运筹学-第十章-多目标决策

第十章多目标决策多目标决策问题及其有效解偏爱和多目标决策问题的求解评价函数法目标规划层次分析法软件应用10.1多目标决策问题及其有效解多目标决策问题引例

多目标决策问题的有效解

例1（投资决策问题）公司有50万元资金，打算向两个项目投资。已知项目1的利润为投资额的10%，但风险小；项目2的利润为投资额的20%，但风险大。由于其他原因，公司对项目1的投资不能少于10万元。试问：如何投资，才能兼顾利润和风险？x1

+x2

50

x1

10

x1，x2

0

maxz1=0.1x1

+0.2x2maxz2=x1

-x2s.t.设x1为项目1的投资额，x2为项目2的投资额

常用的风险度量：VaR&CVaR例2（生产计划问题）某工厂生产5种产品：1号品，…，5号品。该厂生产i号品的生产能力是ai

件/小时，每件i号品可获利

元。根据市场预测，下一季度3,4,5号品的最大销售量为bi吨，而市场对1和2号品的需求是尽可能多的。工厂下一季度的生产能力为T小时。试问：如何安排下一季度的生产计划，在避免开工不足的条件下，使工人加班时间尽量地少、工厂获利最大、满足市场对1号品和2号品尽可能多的需求？设该厂下一季度生产i号品的时间为xi小时（i=1,…,5）多目标最优化模型

(MultiobjectiveOptimization/VectorOptimization)

其中多目标决策问题的共同特点目标之间的不可公度性：指各个目标一般没有统一的衡量标准，因而很难进行比较目标之间的冲突性：大部分多目标决策问题存在着冲突。即如果采用某种方案去改进一个目标值，很可能会使另一目标值变坏多目标线性规划分层多目标最优化模型第1优先层，…，第L优先层与偏好有关多目标决策问题的有效解对于一个可行解，如果不存在“优于”它的可行解，则称其为有效解（帕累托最优解；非劣解）设。若不存在使得且至少有一个是严格不等式，则称是（VP）的有效解例1的有效解P3(10,40)P1(10,0)x10x2决策空间P’2(5,50)P’1(1,10)P’3(9,-30)A(7,10)z2z1目标空间设。若不存在使得则称是弱有效解找不到一个解，使得各目标值都比的严格小若，则它是有效解的充要条件是为的最优解有效解判别方法之一对多目标线性规划如何判断一个可行解是否为有效解？

结论：若为LP的最优解，则必为有效解若不是LP的最优解，而是y，则y即是有效解例已知一个多目标决策问题（Max问题）可行解(2,0,0)是否为有效解?

构建线性规划有效解存在定理设X⊆Rn.若f(x)=(f1(x),…,fp(x))中的各函数fk(x)(k=1,…,p)在X上连续，并存在使集合是有界闭集，则（VP）存在有效解

有效解判别方法之二对若wk>0，是(Pw)的最优解，则它是有效解若wk≥0且至少有一个>0，是(Pw)的最优解，则它是弱有效解

有效解判别方法之三10.2偏爱和多目标决策问题的求解

偏爱与价值函数多目标决策问题的偏爱结构

多目标决策问题的求解思路

偏爱例某公司准备提升一位部门经理，由人事部门对三个候选人就能力、合作精神、进取心进行评优，给出分数如下：

得分候选人1(x1)候选人2(x2)候选人3(x3)能力789合作897进取978该公司总裁在选拔干部时，注意特长，他喜欢在某一方面比别人分数高的人，当某人一项指标高过另一人2分，他就认为前者好，因此他的看法是：

该公司副总裁则注意合作精神和进取心，他认为这两项评分之和高者是优秀人才，因此他的看法是：

每个人有不同的偏爱，因而产生不同的选择

价值函数

U(x1)>U(x2),A(7,10)B(6,45)C(8,-20)z2z1偏爱结构

多目标决策问题的求解利用决策者偏爱结构确定价值函数，将多目标问题转化为单目标问题线性加权法理想点法极大极小法参考目标法10.3评价函数法线性加权法最简单、最基本的方法（其中)若决策者认为某可行解是一个比较好的选择，则例某公司有A,B,C三种产品，利用两种资源I,II,数据如下：ABC总量I756250II695210价格系数10.80.9产量111外销总量0.40.60.2

