以极坐标幅角问题窥视科学严谨性

火星村致地球村的(做客门理系)地球村各国科技界教育界传媒界并打假界的五湖四海朋友们们好!们辛苦了淡泊名淡泊利地客厦学系星移斗转，就地一我火也进入了“非线性科学新时代”。在我们火星村流传着一个家喻户晓题，那就是“一切满足存在性和唯一性的线性科学定解问题都一致地是解析显式可以解答的”。也许地球村人不相信，并也许称之为“广土皇宀火玉猜想”。然而，本着善意违背火星村禁令，告诉地球村人：该命题的确是真命题！因为也许称之为“广土皇宀火玉猜想”题有四个前提：线性，定解问题，存在性，唯一性；所以必然有命题的结论。“线性科学旧时代”显式解答法去，理论上没有任何历史遗留问题的道理。然而地球村却不但没有把旧时代的上述几类基本问题全部纳入高等教育的教科般性变系数齐次二阶常微分方程定解问题没有解析解答”的（仅仅才二阶啊！仅仅齐必须，火星村人关于“解析解答”的概念是：一个满足存在性和唯一性条件的线性科学定解问题的答案满足“方程或方程组的左边项只有未知函数标量或未知函数矢量或未知函数张量，而方程或方程组的右边项是与未知函数无关的依赖于系统参数和系统初始条件或边界条件的花样理论联系实际的已知量表达。”关于这个“解析解答”概念的认知，也许我们火星村人跟地球村人不同，所以才长期导致不相信“也许称之为广土皇宀火玉猜想”的那个命题的确是真命题啊！火星村人唯物论辩证法，相信在“科学发展观”伟大辩证法思想光芒的照耀下，地球村迟早会解决上述旧时代的历史遗留问题的。火星村人担心地球村人跟我们在太空领。“人人更想当”和氢弹已经太可怕了；如果知道“也许称之为广土皇宀。１的“氢原子和氦原子的解析求的水平上），没办法揭开“任意多体问题”就没办法给出“任意多体问题的系统特征值公式”，没办法揭开“任意多体问题的特征值公式”就没办法给出“超级解析组合理论”，没有这一“超级解析组合理论”就没办法给出提供给计算机的算法，没有提供算法计算机就不可能输出所期盼的数据，没有“计算机的输出数据”就不可能拟合出经验公式，没有拟合出经验公式就不可能知道最优化的组合是什么，不知道最优化的排列组合理论就不可能付之于工程实验，没有工程实验就不可能设计出“超级核弹”，没有“超级”的发明那个横行霸道的“山姆大叔”就不乖就不守规矩，“山姆大叔”不乖不守规矩，地球村就更加不安宁。然而另一方面，如果火星村人告诉地球村人“也许称之为广土皇宀火玉猜想”的必须特别，地球村里有个荒唐的故事！火星村人查遍太多的文献资料后，发现整个地球村的科学或教学文献上，就连最最基本的“二的直角坐标(x,y)和极坐 的反变换关系”都弄得乱七八糟的故事。其实，地球村人和火星村人的智商在同一个景润星”的生前就是村人，比如火星村人更加赞赏村里那个“淡泊名淡泊利的伟大的数学家佩雷尔曼的故事”。为了向佩雷尔曼先生深表敬意，在这个极坐标反变换关系的rcosxrsiny”可以效仿佩雷尔曼先生“无偿地送给地球村人完整的严格答就如同这个伟大的民族践行实事求是的唯物辩证法理念，曾经地修正的大“探索真理，面对问题；止于，解决问题”是２征，所以局部的逻辑谬论会演化或出新的谬论。比如说若藐视无理数和有理数之间2 2咱们两村人都是凡人。孰能无过？知过改之也！火星村人地拭目以待！希望科学长足进步，不远的将来咱们俩村人一村亲！祝地球村科技界教育界传媒界打假界全体同仁身体健康，一切顺利 做客于厦门大学物理系客栈：客栈邮箱：３地球村极坐标幅角反变换的瑕疵r002的第一种主值分支”极坐标或r0的第二种主值分支”极坐标之间两种映射都满足一一对应关系。一方面若给定任何一种主值分支极坐标(r,，则有正变换表达式xr yrsinx2yx2x2yx2yr1 或r2 0202(x, ，对于第一种或第二种主值分支极坐标，这里的幅角反变换01或02 地球村里“不具有完备性特征”的极坐标幅角反变换表达形式rr x2y arctan”辑关系是普遍联系的，所以这种幅角反变换表达形式（这里，有的地方写成tan1yx）接近谬论，误 地球村里“不具有唯一性特征”的极坐标幅角反变换表达形式rr x2y tan由于tan(tan；该表达让人难以在第一象限和第三象限准确选择，也难以在地球村里“不具有显函数特征”的极坐标幅角反变换表达形式rr x2 cosx2 sinx2４坐标(x,y)的极坐标幅角的解析表达式，因此不具有显函数特征。r xr x2y tan（其中幅角由直角坐标(x,y所处象限给定唯一依赖于直角坐标(x,y)的因此也不具有解析式准确表达特几个概念众所周知：当xy xy0时，二维平面上的原点极坐标(0,)的幅没有意义（不具唯一性。于是，不失一般性，考虑非原点坐标情形第一种主值分支情形第一种第 分支，第一种主值分支；第一种正向分支和反向分当xy0时，若规定幅 的第一种第 分支范0k0k22k2 (k(xy和第一种第k分支极坐标(r,)k之间显然是一一对应的，表达为(x,y)(r,)k。特别地，当k0时的分支称为第一种主值分支。当r0时，称为第一种主值正向分支；当r0时，称为第一种主值反向分支。由于(r,)(r,)；于是，不失一般性研究第一种主值正向分支，然后将解答这里，第一种第k分支幅角和第一种主值分支幅角之间相k2 角坐标和第一种主值正向分支极坐标之间的一一对应关系。第一种可去间断线；第一种分支切换间断线定义x0;y0和x0;y0以及y0x0的三条半坐标轴线称为“５第二种主值分支情形第二种第 分支，第二种主值分支；第二种正向分支和反向分

