第14讲 万有引力定律及其应用

第14讲万有引力定律及其应用1.内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r

的二次方成反比．2．公式：其中G=6.67×10-11N·m2/kg2

，叫引力常量．一、万有引力定律3．公式适用条件：此公式适用于质点间的相互作用．当两物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点．均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离．一个均匀球体与球外一个质点间的万有引力也适用，其中r

为球心到质点间的距离．二、三种宇宙速度宇宙速度数值意义第一宇宙速度(环绕速度)7.9km/s这是物体绕地球做圆周运动的最小发射速度，若7.9km/sv＜11.2km/s，物体绕地球运行第二宇宙速度(脱离速度)11.2km/s这是物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度，若11.2km/sv＜16.7km/s，物体绕太阳运行第三宇宙速度(逃逸速度)16.7km/s这是物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度，若v16.7km/s，物体将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系外1．三种宇宙速度均指的是发射速度，不能理解为运行速度．2．第一宇宙速度既是最小发射速度，又是卫星绕地球做匀速圆周运动的最大运行速度．三、关于同步卫星的五个“一定”

1．轨道平面一定：轨道平面与赤道平面共面．

2．周期一定：与地球自转周期相等，即T＝24h.3．角速度一定：与地球自转的角速度相等．4．高度一定：由同步卫星离

地面的高度h≈3.6×107m.5．速率一定：v＝≈3.1×103m/s.1．卫星的各物理量随轨道半径变化而变化的规律四、卫星的运动规律(1)圆轨道上的稳定运行：若卫星所受万有引力等于做匀速圆周运动的向心力，将保持匀速圆周运动，即(2)变轨运行分析当卫星由于某种原因速度突然改变时(开启或关闭发动机或空气阻力作用)，万有引力就不再等于向心力，卫星将做变轨运动．2．卫星的稳定运行与变轨运行分析①当卫星的速度v增大时，所需向心力m增大，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大．但卫星一旦进入新的轨道运行，由v＝知其运行速度要减小，但重力势能、机械能均增加．②当卫星的速度v减小时，所需向心力减小，即万有引力大于卫星所需的向心力，因此卫星将做近心运动，同样会脱离原来的圆轨道，轨道半径变小．卫星进入新轨道运行时，由v＝知运行速度将增大，但重力势能、机械能均减少．(卫星的发射和回收就是利用了这一原理)1．解决天体(卫星)运动问题的基本思路五、万有引力定律的应用(1)把天体(或人造卫星)的运动看成是匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供，关系式：(2)在地球表面或地面附近的物体所受的重力等于地球对物体的引力，即2．天体质量和密度的计算

(1)利用天体表面的重力加速度g和天体半径R.(2)通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T，轨道半径r.

①由万有引力等于向心力，②若已知天体的半径R，则天体的密度③若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度．六、经典时空观和相对论时空观1．经典时空观(1)在经典力学中，物体的质量是不随速度的改变

而改变的．(2)在经典力学中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是相同的．2．相对论时空观(1)在狭义相对论中，物体的质量要随物体运动速度的增大而增大.

(2)在狭义相对论中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是不同的．3．卫星变轨时半径的变化，根据万有引力和所需向心力的大小关系判断；稳定在新轨道上的运行速度的变化，由v＝判断．1．卫星的a、v、ω、T是相互联系的，其中一个量发生变化，其他各量也随之发生变化．2．a、v、ω、T均与卫星的质量无关，只由轨道半径r和中心天体质量共同决定．例1、如图所示，地球赤道上的山丘e、近地资源卫星p和同步通信卫星q均在赤道平面上绕地心做匀速圆周运动．设e、p、q做圆周运动的速率分别为v1、v2、v3，向心加速度分别为a1、a2、a3，则下列判断正确的是A．v1＞v2＞v3

B．v1＜v2＜v3C．a1＞a2＞a3D．a1＜a3＜a2[思路点拨]

p、q均为地球的卫星，其所受万有引力提供其做圆周运动所需的向心力，但e是赤道上的山丘，其受到的万有引力并不全部用来提供其做圆周运动所需的向心力，但其转动的角速度与同步卫星的角速度相同解析

v2、v3均为卫星的在轨运行速度，由G＝m可得v＝，所以轨道半径越大，线速度越小，故v2＞v3.

q是同步卫星，其角速度与e相等，所以由v＝ωr可知v3＞v1.因此v2＞v3＞v1，A、B均错．由G＝ma可知半径大的向心加速度小，故a3＜a2.根据a＝ω2r可知a1＜a3.因此a1＜a3＜a2，C错，D正确．比较同一中心天体的不同轨道上星体的v、ω、T、a等的大小关系时，由万有引力提供向心力推导出对应结果比较即可．但地球表面上的物体是随地球自转的，其所受万有引力并不全部用来提供其做圆周运动所需的向心力，因此上述规律不再适用，此时应用控制变量法比较大小，如赤道上的山丘和同步卫星具有相同的角速度，再结合v＝ωr和a＝ω2r就可比较v、a的大小．例2、(2010·江门模拟)2009年10月，美国的“半人马座”火箭以9000公里的时速撞向月球，原先设想应当产生高达10km的尘埃，而实际撞击场起的尘埃高度只有1.6km.若航天飞行控制中心测得火箭在离月表面176km的圆轨道上运行的周期为T1＝125min.火箭变轨后，在近月(高度不计)圆轨道上运行的周期为T2＝107.8min，且尘埃在空中只受月球的引力，则可以估算出

