第06章-2模糊知识

第六章模糊知识目录1模糊理论2模糊集与隶属函数3模糊集的表示方法4模糊集的运算5模糊集的λ水平截集6模糊度与模糊数7模糊关系及其合成8建立隶属函数的方法CompanyLogo模糊理论模糊性描述事物的不确定性的一种度量。(另一种度量是随机性)事物的模糊性是指客观差异的中介过渡所引起的划分上的一种不确定性，或概念上没有明显界线所引起的一种不确定性。例如，自然界中山峰的“高”与“矮”，社会生活中的“好人”与“坏人”等等，这些概念之间没有明确的分界线。从“高”到“矮”，从“好人”到“坏人”，都是从差异的一方到差异的另一方。这中间经历了一个从量变到质变的连续过渡过程。这种现象就叫作差异的中介过渡性。这种概念上的不明确性和中介过渡性造就出的划分上的不确定性，就叫做模糊性。这有别于随机不确定性。CompanyLogo模糊理论随机性也是重要的一种不确定性，但不能把不确定性只理解为随机性。例如抛硬币试验。我们知道，硬币的一面是徽，另一面是字，这在定义上是非常明确的。并且徽和字在概念上具有明确的界线。但在抛之前，是出现徽向上还是字向上是不能确定的。象这种不确定性就是随机性。为了区分这两种性质截然不同的不确定性，我们将由随机性所引起的不确定性称为随机不确定性，而将由模糊性所引起的不确定性称为模糊不确定性。CompanyLogo模糊理论集合与特征函数处理某一特定问题时，要把议题限定在一个特定的范围内，这个范围就是相应问题的论域。在论域中把具有某种属性的事物的全体称为集合。集合中的元素具有相同的属性，就可用集合表示这一属性，集合属性也可用一个函数来描述，这个函数就是特征函数。集合与特征函数建立了一一对应关系。特征函数表示论域U中的元素u是否属于U的子集A。若，则，若，则。显然，特征函数是论域U到{0，1}的一个映射。这是对普通集合,我们可以用特征函数来刻画。而对于模糊集合需要用到隶属函数来描述。CompanyLogo例如，设论域A={1,2,3,4,5}，在论域A上的一个子集“奇数”，是一个确定性概念，可用集合A1＝{1,3,5}表示，其特征函数可以表示为：但对A上的另一个子集“大”或“小”就无法用这样的特征函数来描述，因为大或小是一个模糊的概念没有一个明确的界限，很难说1,2,3就是小，4,5就是大。这就需要用到隶属度来表示，简单的说隶属度就是表示某个元素隶属于某个集合的程度。模糊理论CompanyLogo目录1模糊理论2模糊集与隶属函数3模糊集的表示方法4模糊集的运算5模糊集的λ水平截集6模糊度与模糊数7模糊关系及其合成8建立隶属函数的方法CompanyLogo模糊集与隶属函数定义设U是论域，是把任意u∈U映射为[0，1]之间某个值的函数，即则称为定义在U上的一个隶属函数，由所确定的集合称为U上的一个模糊集，称为u对A的隶属度。隶属度确定了某个元素u属于该模糊集合A的程度，所有元素隶属度的全体构成隶属函数。模糊集是用隶属函数表示。CompanyLogo模糊集与隶属函数例如，我们就可以用隶属度和隶属函数来表示前面例子中的“大”和“小”2个模糊集合。设A1表示“大”，A2表示“小”，则对应与A中各元素1,2,3,4,5的隶属度：

对应与2个集合的隶属函数为：A1＝{0,0,0.1,0.6,1}，A2＝{1,0.5,0.1,0,0}学习好的隶属度表示：CompanyLogo模糊集与隶属函数

模糊逻辑是无限值逻辑的推广。模糊逻辑不仅将二值逻辑的真假值域从{0，1}扩充到闭区间[0，1]，而且还在无限值逻辑中插入了模糊集和模糊关系。模糊逻辑将清晰明确的命题推广到亦此亦彼的模糊命题。设A为论域U的模糊子集，“a属于A”就是模糊命题。这个命题的值可定义为A的隶属函数在a上的值。于是，模糊命题“a属于A”的值不再是非0即1，而是闭区间[0，1]上的任何一个值。该值也不象无限值逻辑那样表示模糊命题“a属于A”是真还是假，而是表示模糊命题“a属于A”是真的程度。例如，设武汉属于大城市的隶属度为0.78，则模糊命题“武汉是大城市”的真假值是0.78。

CompanyLogo目录1模糊理论2模糊集与隶属函数3模糊集的表示方法4模糊集的运算5模糊集的λ水平截集6模糊度与模糊数7模糊关系及其合成8建立隶属函数的方法CompanyLogo模糊集的表示方法若论域是离散的有限集，其模糊集可表示为也可以表示为或或或CompanyLogo模糊集表示方法若论域是连续的，则模糊集用函数表示。例如“年老”与“年轻”两个模糊概念可表示为年轻年老CompanyLogo无论是连续还是离散，有限或无限，都可以统一表示为模糊集表示方法CompanyLogo目录1模糊理论2模糊集与隶属函数3模糊集的表示方法4模糊集的运算5模糊集的λ水平截集6模糊度与模糊数7模糊关系及其合成8建立隶属函数的方法CompanyLogo并、交、补运算设A，B为论域U上的两个模糊集，它们的并、交、补也是模糊集，分别记为，和，它们的隶属函数分别为模糊集的运算包含：若对任意，都有，则称A包含B，记为与谓词逻辑中的符号不同CompanyLogo目录1模糊理论2模糊集与隶属函数3模糊集的表示方法4模糊集的运算5模糊集的λ水平截集6模糊度与模糊数7模糊关系及其合成8建立隶属函数的方法CompanyLogo设A是论域U上的模糊集，，则称普通集合为A的一个水平截集，称为阈值或置信水平。它是A的一个子集，隶属度>的一个子集。水平截集的性质：1.；2.若，则模糊集的水平截集水平截集是为把模糊集转化为普通集合而引入的CompanyLogo设A是论域U上的一个模糊集，称分别为模糊集A的核及支集。当时，称A为正规模糊集。注意：λ水平截集、核、支集都是集合，是A的一个子集。模糊集的水平截集λ10AλuCompanyLogo目录1模糊理论2模糊集与隶属函数3模糊集的表示方法4模糊集的运算5模糊集的λ水平截集6模糊度与模糊数7模糊关系及其合成8建立隶属函数的方法CompanyLogo定义：设A∈F（U）d是定义在F（U）上的一个实数，如果它满足以下条件：(1)对任意A∈F（U），有d(A)∈[0,1]；(2)当且仅当A是一个普通集合时，d(A)=0;(3)若A的隶属函数