xy0时，若规定幅 的第二种第k分支范 (kk2k2，则k，二维平面的直角坐标(xy (kk2k2值分支幅角之间相差k2 当r0时，称为第二种主值正向分支；当r0时，称为第二种主值反向分支。由于(r,)(r,)；于是，不失一般性研究第二种主值正向分支，然后将解答k分支幅角和幅角之间相差k2 直角坐标和第二种主值正向分支极坐标之间的一一对应关系。第二种可去间断线；第二种分支切换间断线定义x0;y0和x0;y0以及y0;x0的三条半坐标轴线称为“利于问题解决的四条基本引理1xRyR，xy0arctanyy 0x2yx2y证明：1)x0,y0时；与直角三角形的勾股定理（两条直角边x和y x2x2

0,y0６引理1演变为arctan0arcsin0arccos 0/2也显然成立。3)x0

y0时，引理1演变为arctanarcsin1arccos 0/又显然成立（x0x0皆成立的所谓可去间断点认知的1xy02xRyR，xy0x2y(1x)x2x2y证明：1)

0,

xx2yx2y 2显然成立。2)xx2yx2y2演变为arccos1(1x2

xarccosxx0x03)x0,y0时，引理2演变为arccos00arccos0x0,y02演变为arccos0arccos0，显然成立。这里，x0,ya(x,y)1(1x)(1y a(x,y)1(1x)(1ya(x,y)1(1x)(1a(x,y)1(1x)(1y a(x,y)1(1x)(1ya(x,y)1(1x)(1y a(x,y)1(1x)(1ya1xya2xya3xya4xy分别称为非坐标轴点第一象限判别函数，当且仅当非坐标轴点直角坐标(xya1(xy1a1(xy0当且仅当非坐标轴点直角坐标(xya2(xy)1a2(xy)0７当且仅当非坐标轴点直角坐标(xya3(xy1a3(xy0当且仅当非坐标轴点直角坐标(xya4(xy)1a4(xy)0证明：a1(xya2(xya3(xy),a4(xy)的定义，甚容易通过直接验证，引理3的性质显然成立。4.1xRyR，x

y0，若(r,01为极坐标反变换问题的一种主值正向分支的解答，此意即假设rcos01 rsin01则有第一种主值第k正向（n0）分支或反向（n1）分(r(nn表达rr(n)(1)n 11n2k2(n0,1 k证明：

