六年级奥数：扇形的周长与面积和弓形面积

六年级奥数：扇形的周长与面积和弓形面积圆规和直尺圆规和直尺一块儿住进了文具盒。圆规说：“我能画圆，你行吗？”“我横竖都会画，你行吗？”直尺很不服气。文具盒听了，说：“别争了，谁能画一面扇形，谁就最行。”圆规和直尺都为难了。文具盒又说：“你俩一块儿合作，不就行了吗？”圆规和直尺同心协力，很快画好了扇形。从此，它们成了好朋友。编后语：圆规和直尺各有自己的长处，也各有自己的不足，两者是不应互相瞧不起的。后来，由于双方的真诚合作，充分发挥了各自的优势，创造了许多新的事物。这则寓言告诉我们这样一个道理：一个人的智慧和力量是有限的，众人合作就会创造出新事物，新生活。圆的知识:.当一条线段绕着它的一个端点O在平面上旋转一周时，它的另一端点所画成的封闭曲线叫做圆，点O叫做这个圆的圆心..连结一个圆的圆心和圆周上任一点的线段叫做圆的半径..连结圆上任意两点的线段叫做圆的弦.过圆心的弦叫做圆的直径..圆的周长与直径的比叫做圆周率.圆周上任意两点间的部分叫做弧..圆周长二直径xn尸半径x2兀 圆面积=3半径2.扇形的知识：.扇形是圆的一部分，它是由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧组成的图形.顶点在圆心的角叫做圆心角.第1页共14页.我们经常说的1圆、1圆、1圆等等其实都是扇形，而这个几分之几表示的其实是这2 4 6个扇形的圆心角占这个圆周角的几分之几.那么一般的求法是什么呢？关键是—.360.扇形中的弧长二黑扁形的周长二黑+2r扇形的面积二山=hr.180 180 360 2弓形的知识：【例1】弦与它所对的弧所组成的图形叫做弓形.【一般来说，弓形面积=扇形面积-三角形面积.（除了半圆）】重点：圆与扇形的面积和周长计算公式；弓形的面积公式。难点：计算周长时，首先要分清围成这一图形的边有哪些，再正确计算。计算面积时，首先要根据图形组合的形式，用会求的图形的面积去求的题目所要求的图形面积。【例1】将半径分别为3厘米和2厘米的两个半圆如图放置（小圆过大圆圆心），那么阴影部分的周长是多少厘米？法1:阴影部分的周长二大半圆弧长十小半圆弧长+两条线段的长.二大半圆弧长+小半圆弧长+（小圆直径一大圆半径）+大圆半径法2:阴影苗分的周长二大半圆周长十小半圆周长-2x大半圆半径【答案】阴影部分的周艮=211X2X-+2ttX3X-+（3-2）+3=57t+4=19.71.厘米）2 2第2页共14页

【巩固】如图所求，圆的周长是16.4厘米,圆的面积与长方形的面积正好相等.图中阴影部分的周长是厘米.（8:3」4）【解册】设圆的半径为「厕圆面积即长方形面海为G■工故长方形的长为D匚=仃I阴影部分局长=DC+EC+BX+AD=仃+了+（仃一力+^父2仃=三乂2狂r=三工164=厘米）阴 4 4 4【答案】2a5厘米【例2】在一个大圆内有许多个小圆，其直径的和等于大圆的直径。请问：大圆周长与所有小【解析】设五个圆的直径分别为心，&，必，d5）则4=山+也+/+4所有小网周长的和5dl+nd2-Fnd3+nd4=ntd1+d2+&）=tc（1s=大圆周长【巩固】已知AB=50厘米，求图中各圆的周长总和。［解析］各圆周长的和=直径为50厘米的大圆的周长口［答案］各圆周长的和二50kl57cm【例3】夏天到了，爸爸从商店买了4瓶啤酒，售货员将4瓶啤酒捆扎在一起，如图7所示，捆4圈至少用绳子多少厘米？（接头处忽略不计）第3页共14页

