中考数学专项复习：一次函数、反比例函数、二次函数的图象共存问题（重点突围）（解析版）

专题14一次函数、反比例函数、二次函数的图象共存问题

方寸【中考考向导航】

目录

【直击中考】...................................................................................1

【考向一两条一次函数图象共存问题】.......................................................1

【考向二一次函数与反比例函数图象共存问题】..............................................4

【考向三一次函数与二次函数的图象共存问题】..............................................9

【考向四一次函数、反比例函数、二次函数的图象共存问题】.................................12

I

【直击中考】

【考向一两条一次函数图象共存问题】

例题：（2022•安徽•统考中考真题）在同一平面直角坐标系中，一次函数、=以+1与>=。2犬+。的图像可能

是（）

【答案】D

【分析】分为和。<0两种情况，利用一次函数图像的性质进行判断即可.

【详解】解：当x=l时，两个函数的函数值：y=a+a2,即两个图像都过点（1,。+/），故选项A、C不符

合题意；

当”>0时，a2>0,一次函数y="+1经过一、二、三象限，一次函数y=/x+。经过一、二、三象限，

都与y轴正半轴有交点，故选项B不符合题意；

当“<0时，a2>0,一次函数、=办+。2经过一、二、四象限，与y轴正半轴有交点，一次函数y=/x+a经

过一、三、四象限，与V轴负半轴有交点，故选项。符合题意.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了一次函数的图像性质.理解和掌握它的性质是解题的关键.

一次函数，=履+。的图像有四种情况：

①当左＞0,匕＞0时,函数＞="+6的图像经过第一、二、三象限;

②当4>0,6<0时,函数y=+b的图像经过第一、三、四象限;

③当左＜0,方＞0时，函数＞=h+万的图像经过第一、二、四象限;

④当左＜0,6＜0时，函数＞=h+万的图像经过第二、三、四象限.

【变式训练】

1.（2023春・全国•八年级开学考试）已知函数丫=区+》的图象如图所示,则函数〉=-6尤+左的图象大致是（）

【答案】C

【分析】根据一次函数图象与系数的关系进行求解即可.

【详解】解：由题意得上＞0,b＞0,

0-/?<0,

回函数y=-6元+A的图象经过第一、二、四象限,

回四个选项中只有选项c符合题意,

故选c.

【点睛】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，熟知对于一次函数＞=h+6,当左＞0,6＞0时，一

次函数＞=履+。经过第一、二、三象限，当左＞0,b＜0时，一次函数＞=履+。经过第一、三、四象限，当

左＜0,6＞0时，一次函数，=米+。经过第一、二、四象限，当左＜0,6＜0时，一次函数、=米+〃经过第二、

三、四象限是解题的关键.

2.（2020秋•甘肃兰州•八年级校考期中）已知一次函数球:+"与正比例函数%=如叱（加，〃为常数,

【答案】A

【分析】根据一次函数的图象和性质，逐项判断即可求解.

【详解】解：A、由一次函数的图象得：相<。,〃>。，则根〃<0；由正比例函数的图象可知根〃<0,两结论

一致，故本选项正确，符合题意；

B、由一次函数的图象可知，m<0,n>0,故根“<0；由正比例函数的图象可知〃z〃>0,两结论不一致，故

本选项不正确，不符合题意；

C、由一次函数的图象可知，相>0,〃>0,故〃2〃>0；由正比例函数的图象可知〃加<0,两结论不一致，故

本选项不正确，不符合题意；

D、由一次函数的图象可知，m>0,n<0,故加"<0；由正比例函数的图象可知加〃>0,两结论不一致，故

本选项不正确，不符合题意.

故选：A.

【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键.

3.（2021春•广西南宁•八年级南宁市第四十七中学校考期中）两个一次函数%=以+%与%=反+。，它们在同

一平面直角坐标系中的图像可能是（）

【答案】。

【分析】利用％和b对一次函数图像的影响，分别对选项讨论，即可得出正确选项.

【详解】选项A：国一次函数为=分+占经过第一三四象限，13a>0,b<0,

又回一次函数%=反+。经过第二三四象限，回6<0,a<0

故两结论矛盾，故错误；

选项2：回一次函数％=依+》经过第一二三象限，13a>0,b>0,

又回一次函数%=反+。经过第一二四象限，0^<0,a>0

故两结论矛盾，故错误；

选项C：团一次函数M=依+》经过第一二四象限，0<2<0,b>0,

又回一次函数%="+。经过第二三四象限，回6<0,a<0

故两结论矛盾，故错误；

选项。：团一次函数乂=分+6经过第一三四象限，13a>0,b<0,

又回一次函数%=乐+。经过第一二四象限，回匕<0，a>0

故两结论一致，故正确；

故选：D

【点睛】本题考查了4和6对一次函数图像的影响，根据图像正确判断人和6是解本题的关键.