(n ( 1r1

(1)rcos[ k22

1rcos[01 ]r2r(n)sin(n)(1)nrsin[1(1)nk2 (1)nr

1(1)n]rsin2)

xr(n)sin

y；从而(r(n(n 足极坐标方程，于是引理4.1成立。证明完毕。同理可以证明如下引理4.2引理4.2：xR,yR，假设xy0，若(r,02)为极坐标反变换问题的第一种主值正向分支的解答，此意即假 rcos02;rsin02则有第二种主值第k正向（n0）分支或反向（n1）分支的(r(nn表达k８rr(n)(1)n 2k1n2k2(n0,1 k两种主值问题解答定理第一种主值问题的幅角解答（定理非原点极坐标幅角反变换第一种主值问题0012)xRyR，xy0，

tan01tan01xx2,x2y0101(x,y)问题：在第一种主值范围内0101(x,y)（要求1：给出准确落入机会均等的四个象限的一般性解答表达形式。要求2：特别丢掉半边天，第二和第三象限。要求3：特别禁止以文字的形式辅助说明01） 1：xRyR，xy0，则对于第一种主值分支极坐标(r,)0的幅角反变换0101(x,y (x,y) y2xy2xy其中，由1的三种全等的表达形式的任意一种证明：对于极坐标幅角第一种主值反变换问题，一方面对于二维平面上的非坐角坐标(x,y)

x0

y0兹按照非坐标轴点象限位置数a1(xya2(xya3(xya4(xy的性质0101(x,y)a1(x,y)a2(x,y)()a3(x,y)()a4(x,y)(2a1(xy给出第一象限情形，a2(x,y)给出第二象限情形，９ (x,y)1(1x)(1y) (x,y)1(1x)(1y)1(1x)(1y)()4x41(1x)(1y)()1(1x)(1y)(2 yxyxyxy合并同类项整理之，甚容易等价地得到1。其中，由1另一方面，对于二维平面上的坐标轴点直角坐标 y)情形，可以直接验证1）当(xyxx0y01有0，容易验证定1成立（y0y01都成立；这里，y0是定理1的可去间断点。2）当(xyxx0y01有0，容易验证定1成立（y0y01都成立；这里，y0是定理1的可去间断点。3）当(xyyx0y01有2，容易验证1成立（x0x01都成立；这里，x01的可去间断点4）当(xyyx0y01有2，容易验证1成立（x0x01都成立；这里，x01的可去间断点。第二种主值问题的幅角解答（定理非原点极坐标幅角反变换第二种主值问题02)xRyR，xy0，

tan02tan02xx2y,x2y0202(x,y)问题：在第二种主值0202(x,y)（要求1：给出准确落入机会均等的四个象限的一般性解答表达形式。要求2：特别丢掉半边天，第二和第三象限。要求3：特以文字的形式辅助说明 所处象限的位置 2：xRyR，xy0，则对于第二种主值分支极坐标(r,)0的幅角反变换0202(x,y)问题，有 (x,y)(1 ) xy2xy其中，由1的三种全等的表达形式的任意一种给出证明：对于极坐标幅角第二种主值反变换问题，一方面对于二维平面上的非坐标轴点角坐标(x,y)

x0

y0，兹按照非坐标轴点象限位置判别函数a1(xya2(xya3(xya4(xy)的性质0202(x,y)a1(x,y)a2(x,y)()a3(x,y)()a4(x,y)a1(xy给出第一象限情形，a2xy)给出第二象限情形，函数的定义等价地表达为

(x,y)1(14

x)(1y)1(1yx4yx

x)(1y)(yx1(1x)(1y)()1(1yx

x)(1y)

合并同类项整理之，甚容易等价地得到2。其中，由1另一方面，对于二维平面上的坐标轴点直角坐标 y)情形，可以直接验证当(xyxx0y01有0，容易验证定2成立（y0y02都成立；这里，y0是定理2的可去间断点。2）当(xyxx0y01有0，容易验证定2成立（y0y02都成立；这里，y0是定理2的可去间断点。3）当(xyyx0y01有2，容易验证2成立（x0x02都成立；这里，x02的可去间断点4）当(xyyx0y01有22成立（x0x02都成立；这里，x02的可去间断点。定理1的三款表述及其全等性第一种主值问题解答的反正切表述推 1：对于非原点极坐标幅角第一种主值反变换问题，有反正切第一种准确表 (x,y)(1x)yarctan xarctanxy x y x y xy 2xy;,x x y yx xyyx yxyx 01(x,y)yxy

xy

由于arctanz

(x,y)yxyarctan(xy yx yx

y

(x,y)(1x)yarctan 第一种主值问题解答的反正弦表述推 2：对于非原点极坐标幅角第一种主值反变换问题，有反正弦第一种准确表 (x,y)(1x)yx x2yx2y x y xyx2yx2y xy2x2y x yx2 xx2

(x,y)yxyxyyx2yyx2y

xyyx2xyyx2y

(x,y)yxy

xarcsin(y

(x,y)y

xy

x

y

x2x2y第一种主值问题解答的反余弦表述推 3：对于非原点极坐标幅角第一种主值反变换问题，有反余弦第一种准确表 (x,y)(1y)y x2yx2y x yxyx2y2arccos x2y x y2x2yxyx2x2