(

)A．月球半径R

B．月球表面重力加速度gC．空中尘埃存在的时间D．引力常量G解析：由万有引力提供向心力可得：综合以上两式可得：故可求出月球半径；而月球表面的重力加速度为：g＝

上升的尘埃可认为做竖直上抛运动，H＝

，所以空中尘埃存在的时间：t＝2t下．所以A、B、C三项可以估算出来．例3、(2009·宁夏高考)地球和木星绕太阳运行的轨道都可以看做是圆形的．已知木星的轨道半径约为地球轨道半径的5.2倍，则木星与地球绕太阳运行的线速度之比约为(

)A．0.19

B．0.44C．2.3

D．5.2解析：根据公式可得到线速度与轨道半径之间的关系：答案：B例4、已知引力常量G，地球半径R，月球和地球之间的距离r，同步卫星距地面的高度h，月球绕地球的运转周期T1，地球的自转周期T2，地球表面的重力加速度g.某同学根据以上条件，提出一种估算地球质量的方法：同步卫星绕地球做圆周运动，由(1)请判断上面的结果是否正确，并说明理由．如不正确，请给出正确的解法和结果．(2)请根据已知条件再提出两种估算地球质量的方法并解得结果．[思路点拨]

本题给定的条件较多：(1)月球绕地球运动，(2)同步卫星绕地球运动，(3)地球表面的重力加速度．应用万有引力提供向心力列方程均可求得地球质量．[课堂笔记]

(1)上面的结果是错误的．地球的半径R在计算过程中不能忽略．正确的解法和结果：得M＝[答案]见课堂笔记(2)方法一：对于月球绕地球做圆周运动，由方法二：在地面重力近似等于万有引力，由G

＝mg得M＝(1)由式中M为中心天体的质量，绕行天体(或卫星)的质量不能求得．(2)由M＝πR3·ρ得：ρ＝，此时应注意R与r的区别，

只有环绕星体沿中心天体的表面运行时，r＝R，才有

ρ＝1．(2010·惠州模拟)如图4－4－3所示是中国嫦娥一号卫星发

回的第一张月球表面照片，陨石落入月球表面形成的美

丽“花环”清晰可见．如果大量的陨石落入(忽略碰撞引起的月球速度变化)，使月球的质量增加，则(

)A．月球的公转周期不变

B．地月距离增大

C．某月球卫星的线速度减小

D．某月球卫星的周期减小图4－4－3解析：根据万有引力提供向心力可知，当研究月球公转时，公式与m无关，月球质量增加使月球所需向心力和所受引力同时增大，不影响地月距离和月球的公转周期，A正确，B错误；当研究月球卫星时，月球质量增大使卫星所受引力增大，大于卫星稳定时所需的向心力，卫星做近心运动，使卫星到月球的距离减小，线速度增大，周期减小，C错误，D正确．答案：AD2．2008年9月25日21时10分“神舟”七号载人飞船发射升空，

进入预定轨道自西向东做匀速圆周运动，运行轨道距地

面343千米．绕行过程中，宇航员进行了一系列科学实验，

实现了我国宇宙航行的首次太空行走(图4－4－4)．在返

回过程中，9月28日17时30分返回舱主降落伞打开，17时

38分安全着陆．下列说法正确的是(

)图4－4－4A．飞船做圆周运动的圆心与地心重合B．载人飞船的轨道高度小于地球同步卫星的轨道高度C．载人飞船绕地球做匀速圆周运动的速度略大于第一宇

宙速度7.9km/sD．在返回舱降落伞打开后至着地前，宇航员处于失重

状态解析：由于万有引力提供向心力，飞船轨道的圆心与地心重合，A选项正确．地球同步卫星的轨道高度是一定的，约为3.6×104km，飞船距地面的高度是343km，故B选项正确．第一宇宙速度是近地卫星的最大环绕速度，由v＝可知，载人飞船绕地球的线速度不可能大于第一宇宙速度，C选项错误．在返回舱降落伞打开后至着陆前，宇航员和返回舱一起做减速运动，加速度方向向上，宇航员处于超重状态，故C、D均错．答案：AB3．(2009·广东高考)发射人造卫星是将卫星以一定的速度送

入预定轨道．发射场一般选择在尽可能靠近赤道的地方，

如图4－4－5所示．这样选址的优点是，在赤道附近(

)A．地球的引力较大

B．地球自转线速度较大

C．重力加速度较大

D．地球自转角速度较大图4－4－5解析：为了节省能量而沿自转方向发射，卫星随地球自转而具有的动能在赤道附近最大，因而使发射更节能．B项正确．答案：B4．(2010·杭州七校联考)一宇宙飞船绕地心做半径为r的匀速圆周运动，飞船舱内有一质量为m的人站在可称体重的台秤上．用R表示地球的半径，g表示地球表面处的重力加速度，g′表示宇宙飞船所在处的地球引力加速度，FN表示人对秤的压力，下列表达式中正确的是()A．g′＝0