当a>0,。>0时，一次函数的解析式y="+6经过第一二三象限;

当。>0,6<0时，一次函数的解析式、=依+方经过第一三四象限;

当。<0,6>0时，一次函数的解析式丁=依+6经过第一二四象限;

当。<0,6<0时，一次函数的解析式y=ox+6经过第二三四象限.

【考向二一次函数与反比例函数图象共存问题】

1-TJ

例题：（2022春•九年级课时练习）已知抛物线y=-/-2x+根+1与x轴没有交点，则函数y=—和函数

x

y=加的大致图像是（）

【答案】C

【分析】由己知可以得到根的取值范围，再根据反比例函数和一次函数的图象与性质即可得到解答.

【详解】解：回抛物线L-d-Zx+m+l与x轴没有交点，

回方程-/-2彳+优+1=0没有实数根，

0J=4+4xlx（m+1）=4m+8<0,

0m<-2,

团-zn>2,

故函数y=依的图象在第二、四象限，

X

函数产SX-帆的图象经过第一、二、四象限.

故选：C.

【点睛】本题考查函数的综合应用，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系、反比例函数与一次函数的

图象与性质是解题关键.

【变式训练】

h_

1.（2022・西藏•统考中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数>=〃%+/?与产一（其中〃，/?是常数，abwO）

ax

的大致图象是（)

【答案】A

【分析】根据a,6的取值分类讨论即可.

【详解】解：若。＜0,b＜0,

h

则＞=依+0经过二、三、四象限，反比例函数产一（〃尿0）位于一、三象限，故A选项符合题意；

ax

若4V0,。＞0,

b

则y=经过一、二、四象限，反比例函数产一（4麻0）位于二、四象限，故3选项不符合题意;

ax

若〃＞0,。＞0,

b

则y=ax+b经过一、二、三象限，反比例函数尸一（"工0）位于一、三象限，故C选项不符合题意;

ax

若〃>0,Z?<0,

b

则丫=公+匕经过一、三、四象限，反比例函数数产”（abA0）位于二、四象限，故。选项不符合题意.

ax

故选：A.

【点睛】此题考查的是反比例函数和一次函数的图像及性质，掌握系数a,b与反比例函数和一次函数的图

像的关系是解决此题的关键.

2.（2022•四川德阳•统考中考真题）一次函数＞=G+1与反比例函数y=在同一坐标系中的大致图象是

x

（）

【答案】B

【分析】A选项可以根据一次函数与y轴交点判断，其他选项根据图象判断。的符号，看一次函数和反比例

函数判断出a的符号是否一致；

【详解】一次函数与y轴交点为（0,1）,A选项中一次函数与y轴交于负半轴，故错误；

2选项中，根据一次函数y随x增大而减小可判断。＜0,反比例函数过一、三象限，则/＞0,即。＜0,两者

一致，故8选项正确；

C选项中，根据一次函数y随尤增大而增大可判断。＞0,反比例函数过一、三象限，则/＞0,即。＜0,两者

矛盾，故C选项错误；

。选项中，根据一次函数y随X增大而减小可判断a<0,反比例函数过二、四象限，则/<0,即0>0,两者

矛盾，故。选项错误；

故选：B.

【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数图象共存问题，解决此类题目要熟练掌握一次函数、反比例函

数图象与系数的关系.

【答案】C

【分析】分别讨论左K）和左VO时，一次函数和反比例函数的性质及图像特征，即可得到答案.

【详解】解：若左X）,则-上〈0,一次函数单调递减且过点（0,-5）,所以一次函数的图像单调递减，过二、

三、四象限；反比例函数图像在一、三象限，此时没有选项的图像符合要求.

若左V。，则-心>0,一次函数单调递增且过点（0,-5）,所以一次函数的图像单调递增，过一、三、四象限;

反比例函数在二、四象限，此时选项C符合要求.

故选：C.

【点睛】本题考查一次函数的图像和性质、反比例函数的图像和性质；熟练掌握相关知识是解题的关键.

k

4.（2022春•九年级课时练习）在同一直角坐标系中,函数y=Ax/与>=口（b0）的大致图象是（）

一

【答案】B

【分析】根据左的取值范围，分别讨论左＞0和％＜0时的情况，然后根据一次函数和反比例函数图象的特点

进行选择正确答案.