(x,y)y

xy

xyy yxyxxyx

yxx2yyxx2y

(x,y)yxy

xy[

x

x

x xxx2yyx2y01(x,y)(1y)yx2y角角反变换 (x,y) ) (1 ) (x,()x y的1,y2和推3的三种表x y 满足 x2y)(1 ) yx2yyy第一种主值问题推论1～3的全等性3：xRyR，xy0，对于第一种主值分支极坐标(r,)0 / 01(x, /3/ x x x x y y y y ;x,y ;x,y ;x,y ;x,y x y证明：兹在可去间断点的意义下证明全等性关系成立。x)yarctany(1x)y

x xxyxx21） xxyxx2x等价地表达为arctanyxx

x x2x2y

x，等价地表达为xarctany x xx2x2yx 并注意到arctanz和arcsinz为奇函数，等价地表达yxyx

yx2y兹yx2y2）(1x)yx )(1y)yarccos x2yx2y x2yx2y等价地表达为(1x)yx )yy xx2yyyxxx2yyyx2yyy，并注意到arcsinzyx2yxyx2y

xx2y xx2y

x

x

x2yxx2yxx2x2y另外，容易验证三种表达具有定理中的共同定理2的三款表述及其全等性第二种主值问题解答的反正切表述推 4：对于非原点极坐标幅角第二种主值反变换问题，有反正切第二种准确表 (x,y)(1x)yarctan xarctanxy x y x y xyx x y xyx y yx xyyx

(x,y)(1x)yxyyx yx

x x由于arctanz

(x,y)(1x)yarctan(xy yx yx

x x

(x,y)(1x)yarctan 第二种主值问题解答的反正弦表述推 5：对于非原点极坐标幅角第二种主值反变换问题，有反正弦第二种准确表020202(x,y)(1 ) x y xx2yx2y x y xyx2yarcsin x2y x yx2y x yyx2证明：兹由定理2和引理1，取 xyyx2

(x,y)(1x)yxy yyx2yyx2y

x x yx2yx2yxyxy

(x,y)(1x)yxy2xy

xarcsin(y 02(x,y)(1x)y

x x x

x2x2y第二种主值问题解答的反余弦表述推 6：对于非原点极坐标幅角第二种主值反变换问题，有反余弦第二种准确表xx2 xyxx2

(x,y)(1x)yyxyxx2yxx2y兹由引理2

x x x x xxxx2y

y

x (x,y)(1 )

(

x2y x y (x,y)yx2y xyx2y arccos x2y xyx2y x y

02(x,y)y y xyx2y第二种主值问题推论4~6的全等性4：xRyR，x

y0，对于第二种主值分支极坐标(r,)0 (x,y)(1x)y (x,y)(1x)yarctany(1x)yxx2yyx2y // (x,y)/ x x x x y y y y (x, x0,,, xy0xy0xy0,y证明：兹在可去间断点的意义下证明全等性关系成立。y1）(1x)yarctany(1x)yy

x xxx2y xxx2y等价地表达为arctany

x ；两边同乘以x 并注意到arctanzxyx2yxyx2yyxyx xx2yyx)yx y xx2yyxx2yyx2y

x2yyx2x2yyx2yxx(1x)xx2

x

xxx2y兹由引理1，xxx2y

(1x)x2x

x xx2y另外，容易验证三种表达具有定理中的共同至此，容易得到rcosxrsiny”问题的一切解的极坐标反变换不定方程问题通解第一种极坐标反变换定理（广土皇宀火玉xRyRxy0，对于k正向或反向分支rcos rsinrcos rsin (1)nx 122k ) y y(n0,1 ky /1(1)n22k3//;;(x0(x (x (x y y y y(n0,1 k

11(1)n22k (x y0 (x y0 (x y0(n0,1; 0 (x y0第一种第k分支反向解。第0分支（k0）特别称为主值分支。定理有机部分注释1.2：式（*1b）和（*1c）x0;y0x0;y0的半坐标轴线为“第一种分支切换间断线”。这里，原点也特别称为支点。x0;y0x0x0极限y0x0时，定理结论也y0y0极限结果y0x0时，定理结论是基于y0y0极限结果关于“分支切换间断点”认知的。第二种极坐标反变换定理（广土皇宀火玉xRyRxy0，对于k正向或反向分支rcos rsinrcos rsin (1)nx k122k ) yxyx2(n0,1 kyx /k1(1)n22k// (x (x (x (x y y y y(n0,1 k

kk1(1)n22k (x y0 (x0,y0) y0 (x y0(n0,1