金融经济学第五章之三

金融经济学第五章之三

投资组合理论1通过证券市场投资配置资源的两部分工作：（１）证券与市场的分析，对投资者可能选择的所有投资工具的风险及预期收益的特性进行评估．（２）对资产进行最优的资产组合的构建，涉及在可行的资产组合中决定最佳风险－收益机会，从可行的资产组合中选择最好的资产组合．2围绕风险的三个议题基本原则，即投资者规避风险并对风险投资要求有相应的回报，回报采取的是风险溢价的形式，即预期收益率高于可供选择的无风险投资所能提供的收益率．概括并确定投资者个人在资产组合风险与预期收益之间的权衡．我们引入效用函数，假定投资者能够根据风险与收益情况为所有的资产组合标定一个福利或效用的数值．我们无法脱离资产组合而对其中某一部分资产的风险进行单独的评估．测度单个资产的风险的正确方法是评价它对整个投资组合变动的影响．因为一些看起来有风险的资产也许正是资产组合的稳定器．3处理不确定性的三种数学方法预期效用函数分析基于偏好假定，非常完美但要刻画一个人在所有不同状态下的效用几乎不可能均值—方差分析：投资组合理论尽管不能完全刻画个体的偏好（某些条件下可以）避免讨论具体的效用函数，灵活方便，可以检验套利分析：APT基于均值—方差分析和市场均衡理论，做了更多假定简化计算，使用方便，可以检验方法论的里程碑4马科维茨(H.Markowitz,1927～)《证券组合选择理论》瑞典皇家科学院决定将1990年诺贝尔奖授予纽约大学哈利.马科维茨（HarryMarkowitz）教授,为了表彰他在金融经济学理论中的先驱工作—资产组合选择理论。一、现代投资组合理论的起源5发展了一个在不确定条件下严格陈述的可操作的选择资产组合理论：均值方差方法Mean-Variancemethodology.这个理论演变成进一步研究金融经济学的基础；这一理论通常被认为是现代金融学的发端。马科维茨的工作所开始的数量化分析和MM理论中的无套利均衡思想相结合，酝酿了一系列金融学理论的重大突破。

主要贡献6西方投资管理经历了三个发展阶段：投机阶段、职业化阶段和科学化阶段。1952年，HarryMarkowitz发表的“投资组合选择”作为投资学或金融经济学产生的标志。1963年，WillianSharpe提出了单指数模型。1964年，Sharpe，Lintner,Mossin分别独立地提出了资本资产定价模型（CAPM）。1973年，Black和Scholes提出了第一个完整的期权定价模型即Black-Scholes公式。1976年，Ross提出了套利定价理论(APT)。证券投资理论的发展7投资组合理论的基本思想投资组合是一个风险与收益的tradeoff问题，此外投资组合通过分散化的投资来对冲掉一部分风险。——“nothingventured,nothinggained”——"foragivenlevelofreturntominimizetherisk,andforagivenlevelofriskleveltomaximizethereturn“——“Don’tputalleggsintoonebasket”8实现方法收益——证券组合的期望报酬风险——证券组合的方差风险和收益的权衡——求解二次规划9二、投资组合的收益与不确定性首先，投资组合的两个相关特征是：（1）它的期望回报率（均值）（2）可能的回报率围绕其期望偏离程度的某种度量，其中方差作为一种度量在分析上是最易于处理的。其次，理性的投资者将选择并持有有效率投资组合，即那些在给定的风险水平下的期望回报最大化的投资组合，或者那些在给定期望回报率水平上使风险最小化的投资组合。10再次，通过对某种资产的期望回报率、回报率的方差和某一资产与其它资产之间回报率的相互关系（用协方差度量）这三类信息的适当分析，辨识出有效投资组合在理论上是可行的。最后，通过求解二次规划，可以算出有效投资组合的集合，计算结果指明各种资产在投资者的投资中所占份额，以便实现投资组合的有效性——即对给定的风险使期望回报率最大化，或对于给定的期望回报使风险最小化。注：二次效应函数：投资者的效用函数是二次的，即u(W)=a+bW+CW2。11（一）假定条件122.收益率131415假设投资者投资的时间为一期，投资的初始财富W0为17200元，投资者选择A、B、C三种股票进行投资。投资者估计它们的期望回报率分别为16.2%、24.6%和22.8%。这等价于，投资者估计三种股票的期末价格分别为46.48元[因为（46.48-40）/40=16.2%]、43.61元[因为（43.61-35）/35=24.6%]和76.14元[因为（76.14-62）/62=22.8%]。证券组合期望回报率有几种计算方式，每种方式得到相同的结果。16（1）证券和证券组合的值证券名称在证券组合中的股数每股的初始市场价格总投资在证券组合的初始市场价值中的份额A10040元4000元4000/17200=0.2325B20035元7000元7000/17200=0.4070C10062元6200元6200/17200=0.3605证券组合的初始市场价值W0=17200元总的份额=1.000017（2）利用期末价格计算证券组合的期望回报率证券名称在证券组合中的股数每股的期末预期价值总的期末预期价值A10046.48元46.48元*100=4648元B20043.61元43.61元*200=8722元C10076.14元76.14元*100=7614元证券组合的期末预期价值=20984元证券组合的期望回报率=（20984元-17200元）/17200元=22.00%18（3）利用证券的期望回报率计算证券组合的期望回报率证券名称在证券组合初始价值中的份额证券的期望回报率在证券组合的期望回报率中所起的作用A0.232516.2%0.2325*16.2%=3.77%B0.407024.6%0.4070*24.6%=10.01%C0.360522.8%0.3605*22.8%=8.22%证券组合的期望回报率==22.00%19（二）期望效用分析与均值－方差分析的关系一般来说，资产回报的均值和方差并不能完全包含个体做选择时所需要的全部信息但在一定条件下，个体的期望效用函数能够仅仅表示为资产回报的均值和方差的函数，从而投资者可以只把均值和方差作为选择的目标条件为：预期效用函数为二次效用函数或者资产回报服从正态分布2021

