动力的虚功之和有两种形式得到广义力的计算式为48*广义力完整约束系统*（补充）广义力对应于广义坐标而言。假设系统自由度为k，独立的几何参数，再假设系统由n个质点组成，在系统的n个质点上有主动力，而49*广义力完整约束系统*（补充）毕则定义广义力则（任意性）系统平衡时，广义力令依次类推508.5.2在有势力场中质点系的平衡条件和平衡的稳定性问题1.平衡条件当作用于质点系的主动力都为有势力时，设系统的势能为，则或由有势力的元功与势能的关系式可知，主动力在给定的直角坐标系的三根坐标轴上的投影与具有下述关系则当主动力为有势力时，广义力的计算式具有更加简明的形式51系统平衡的充要条件为或表明：对于保守系统，质点系的平衡位形一定出现在势能取驻值的位形处。2.平衡的稳定性稳定性问题：稳定形问题具有广泛的工程背景，存在于力学