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二、无界函数的积分第八节正常积分积分限有限被积函数有界推广一、无穷区间上的积分机动目录上页下页返回结束反常积分(广义积分)反常积分与伽玛函数

第六章一、无穷区间上的积分引例.

曲线和直线及

x轴所围成的开口曲边梯形的面积可记作其含义可理解为机动目录上页下页返回结束定义1.

设若存在,则称此极限为

f(x)在[a,+∞)上的广义积分,记作这时称广义积分收敛

;如果上述极限不存在,就称广义积分发散

.类似地,若则定义机动目录上页下页返回结束则定义(c

为任意取定的常数)只要有一个极限不存在,就称发散.无穷区间上的广义积分也称为第一类反常积分.并非不定型,说明:

上述定义中若出现机动目录上页下页返回结束它表明该反常积分发散.引入记号则有类似N

–L公式的计算表达式:机动目录上页下页返回结束例.

计算广义积分解:机动目录上页下页返回结束思考:分析:原积分发散!注意:

对广义积分,只有在收敛的条件下才能使用“偶倍奇零”的性质,否则会出现错误.例.

证明第一类p

积分证:当p=1时有当p≠1时有当p>1时收敛;p≤1

时发散.因此,当p>1

时,广义积分收敛,其值为当p≤1

时,广义积分发散.机动目录上页下页返回结束例.

计算广义积分解:机动目录上页下页返回结束二、无界函数的广义积分引例:曲线所围成的与

x轴,y

轴和直线开口曲边梯形的面积可记作其含义可理解为机动目录上页下页返回结束定义2.

设而在点a

的右邻域内无界,存在,这时称广义积分收敛;如果上述极限不存在,就称广义积分发散.类似地,若而在b

的左邻域内无界,若极限数f(x)在(a,b]上的广义积分(或瑕积分),记作则定义机动目录上页下页返回结束则称此极限为函若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类说明:而在点

c

的无界函数的积分又称作第二类广义积分,无界点常称邻域内无界,为瑕点.例如,机动目录上页下页返回结束间断点,而不是反常(广义)积分.则本质上是正常积分,则定义下述解法是否正确:,∴积分收敛例.

计算广义积分解:

显然瑕点为

a,所以原式机动目录上页下页返回结束例.

讨论广义积分的收敛性.解:所以广义积分发散.三、函数1.定义机动目录上页下页返回结束下面证明这个特殊函数在内收敛.令机动目录上页下页返回结束综上所述,2.性质递推公式机动目录上页下页返回结束证:(分部积分)注意到:内容小结1.广义积分积分区间无限被积函数无界正常积分的极限2.两个重要的反常积分机动目录上页下页返回结束说明:(1)

有时通过换元,广义积分和正常积分可以互相转化.例如,(2)

当一题同时含两类反常积分时,机动目录上页下页返回结束应划分积分区间,分别讨论每一区间上的广义积分.第五节目录上页下页

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