【详解】解：当人＞0时，

一次函数方fcc孑经过一、三、四象限，

k

函数y=R（七0）的图象在一、二象限，

观察各选项，没有选项符合要求.

当上＜0时，

一次函数经过一、二、四象限，

函数方丘［g°）的图象经过三、四象限，

只有选项8的图象符合要求.

故选：B.

【点睛】此题考查一次函数的图象和反比例函数的图象，数形结合是解题的关键.

5.（2022春•浙江宁波•八年级校考期中）如图所示，满足函数'=左（工-1）和y=?4/0）的大致图象是（）

【答案】B

【分析】先根据反比例函数的图象所在的象限判断出人的符号，然后再根据左符号、一次函数的性质判断出

一次函数所在的象限，二者一致的即为正确答案.

【详解】解：一次函数产女（x-1）=kx-k.

团反比例函数的图象经过第二、四象限，

瞅V0；

团-Q0,

团一次函数＞=丘-女位于第一、二、四象限；

故图①错误，图②正确；

团反比例函数的图象经过第一、三象限，

欧＞0；

回一女＜0,

团一次函数左位于第一、三、四象限;

故图③正确，图④错误，

故选：B.

【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题.

1p-]

6.（2022秋•河北邯郸,九年级统考期中）若式子7T有意义，则函数〉=丘+1和的图象可能是（）

7-kx

x

B.

【答案】B

【分析】首先可求得上的取值范围，进而分析一次函数与反比例函数图象的位置，进而得出答案.

【详解】解：回式子工有意义,

0^<0,

当左<0时，一次函数〉=依+1的图象经过第一、二、四象限，

当-1«<0时，R-l<0,反比例函数y=^^^的图象在第二、四象限,

x

E-1

当时，F-l>0,反比例函数~^的图象在第一、三象限，

x

四个选项中只有3符合，

故选：B.

【点睛】本题考查了分式成立的条件，二次根式成立的条件，一次函数的图象，反比例函数，对左的讨论是

解决本题的关键.

kb

7.（2022•安徽・九年级专题练习）已知一次函数反比例函数>=—（劭w0）,下列能同时正确描述

【答案】C

【分析】根据对公6的正负性对一次函数、反比例函数图象进行判断即可的结果；

【详解】解：当Q0,b>0时，一次函数过一、二、三象限，奶>0反比例函数过一、三象限;

当左＞0,6＜0时，一次函数过一、三、四象限，奶＜0反比例函数过二、四象限；

当KO,b＞0时，一次函数过一、二、四象限，妨＜0反比例函数过二、四象限；

当左＜0,6＜0时，一次函数过二、三、四象限，姑＞0反比例函数过一、三象限；

故选：C

【点睛】本题主要考查一次函数、反比例函数，掌握函数图象与系数的关系是解题的关键.

8.（2021•贵州铜仁・统考二模）在同一平面直角坐标系中，函数^=辰+2（k彳0）和y=f（ArO）的图象大致

是（）

【答案】B

【分析】分两种情况讨论，当Q0时，分析出一次函数和反比例函数所过象限；再分析出卜0时，一次函数

和反比例函数所过象限，符合题意者即为正确答案.

【详解】①当Q0时，户质+2过第一、二、三象限，y=七过第一、三象限，

X

②当ko时，方区+2过第一、二、四象限，y=上过第二、四象限，

X

观察图形可知，只有2选项符合题意，

故选：B.

【点睛】此题考查了依据一次函数与反比例函数的图象，正确掌握各函数的图象与字母系数的关系是解题

的关键.

【考向三一次函数与二次函数的图象共存问题】

例题：（2022春•九年级课时练习）函数y="与y=af+a（gO）在同一直角坐标系中的大致图象可能是（）

【答案】D

【分析】先根据一次函数的性质确定。＞0与a＜0两种情况分类讨论抛物线的顶点位置即可得出结论.

【详解】解：函数y=ox与（axO）

A.函数y=or图形可得a<0,则yuaf+a（*0）开口方向向下正确，当顶点坐标为（0,a），应交于y轴

负半轴，而不是交y轴正半轴，故选项A不正确；

B.函数y=or图形可得。<0,则尸加+“（80）开口方向向下正确，当顶点坐标为（0,«），应交于y轴

负半轴，而不是在坐标原点上，故选项2不正确；

C,函数图形可得a>0,则y=G?+a（axO）开口方向向上正确，当顶点坐标为（0,a）,应交于y轴

正半轴，故选项C不正确；

D.函数y=ar图形可得a<0,则尸尔+^开口方向向上正确，当顶点坐标为（0,a），应交于y轴

正半轴正确，故选项O正确；

故选D

【点睛】本题考查的知识点是一次函数的图象与二次函数的图象，理解掌握函数图象的性质是解此题的关

键.