理想点法理想点：通过定义目标与理想点之间的距离，将多目标问题转化为单目标问题来求解距离定义可采用几种方式：距离模评价函数p-模评价函数极大模评价函数几何平均评价函数例（极大模评价函数）权重确定方法α－法均差排序法专家小组法判断矩阵法其他求解多目标规划的方法交互规划法逐步宽容约束法权衡比替代法逐次线性加权和法混合优选法－－多目标混合最优化模型分目标乘除法功效函数法选择法分层求解法－－分层模型完全分层法，分层评价法，分层单纯形法目标规划法10.4目标规划目标规划的产生与发展目标规划模型目标规划的产生与发展目标规划由美国学者查恩斯与库伯于1961年首次提出，基本思想是求尽可能接近某个目标值的解1965年，艾吉里在处理多目标问题、分析各类目标的重要性时，引入了赋予各目标一个优先因子及加权系数的概念，进一步完善了目标规划的数学模型求解目标规划的方法则由杰斯基莱恩和桑·李提出并加以改进目标规划是在线性规划的基础上，为适应企业经营管理中多目标决策的需要而逐步发展起来的。目标规划是一种数学方法基本含义：在一定约束条件下，要求多个目标达到或尽可能接近于给定的对应目标值特点：既保持了线性规划易于计算的特点，又克服了线性规划只能解决单一目标优化问题的局限性目标规划模型目标函数目标值引入距离得到目标规划模型分层目标规划模型不一定是理想值

距离的若干种定义

fk

关于的正偏差fk

关于的负偏差

由定义知一般目标规划为

可以略去r=1距离定义下的目标规划模型

r=∞距离定义下的目标规划模型x1

+x2

50

x1

10

x1，x2

0

max(0.1x1

+0.2x2,x1

-x2)s.t.例1

令目标点f＊=(9,15)，得到r=1距离定义下的目标规划模型

安全度，理想点(9,50)仍令目标点f*=(9,15)，可得r=∞距离定义下的目标规划模型转化为线性规划模型仍令目标点f*=(9,15).决策者希望，若安全度比15小，则尽量接近15；若超过15，则多少均无差别.对利润目标亦然.即要求负偏差尽可能地小若决策者对各目标的偏差有不同偏重，可以适当添加权重目标规划的形式：Minf(d+,d-)

要求尽量接近目标值，即正负偏差都要尽可能地小。则有Minf(d+,d-)要求不超过目标值，即允许达不到目标值，但尽量不超过目标值，即正偏差尽可能地小。则有

Minf(d+)要求超过目标值，超过量不限，即负偏差变量要尽可能地小。则有Minf(d-)对具体问题，可根据决策者的要求来构造适当的目标规划若决策者对各目标偏差划分不同等级，也可以对目标赋予优先因子，得到分层的目标规划例某厂生产A，B两种产品，具体情况如表：现管理部门提出三级目标：第一级目标：每班产值达到750元第二级目标：充分利用两个车间的工时第三级目标：尽量减少加班时间

试利用目标规划法在争取上述管理目标实现的条件下，拟订一个满意生产规划单位消耗A产品B产品生产能力（小时/班）加工车间1360装配车间1140产值（元/件）1525设x1,

x2

分别为两种产品的产量，正偏差变量dk+表示决策值超过目标值的部分，负偏差变量dk-

表示决策值未达到目标值的部分。则分层目标规划模型为分层多目标规划……例某电视机厂装配黑白和彩色两种电视机，每装配一台电视机需占用装配线1小时，装配线每周计划开动40小时，预计市场每周彩色电视机的销售量是24台，每台获利80元；黑白电视机的销售量是30台，每台获利40元。该厂确定的目标是：第一优先级：充分利用装配线每周计划开动40小时第二优先级：允许装配线加班，但每周加班时间尽量不超过10小时第三优先级：装配电视机的数量尽量满足市场的需要试建立该问题的目标规划模型设x1,x2

分别表示彩色和黑白电视机的产量，引进正负偏差变量，得目标规划为练习

某工厂生产I、II两种产品，有关数据见表。试求：获利最大的生产方案III拥有量原材料（kg）2111设备（hr）1210利润（万元/件）810解：设x1,x2

分别为生产I、II的件数，则这是一个单目标线性规划问题，不难求得最优决策方案为x1*=4，x2*=3，z*=62在实际中，决策时需要考虑一系列其它因素，例如：（1）根据市场信息，产品I的销售量有下降的趋势，故考虑产品I的产量不大于产品II的产量（2）超过计划供应的原材料，需用高价采购，这就使成本增加（3）应尽可能充分利用设备的台时，但不希望加班（4）应尽可能达到并超过计划利润指标56元这样在考虑产品决策时，便成为多目标决策问题。目标规划的方法是解这类决策问题的方法之一设x1,

