第07章 测量误差的基本知识

第7章测量误差的基本知识武汉大学水利水电学院邓念武7.1

测量误差的来源及其分类

7.1.1

测量误差的定义真值X：观测对象客观存在的量。观测值L：每次观测所得的数值。真误差△：

△＝L–X

7.1.2

测量误差的来源

仪器、人、外界条件三方面的因素综合起来称为观测条件。观测条件相同的各次观测称为等精度观测。观测条件不同的各次观测称为非等精度观测。注意区分误差和错误的区别误差来源的来源：仪器设备不尽完善人的感官不稳定自然环境的影响7.1.3

测量误差的分类

1．系统误差在相同的观测条件下对某量进行多次观测，如果误差在大小和符号上按一定规律变化，或者保持常数，则这种误差称为系统误差。经过一定的观测手段或加改正数的方法，系统误差基本可以消除。2．偶然误差在相同的观测条件下，对某量进行多次观测，其误差在大小和符号上都具有偶然性，从表面上看，误差的大小和符号没有明显的规律，这种误差称为偶然误差。7.2

偶然误差的特性及算术平均值原理

7.2.1

偶然误差的特性

abc△i=ai+bi+ci-180°（i=1,2,········174）举例：误差区间（″）正误差负误差个数相对个数个数相对个数0～1010～2020～3030～4040～5050～6060以上322315115200.1840.1320.0860.0630.0290.0120.000312117114200.1780.1210.0980.0630.0230.0110.000和880.506860.494误差分布表结论1.在一定的条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限度；2.绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多；3.绝对值相等的正负误差出现的机会几乎相等；4.当观测次数无限增加时，偶然误差的算术平均值趋近于零，即7.2.2

算术平均值原理

设对某个量X（真值）进行了n次等精度观测，得观测值L1、L2、…、Ln，则其算术平均值x为：

算术平均值原理认为：观测值的算术平均值是真值的最可靠值。算术平均值原理的证明：以分别表示L1、L2、……Ln的真误差，则

将各式相加，两边除以n，有：

即：

由偶然误差特性4可知，当观测次数无限增加时，偶然误差的算术平均值趋近于零，此时观测值的算术平均值x将趋近于真值X。7.3

衡量精度的标准

7.3.1

中误差

设对一个未知量X进行多次等精度观测，其观测值为L1、L2、…、Ln，其真误差为

我们取各个真误差平方和的平均值的平方根，定义为中误差m，即：举例：设有甲、乙两组观测值，其真误差分别为：

甲组：-3″、-2″、0″、＋1″、＋3″

乙组：＋3″、-4″、0″、＋1″、-2″则两组观测值的中误差分别为：注意：以上所计算的中误差称为一次观测中误差。7.3.2

容许误差在实际工作中，常采用二倍中误差作为容许误差，即：

Δ容＝2m

当要求较低时，也可采用三倍中误差作为容许误差，即：

Δ容＝3m

容许误差又称极限误差、最大误差和允许误差。7.3.3

相对中误差举例：丈量两段长短不等的距离，一段长100米，中误差为±0.1米，另一段长1000米，中误差为±0.2米。前一段的相对中误差为：后一段的相对中误差为：

通过相对中误差判断：第二段距离比第一段距离丈量的精度高。7.4

观测值函数的中误差——误差传播定律

7.4.1

观测值和或差函数的中误差

问题的提出：设有函数式中z是x、y的和或差的函数，x、y为独立观测值。设x、y的中误差分别为mx、my，求z的中误差mz。假如对x和y分别以同精度各观测了n次，则：

将上述n个公式两边平方，然后相加得：将上式两边除n，得：

或

（i＝1，2……n）求解：跳到误差独立问题讨论：（1）当函数z为n个独立观测值的代数和时，即：按上述的推导方法，可得出函数z的中误差为：（2）当观测值为同精度观测时，即各观测值的中误差均为m，即则有：需要指出的是：上述分析仅仅考虑了读数误差，不能作为实际测量中的限差要求。7.4.2

观测值倍数函数的中误差问题的提出：设有函数z＝kx

式中z为观测值x的函数，k为常数。已知x的中误差是mx，求z的中误差mz△z＝k△x

若对x共观测了n次，则：△zi＝k△xi

（i＝1，2……n）将上述n个公式两边平方，然后相加得：

求解：上式两边除n得：按中误差定义，将上式写成：或算例：在1：1000比例尺地形图上，量得某直线长度d＝234.5mm，中误差md=±0.1mm，求该直线的实地长度D及中误差mD。解：实地长度D＝1000×d=1000×234.5mm＝

234.5m

中误差mD＝1000×md

＝1000×(±0.1mm)=±0.1m

最后结果写成：D=234.5m±0.1m7.4.3

线性函数的中误差设有线性函数式中均为独立观测值，为常数，

问题的提出：已知的中误差分别为求Z的中误差。参考和差函数和倍数函数中误差的关系，有：

求解：引入函数

，则有举例：设有某线性函数

式中：分别为独立观测值，中误差分别为、求函数z的中误差解：

由线性函数中误差的关系式有：7.4.4

一般函数的中误差问题的提出：设有函数式中（i=1，2……n）为独立观测值，中误差为mi（i＝1，2……n），求函数z的中误差mz。求解：上述函数的全微分表达为：

由于真误差△均为小值，故可用真误差替代微分量，得：参考线性函数中误差的关系式有：

误差独立：和差函数

7.5

等精度直接平差7.5.1

观测值中误差m7.5.2

算术平均值中误差M第六节测量精度分析示例一、有关水准测量的精度分析

1．一个测站的高差中误差望远镜的照准误差水准管气泡居中的误差在两点间进行水准测量时，前视或后视读数的中误差为故一个测站的高差中误差为若采用双面水准尺施测2．测站校核限差的规定（1）黑面读数与红面读数之差的限差读数一