【变式训练】

1.（2022春•九年级课时练习）已知©0,在同一平面直角坐标系中，函数y=以与>=办2的图象有可能是

（）

【答案】C

【分析】本题可先由一次函数y=ax图象得到字母系数的正负，再与二次函数>="2的图象相比较看是否

一致.

【详解】解：A、函数y=ax中，a>Q,y=a/中，a>0,但当尤=1时，两函数图象有交点（1,a）,故A

错误；

B、函数y=ax中，a<0,>=五中，a>0,故2错误；

C、函数y=ar中，a<0,>=加中，a<0,但当尤=1时，两函数图象有交点（1,a）,故C正确；

D、函数y=ax中，a>0,丫=办2中，a<0,故。错误.

故选：C.

【点睛】本题考查了二次函数的图象与正比例函数的图象，解题的关键是熟练的掌握二次函数的图象与正

比例函数的图象的相关知识点.

2.（2023•全国•九年级专题练习）二次函数y=a（x-2）2+左与一次函数y=ax-左在同一平面直角坐标系中的

图像可能是（）

【答案】A

【分析】逐一分析每个选项图象与函数解析式中的系数的关系，结论一致的就是正确的，结论不一致的就

是错误的，从而可得答案.

【详解】解：选项A中的一次函数a＜0,左＞。，抛物线中的图象开口向下，顶点坐标为（2水），则。＜0,左＞0,

对称轴是直线x=2,故符合题意，

选项B中的一次函数。＜0欢＜。，抛物线中的图象开口向下，顶点坐标为（2水），则。＜0,左＜0,但是对称轴

不是直线尤=2,故不符合题意，

选项C中的一次函数左＞0,抛物线中的图象开口向上，顶点坐标为（2#）,贝故不符合

题意，

选项。中的一次函数。抛物线中的图象开口向上，顶点坐标为（2,左），则。＞0次＞0,对称轴不是

直线x=2,故不符合题意，

故选A

【点睛】本题考查的是一次函数与二次函数的图象共存的问题，掌握"结合一次函数与二次函数的系数与图

象的关系进行分析"是解本题的关键.

3.（2022秋・广东广州•九年级校考阶段练习）如果二次函数y=o?+c的图象如图所示，那么一次函数

y=ox+c的图象大致是（）

【答案】C

【分析】根据二次函数的图像，确定。，。的符号，然后根据一次函数性质确定图像的分布即可.

【详解】回抛物线的开口向下，

刖<0；

团抛物线交于y轴正半轴，

配〉0,

回y=6+c的图像分布在第一，第二，第四象限，

故选C.

【点睛】本题考查了二次函数的图像，一次函数的图像，熟练掌握二次函数的图像与各系数之间的关系，

一次函数中历b与图像分布之间的关系是解题的关键.

4.(2022秋•黑龙江•九年级统考期中)函数y=ax—a和y=af+2为常数，且。力0),在同一平面直角

坐标系中的大致图象可能是()

【分析】先根据>=加+2的顶点坐标为(0,2),判断A,2不符合题意，再由C,。中的二次函数的图象判

断。<0,则-a>0,从而可得答案.

【详解】解：由、=取2+2的顶点坐标为(0,2),

故42不符合题意；

由C,。中二次函数的图象可得：。<。，

—CL>0,

函数y=ax—a过一，二，四象限，

故C符合题意，。不符合题意，

故选C

【点睛】本题考查的是一次函数与二次函数的图象共存的问题，掌握"一次函数与二次函数的图象与性质"

是解本题的关键.

【考向四一次函数、反比例函数、二次函数的图象共存问题】

例题：(2022•贵州安顺・统考中考真题)二次函数尸aN+6x+c(g0)的图像如图所示，则一次函数产依+6和

反比例函数y=£（exO）在同一直角坐标系中的图像可能是（）

X

【分析】根据二次函数y=a/+bx+c（。/0）的图像开口向上，得出〃>0,与y轴交点在y轴的负半轴，

得出c<0,利用对称轴尤=-9b>0,得出6<0,然后对照四个选项中的图像判定即可.

2a

【详解】解：因为二次函数丁="2+灰+。的图像开口向上，得出。>0,与y轴交点在y轴的负半轴，得出

h

c<0,利用对称轴x=——>0,得出b<0,

2a

所以一次函数y=ox+8经过一、三、四象限，反比例函数y=£经过二、四象限.

x

故选：A.