【解析】捆每一圈的德长可分解为四段相等的弧长与四段相等的线段技&捆每一周的四段弧长可以拼成一个整圆一每条或段的首度都等于直径的长度.总绳长二（7x4+7-31）X4（厘米）=（2SkI112）（厘米）=199.92（厘米）【巩固】有7根直径5厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它们捆成一捆（如下图），此时橡皮筋的长度是多少？捆每一圄的绳长可分解为6段相等的福长与6段相等的线段长.捆每一园的ES段瓠长可以拼或一个整圆，每条线段的长度都等于直任的长度.总绳大=5*6+5正（厘米）I等案】总蹦技■二务"+豆江1厘米）印5。（厘淞）【例4】三个半径为100厘米且圆心角为60°的扇形如图摆放；那么，这个封闭图形的周长是厘米.（兀取3.14）［解析］三个扇炒的弧技相当于半径100厘米,圆心用为1X0度得扇形弧装，2X3.14k—=314第4页共14页

【巩固】分别以一个边长为2厘米的等边三角形的三个顶点为圆心，以2厘米为半径画弧，得到右图；那么，阴影图形的周长是 厘米.（取3.14）【解析】每段瞅长为六分之一圆弧，因此阴影的周大二六个六分之一圆弧的艮度和二一个圆的周长=2x2X3.14:12.56厘米【例5】求下列各个阴影部分的面积；（答案用一表示即可）第5页共14页(1｝阴影面瓶口扇出面枳三南形面积56gxl-6X3+2=9ir-9(2)阴影面积二扇形面枳一三南形面积54工乂：-4x4+2=4ir—8(3)阴影面枳二(扇形面枳一三角形面积)X2或者阴影面枳三扇形面枳X2一正方形面根=n4>X^X2-4X4=8k-16(4)阴影面飘二扇形面粉一半圆面枳=tt2?X—irl2X|=1it(5)阴影面瓶二正方超面积扇形面积三4X4—口甲X：=16—4n【巩固】下列图形中的正方形的边长为4,求各个阴影部分面积的大小；(答案用一表示即可)1(1)阴影面积=4倍叶子的面枳=4X(2X2-irZ24)=16-4tt(2)阴影面积=正方形面积1个I®面租=4X4—n22=1&—4tt【例6】在直角三角形中，已知三角形的两条直角边分别为3厘米和4厘米，以三角形的顶点为圆心的三个圆，半径长都是1厘米，求图中阴影部分的面积。()第6页共14页

阴影面枳二直角三角形面积减去三个扇形面枳之和三个扇形面粽之和=半径为1的圆的面却【答案】阴影面积三3x4+2—兀xF=6—n（厘米）=3（.厘米）【巩固】图中三个圆的周长都是25.12厘米，不用测量，计算出图中阴影部分的总面积。【解析】先求出扇形的半径三个小扇形和在一起是一个角度为3注90=270度的扇步【答案】阴影部分的面枳二（25.12+M14+2）*X殁券=37.681平方厘米）【例7】两个圆半径都是1厘米，且图中两个阴影部分面积相等，求长方形ABOO’的面积。（兀取3）【解析】直接去求，设阴影部分的面积为注，则长方形AEOO,的面积三xnxl2-|-ix<n-xl2-a+a=|n=0.5平方厘米【巩固】下图中，正方形的边长是5cm,图形的总面积是多少？（兀取3）第7页共14页【解析】一个圆的面枳十四分之三圆的面猊十（正方格面枳.四分之一圆的面积）二一又二分之一圆面枳十正方形面枳=37,5—25=137.5平方厘米【例8】如下图所示，AB是半圆的直径，O是圆心，，乂是的中点，H是弦CD的中点.若N是OB上一点，半圆的面积等于12平方厘米，则图中阴影部分的面积是平方厘米.由于CD是半圆的两个三等分点；M是①的中点，H是弦CD的中点，所以这个图格是对称的，由对称极可的CDAB平行，所以，三角形CHN和三角影CHO的而和相等,所以阴影部分的面枳等于扇粥COD的面枳的一半：而扇用COD的面积又等于牛圆面积的三分之一、所以明韵部分的面枳等于半圆的去分之一，为12+6=2平方.厘米【巩固】如图，C、D是以AB为直径的半圆的三等分点，O是圆心，且半径为6.求图中阴影部分的面积.连接DC、OD.CD由于由于C、D是半圆的两外三等分点，所以三角彤AOC和三角形CPD都是正三角形，那良C口与AB平行，防以三角形AOC和三两阳口3口的面积相等，那之所以阴秘部分的面枳等于扇形COD的面积，为nrx62x==61T=18,84第8页共14页