假设个体的初始财富为W0，个体通过投资各种金融资产来最大化他的期末财富带来的期望效用。设个体的Von-Neumann-Morgenstern效用函数为u，在期末财富的期望值这一点，对效用函数进行Taylor展开：22冯·纽曼--摩根斯坦效用函数（vonNeumann-Morgensternutilityfunction）也称VNM效用函数VNM效用函数理论是20世纪50年代,冯·纽曼和摩根斯坦(VonNeumannandMorgenstern)在公理化假设的基础上，运用逻辑和数学工具，建立了不确定条件下对理性人(rationalactor)选择进行分析的框架。

2324假设上述Taylor展开式收敛且期望运算和求和运算可以交换顺序，则个体的期望效用函数可以表示成：上式说明个体偏好不仅依赖于财富的均值与方差，还依赖于财富的高阶矩。但是，如果财富的高阶矩为0或者财富的高阶矩可用财富的期望和方差来表示，则期望效用函数就仅仅是财富的期望和方差的函数。25定理1:如果u是一个解析函数，则（a）对任意分布的期末财富，存在函数使得当且仅当这里，为常数

下面的定理证明了：当预期效用函数为二次函数或者资产回报服从正态分布时，均值—方差与预期效用函数等价，可以完全刻画投资者的偏好特征。（b）对任意偏好函数u，如果期末财富服从正态分布，则存在函数，使得26二次效用函数的假设和正态分布的假设不符合实际的消费者投资情况

因为二次函数具有递增的绝对风险厌恶和满足性两个性质。满足性意味着在满足点以上，财富的增加使效用减少，递增的绝对风险厌恶意味着风险资产是劣质品。这与那些偏好更多的财富和将风险视为正常商品的投资者不符。此外，正态分布的中心轴对称与一般股票的有限责任不一致。注：均值-方差模型不是一个资产选择的一般性模型。它在金融理论中之所以扮演重要的角色，是因为它具有数理分析的简易性和丰富的实证检验。27重要的性质定理2当资产的回报率r服从以为均值、以为标准差的正态分布时，风险厌恶者的回报与风险之间的替代率是正的，无差异曲线是凸的，并且越是位于西北方向的无差异曲线，其效用越高。28(三）投资组合收益和风险的度量设一项投资组合含有n项风险资产，令：:风险资产i的随机收益率；：风险资产i的期望收益率，；：风险资产i和j的收益间的协方差；则有即：风险资产i和j的收益间的相关系数；

的方差29从“历史”样本估计收益和风险：投资组合收益的期望值；：投资组合收益的方差。：投资组合中风险资产i所占的百分比；：投资组合的随机收益率；3031

组合的方差将平方项展开得到3233根据概率论，对于任意的两个随机变量，总有下列等式成立组合的风险变小34例题例1：假设两个资产收益率的均值为0.12，0.15，其标准差为0.20和0.18，占组合的投资比例分别是0.25和0.75，两个资产协方差为0.01，则组合收益的期望值和方差为35

例2：假设某组合包含n种股票。投资者等额地将资金分配在上面，即每种股票占总投资的1/n，每种股票的收益也是占总收益的1/n。设若投资一种股票，其期望收益为r，方差为σ2，且这些股票之间两两不相关，求组合的收益与方差。36相关系数与协方差密切相关的另一个统计测量度是相关系数。事实上，两个随机变量间的协方差等于这两个随机变量之间的相关系数乘以它们各自的标准差的积。证券A与B的相关系数为37测量两种股票收益共同变动的趋势:Corr(RA,RB)或A,B-1.0+1.0完全正相关:+1.0完全负相关:-1.0完全负相关会使风险消失完全正相关不会减少风险在-1.0和+1.0之间的相关性可减少风险，但不是全部38若n=2时，若再假定其中一项如第２项是无风险资产，则有39从上式解得如果现在市场的无风险利率是6％，资产1的预期收益率是14％，标准差是20％。现在我们希望组合的预期收益率是11％，则组合的构成和风险将是多少？40例子