≡0.5，则d(A)=1;：(4)若A,B∈F（U）,且对任意u∈U满足或者则有：d(B)≤d(A)(5)对任意A∈F（U）,有d(A)=d(¬A)则称d为定义在F（U）的一个模糊度d(A)称为A的模糊度模糊度CompanyLogo由模糊度的定义可以看出：

(1)任何模糊集的模糊度都是[0,1]上的一个数；

(2)普通集合的模糊度为0，表示所刻画的概念不是模糊集;

(3)模糊度越靠近0.5就越模糊,为0.5时最模糊

：

(4)模糊集A与其补集¬A具有相同的模糊度。关于模糊度的计算：海明模糊度；欧几里德模糊度；明可夫斯基模糊度；熵农模糊度；CompanyLogo如果实数域R上的模糊集A的隶属函数在R上连续且具有如下性质：（1）A是凸模糊集，即对任意，A的水平截集是闭区间；（2）A是正规模糊集，即存在，使则称A为一个模糊数。模糊数的隶属函数是单峰函数。例如模糊数“6左右”可用隶属函数表示：模糊数CompanyLogo模糊数的运算设是实数域R上的一种二元运算，A和B为两个模糊数，则它们之间的运算结果也是一个模糊数，其隶属函数为模糊数的四则运算：＋，－，×，÷模糊数对相应的元素做这种运算，对它们各自的隶属度取最小，再对相同元素合并，并取其最大的隶属度。看例2.13CompanyLogo目录1模糊理论2模糊集与隶属函数3模糊集的表示方法4模糊集的运算5模糊集的λ水平截集6模糊度与模糊数7模糊关系及其合成8建立隶属函数的方法CompanyLogo定义设是上的模糊集，则称

为的笛卡尔乘积，它是上的一个模糊集。元模糊关系R是指论域上的一个模糊集，记为模糊关系及其合成CompanyLogo

(ui)(i=1,2,…,n)是模糊集Ai的隶属函数；(u1,u2,…,un)是模糊关系R的隶属函数，它把U1×U2…×Un上的每一个元素(u1,u2,…,un)映射为[0,1]上的一个实数，该实数反映出u1,u2,…,un具有关系R的程度。定义比较抽象，我们用例子来说明，对于二元关系：

反映了u与v具有关系R的程度。模糊关系及其合成CompanyLogo当，都是有限论域时，其上的二元模糊关系R可用一个矩阵表示，称为模糊矩阵，模糊关系及其合成CompanyLogo机械故障与征兆的关系的程度。模糊关系及其合成这就构成了故障集与征兆集上的模糊关系矩阵。反映了某种故障与某种征兆的关系程度CompanyLogo模糊关系及其合成某人对某项运动的喜爱程度。0.70.50.40.10.00.60.00.50.50.30.80.0R=CompanyLogo定义：设与分别是和上的两个二元模糊关系，则与的合成是指从U到W的一个模糊关系，记为，其隶属函数为模糊关系及其合成取的第i行元素分别与的第j列元素对应相比较，两个数中取其小者，再在所得的一组最小数中取出最大的一个，就以此数作为的第i行第j列的元素。算法：CompanyLogo有如下2个模糊关系：则R1和R2的合成是：模糊关系及其合成CompanyLogo模糊变换设例：设是论域U上的模糊集，R是上的模糊关系，则称为模糊变换则：完成模糊变换CompanyLogo模糊关系及其合成上表表示征兆与故障的模糊关系矩阵，用R来表示对于一个征兆向量a＝[0.2f,0.25f,0.43f……]，则模糊诊断的结果为：F＝a·RT=[……]CompanyLogo目录1模糊理论2模糊集与隶属函数3模糊集的表示方法4模糊集的运算5模糊集的λ水平截集6模糊度与模糊数7模糊关系及其合成8建立隶属函数的方法CompanyLogo隶属度确定了某个元素u属于某个模糊集合A的程度，所有元素隶属度的全体构成隶属函数。所以隶属函数对于表达模糊集的特性，以及表达论域上的元素与模糊集的关系都是非常重要的，对于推理的准确性、求解问题的质量都有至关重要的影响。隶属函数的建立是整个问题求解过程中最基本也是最关键的工作，也是比较困难的工作。难在没有同一的、普遍适应的模式。目前主要有以下一些经验方法。建立隶属函数的方法CompanyLogo模糊统计法把论域U划分为若干区间。选择n个具有正确判断力的评判员，请他们分别给出模糊概念应该属于的区段。假设n个评判员给出的区段中覆盖某个区间的次数为m，则当n足够大时，就可把m/n作为该区间中值对A的隶属度。对每个区间的中值点求出隶属度后，就可绘制