【例9】图中圆的直径AB是4厘米，平行四边形ABCD的面积是7平方厘米，角ABC等于30°,求阴影部分的面积（）连接CO一则阴影部分的而松-平行四边形ABCD的面版一扇形AOC面粗一三角彩COE面积阴影春分的面松=7—|Xn;X2i—X7=g—gk=3.25平方厘米或者是阴影部分的面积乏一《二,区2工一之＞＜皿乂9=?一：,=3.25平方厘米【巩固】三角形ABC的面积是31.2平方厘米，圆的直径AC=6CM，BD:DC=3:1，求阴影部分的面积。【解析】三角用ADC的面板二四分之一三角形ABC的面枳=31247.8三角形AOD的面积二二分之一三角期ADC的面积=39阴影面珈二三分之一间-里9=航-3.9=5.52平方厘米【例10】每个小圆的半径都是1，求阴影部分的周长和面积第9页共14页【解析】由小画的半径可以推出大回的半径为3.阴影部分的面枳二大圆的面那吹去7个小圆的面料=tl32-nXl2X7=2n=6.28阴影部分的周长匚大园的周长加上7个小国的病长=2irx3+2nX1X7=2Utt=62.8【巩固】正方形ABCD的边长是1厘米，现在依次以ABCD为圆心，以ADBECFDG为半径画出扇形，得到下图，的阴影部分，求阴影部分的面积和周长。【解析】阴影部分的面枳为㈣力扇彩的面梆和.阴影部分的周长为四个四分之一圆弧的和.+一个正方形的边长.阴影部分的面积WX3,14X〔V+2±+3?+产｝=23.55平方厘米阱影部分的周长」X2X3.14X(1+2+34-4)+1X4=L9.7厘米4堂检蒯1、下图是三个半圆（单位：cm），其阴影部分的周长是多少?第10页共14页

【解析】阴影部分的周长二三个半圆的周代相加【答案】阴影部分的周管=（IOk+M+1n）=2二1乐2、一个人要从A地到B地（如图），有两条路可走，是按哪一号箭头所走的路线近一些?为什么？两条路线相等。设五个圆的直径分别为由，之,与，4，则4=九+2+/2号珞缄=（irdi+互也+ndQ+25（山+心+&）+Z=nd4+2=1号路战【答案】一样近.3、如下图所示，平行四边形ABCD的面积是40求图中阴影部分的面积。［解析］连接RD三南形BDC面枳二20因为。为DC中点，三角形BOC面枳为三角形BDC面积的一半等于1。cni4、图中三角形是等腰直角三角形,阴影部分的面积是多少平方厘米?第11页共14页从阅中可以看出出第部分的西叔是两个半圃的面积与三角格面锐之差t即3.14乂（6 -L”=10,262复习总结复习总结在解决圆与扇形的周长和面积时，首先要找到所求图形的周长（或面积）是由哪几部分组成的，再利用公式去解决问题。家庭作业1、AB是圆的直径，C、D是AB上两点且AC=CD=DB=3厘米.求阴影部分的周长。【解析】阴影部分的周长二个直径为（5的半圆的瓶长+2个直径为3的半圆的弧长【答案】阴影部分的周长=frrt+3n=97T=28.26（.厘米）2、如图所示，连接六个半径为3厘米的小圆的圆心组成一个六边形，求六边形内阴影部分面积。第12页共14页

【解析】利用六迓形的内用和为720度“相当于两个小圆的面枳阳果部分面料5X32x^=1871（平方厘米）3、如图所示，求阴影面积，图中是一个正六边形，面积为1040平方厘米，空白部分是6个半径为10厘米的小扇形.（圆周率取3.14）【解析】六个小扇彩都是圆心角为120度得扇用.阴影部分的面积二正六边形面积减去六个小扇形的面T两一3"xdX券X51040-628=412平方厘米4、如图所示，以B、C为圆心的两个半圆的直径都是2厘米，则阴影部分的周