【点睛】本题主要考查了反比例函数的图像、一次函数的图像以及二次函数的图像等知识点，根据二次函

数图像得到。>0、b<0、c<0是解题的关键.

【变式训练】

1.（2023秋•河北秦皇岛•九年级校联考期末）一次函数了=依+6和反比例函数y=£在同一个平面直角坐标

系中的图象如图所示，则二次函数y=Q/+bx+c的图象可能是（）

V,y

【答案】A

【分析】根据反比例函数图象和一次函数图象经过的象限，即可得出。<0、b>0.c<0,由此可以得出二

_b

次函数>=办2+叔+。的图象开口向下，对称轴》=一>。，与y轴的交点在y轴的负半轴，再对照四个选

2a

项中的图象即可得出结论.

【详解】解：观察一次函数了=奴+6和反比例函数y=£的图象可知：“<0、b>0,c<0,

X

_b

・•・二次函数'="2+法+。的图象开口向下，对称轴x=-丁>0,与y轴的交点在y轴的负半轴，

2a

故选：A.

【点睛】本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象以及二次函数的图象，根据反比例函数图象和一

次函数图象经过的象限，找出〃<0、b>0、c<0是解题的关键.

2.（2022•全国•九年级专题练习）已知二次函数y=/+6x+c的图像如图所示，则一次函数y=6无+c的图

像和反比例函"的图像在同一坐标系中大致是（）

【答案】C

【分析】先根据二次函数的图像开口向下和对称轴可知6<0,由抛物线交y的正半轴，可知c>0,由当尤=1

时，y<0,可知a+6+c<0,然后利用排除法即可得出正确答案.

【详解】团二次函数的图像开口向下，

mvo,

b八

0-——＜0,

2a

勖VO,

回抛物线与y轴相交于正半轴，

0c＞O,

团直线广法+c经过一、二、四象限，

由图像可知，当时，yVO,

回a+A+cVO,

回反比例函数y="a+h9+c的图像必在二、四象限，

X

故A、B、D错误,C正确；

故选：C.

【点睛】本题考查的是二次函数的图像与系数的关系，反比例函数及一次函数的性质，熟知以上知识是解

答此题的关键.

k

3.（2023•江西•九年级专题练习）已知在同一直角坐标系中二次函数＞=以2+法和反比例函数＞=—的图象如

x

图所示，则一次函数助的图象可能是（）

小

斗J'A

A*

oK\*—*

TA.•B.

【答案】A

k

【分析】根据反比例函数y=*的函数图象在二、四象限，得到上＜0,根二次函数y=如2开口向下,

X

对称轴在y轴右侧，得到。＜0,-=b＞。，则万＞0，由此即可得到答案.

2a

k

【详解】解：回反比例函数y=—的函数图象在二、四象限,

X

团左<0,

团二次函数y=o?+笈开口向下，对称轴在y轴右侧，

b

回〃<0,--->0,

2a

皿>0,

0—>0,-kb>0

k

团一次函数y=@X-劭经过一、二、三象限，

k

故选A.

【点睛】本题主要考查了一次函数图象，反比例函数图象，二次函数图象的综合，正确理解函数图象与系

数之间的关系式解题的关键.

4.（2022•湖南永州•统考一模）已知二次函数/=0?+法+。（。x0）的图象如图所示，则一次函数>=6+6与

反比例函数y=-£在同一个坐标系内的大致图象为（）

【答案】A

【分析】根据二次函数的图象确定a,b,c的正负，即可确定一次函数y=ar+6所经过的象限和反比例函数

>=-£所在的象限.

X

【详解】解：回二次函数,=办2+法+«。*0）的图象开口向上，对称轴在y轴左边，与y轴的交点在y轴负

半轴，

b

回。>0,------<0,c<0.

2a

M>0,-c>0.

回一次函数丁=依+方的图象经过第一、二、三象限，反比例函数＞的图象在第一，三象限.

X

故选：A.

【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，一次函数图象与系数的关系，反比例函数图象与系数的关

系，熟练掌握这些知识是解题关键.

5.（2022•广东广州•广州大学附属中学校考二模）函数y=幺与尸a/-公+c的图象如图所示，则函数

X

【答案】。

【分析】根据二次函数和反比例函数的图象确定上与6的符号，然后利用一次函数的性质即可求解.

【详解】解：根据反比例函数的图象位于一、三象限知Q0,

根据二次函数的图象可知。＜0,力＜0，即6＞0,

回函数的大致图象经过一、二、三象限,

故选：D.

【点睛】本题考查了函数图象的知识，熟练掌握三种函数图象和性质是解题的关键.

6.（2021•山东青岛•统考二模）已知二次函数