x2

分别为两种产品的产量，正偏差变量dk+表示决策值超过目标值的部分，负偏差变量dk-

表示决策值未达到目标值的部分。则分层目标规划模型为目标规划与线性规划相比有以下优点1.线性规划只能处理一个目标，而现实问题往往要处理多个目标。目标规划即能统筹兼顾地处理多个目标的关系，求得更切合实际要求的解2.线性规划立足于求满足所有约束条件的最优解。而在实际问题中，可能存在相互矛盾的约束条件。目标规划可以在相互矛盾的约束条件下找到满意解3.目标规划的最优解指的是尽可能地达到或接近一个或若干个已给定的指标值

4.线性规划的约束条件是不分主次地同等对待，而目标规划可根据实际的需要给予轻重缓急的考虑

10.5层次分析法

（AHP,AnalyticHierarchyProcess)概述具体原理与步骤应用举例判断矩阵的一致性矩阵特征向量计算法概述层次分析法是由美国匹兹堡大学教授T.L.Saaty在70年代中期提出的。其基本思想是把一个复杂问题分解为各个组成因素，并将这些因素按支配关系分组，从而形成一个有序的递阶层次结构。通过两两比较的方式确定层次中诸因素的相对重要性，然后综合人的判断以确定决策诸因素相对重要性的总排序层次分析法的出现给决策者解决那些难以定量描述的决策问题带来了极大的方便，从而使它的应用几乎涉及任何科学领域步骤建立层次结构模型两两比较构造判断矩阵层次单排序及其一致性检验层次总排序层次总排序的一致性检验(1)建立层次结构模型明确目标建立层次结构(多阶层次结构)比如：（选人才的四标准）德、勤、能、绩、（健）个人能力，组织能力进取心，执行力；业绩增长如何，效率如何，战略举措如何，人才培养如何。A型B型C型例：人才甄选指标体系潜质思想素质知识水平能力素质专业相关度学历企业经历竞争意识风险意识创新意识人才意识基础和专业知识培训和学习交流经济管理水平决策能力判断能力协调能力应变能力进而转换成层次结构模型两两比较构造判断矩阵例如

B=具体标度见下页长相

品质财富长相品质

财富111判断矩阵标度确定方法标度含

义1甲乙相比，具有同样重要性。3甲乙相比，甲比乙稍微重要。5甲乙相比，甲比乙明显重要。7甲乙相比，甲比乙显得很重要。9甲乙相比，甲比乙显得极重要。2，4，6，8表示上述两相邻判断的中值倒数（如1/3）表示甲与乙相比，乙比甲稍重要。例如：某单位拟从3名干部中选拔一人担任领导职务，选拔标准是:(1)健康水平、(2)业务知识、(3)写作能力、(4)口才、(5)政策水平、(6)工作作风。调查得到判断矩阵如下：

按行求积开方根规一化（3）层次单排序及其一致性检验层次单排序方法和积法按列规一化(以一列为例)按行求和(以一行为例）对向量规一化(例)方根法：按行求积——求n(阶）方根——规一化存在众多方法。。。。。。阶数(n)123456789RI000.580.91.121.241.321.411.45一致性检验(R.I见下页)检验准则；若C.R<0.1,则满足一致性；若C.R>=0.1,则不满足一致性，就必须重新确定（4）层次总排序（5）层次总排序的一致性检验举例:(一般)应用举例某厂有一笔企业留成利润，要由厂领导和职代会决定如何使用。可供选择的方案有：作为奖金发给职工；扩建职工宿舍、食堂、托儿所等福利设施；办职工业余技术学校；建图书馆、俱乐部和文体工队；引进新技术设备进行企业技术改造等。从调动职工劳动积极性，提高职工文化技术水平和改善职工物质文化生活状况来看，这些方案都各有其合理的因素。如何使工厂这笔企业留成利润更合理地使用，进一步促进企业发展，这是厂领导和职代会所面临需要分析的问题。准则层C措施层PA：合理使用企业利润促进企业新发展C1：调动职工劳动积极性C2：提高企业技术水平C3：改善职工物质文化生活P1：发奖金P2：扩建集体福事业P3：办职工业余技校P4：建图书馆、俱乐部P5：引进新设备目标层A判断矩阵A—C

（相对于企业发展的总目标，各准则之间的相对重要性比较）AC1C2C3C111/51/3C2513C331/31判断矩阵C1—P