假设我们要构造一个能源投资的Ace组合,我们选择了雪佛龙德士古(ChevronTexaco)石油公司和巴罗德(Ballard)燃料电池公司.由于燃料电池提供了替代汽油的清洁能源,所以,这两家公司的股票价格运动方向相反.我们设,对两家公司各投资50%.雪佛龙德士古公司股票的标准差和预期回报分别是：，巴罗德公司股票的标准差和预期回报分别是：41求解Ace组合的标准差和预期回报：即42将分解如下：第一部分是只与单个方差项相关的风险，称为非系统性风险；第二部分是由各项资产收益间的相关性所带来的风险，称为系统性风险（或市场风险）。（四）风险的分散化43由上可知，证券组合的方差不仅取决于单个证券的方差，而且还取决于各种证券间的协方差。随着组合种证券数目的增加，在决定组和方差时，协方差的作用越来越大，而方差的作用越来越小。例如，在一个由30种证券组成的组合中，有30个方差和870个协方差。若一个组合进一步扩大到包括所有的证券，则协方差几乎就成了组合标准差的决定性因素。风险的分散化原理被认为是现代金融学中唯一“免费的午餐”。将多项有风险资产组合到一起，可以对冲掉部分风险而不降低平均的预期收益率，这是马科维茨的主要贡献。44证券组合消除的是非系统性风险，系统性风险不能消除非系统风险是企业特有的风险，诸如企业陷入法律纠纷、罢工、新产品开发失败，等等。可称为可分散风险、特有风险、特定资产风险。非系统性风险主要通过分散化减少，因此由许多种资产构成的组合将几乎不存在非系统性风险.系统风险是指整个市场承受到的风险，如经济的景气情况、市场总体利率水平的变化等因为整个市场环境发生变化而产生的风险。可称为不可分散风险、市场风险。系统性风险影响所有的资产，不能通过分散化来去除。451005001530非系统风险规模1005001530总风险规模1005001530系统风险规模46组合的风险–标准差组合中的股票数量市场风险特定公司风险总风险可分散风险非系统性风险不可分散风险47结论只要资产不是完全正相关，投资组合的分散化便可以在不减少平均收益的前提下降低组合的风险；在分散化良好的投资组合里，非系统风险由于逐渐趋于零而可以被排除掉；由于系统风险不随分散化而消失，必须对其进行处置和管理。48三、证券投资组合的可行集、有效集（一）可行集（二）有效集（三）有效前沿均值与方差的关系49（一）可行集N个证券可以形成无穷多个组合，由N种证券所形成的所有预期收益率和方差的组合的集合就是可行集。它包括了现实生活中所有可能的组合，也就是说，所有可能的证券投资组合将位于可行集的内部或边界上。50两种资产组合的结合线证券A，B在今后一段时间内（例如，一年）的收益率分别为rA，rB，其投资比例分别为xA，xB，且xA+xB=1，由它们形成一个证券组合P，则P的收益率为：rP=xA

·rA+xB·

rB51证券A：收益率高，风险高证券B：收益率低，风险低即：E(rA)>

E(rB),σA>σB52无论投资组合权重如何变化，组合收益的方差都随着组合内资产相关系数的减少而直线下降53选择不同的组合权重，相关系数对组合收益率方差的影响将随着组合权重偏向低风险资产而减少，反之增加。图5-6、5-7表明，虽然我们无法决定资产A或B的收益及其风险，但可以通过选择具有特定相关关系的的资产来构造组合并通过调整分配给各资产的投资比重来调整组合的收益和风险。这意味着：人们无需开发新的金融资产就可以创造新的投资品种。54两个证券组合的可行集举例证券预期收益标准差A5%20%B15%40%组合ABCDEFGX1X21.000.000.830.170.670.330.50.50.330.670.170.830.001.0055相关系数分别为1，-1，0时，组合的期望收益与标准差分别是多少？组合ABCDEFG预期收益56.78.31011.713.315标准差下限=－1上限=1=02020201023.3317.94026.6718.811030.0022.362033.3327.603036.6733.3740.0040.0040.005657情形1：A、B完全正相关E(rp)=w1

·E(r1)

+w2

·

E(r2

)w1

+w2

=1E(rp)=w1

·E(r1)

+（1-w1

）E(r2

)由以上两式所确定的是一条直线，通过点（σA，EA）和（σB，EB）

允许卖空时，为了得到无风险的证券组合，需要卖空高风险证券并投资在低风险证券（图中虚线部分）58命题1：完全正相关的两种资产构成的可行集是一条直线。证明：由资产组合的计算公式可得59两种资产组合（完全正相关），当权重w1从1减少到0时可以得到一条直线，该直线就构成了两种资产完全正相关的可行集（假定不允许买空卖空）。收益Erp风险σp60情形2：A、B完全负相关E(rp)=w1

·E(r1)+w2

·E(r2)w1+w2=1E(rp)=w1

·E(r1)+（1-w1）E(r2)此时，σP与E(rp)之间是分段线性关系61命题2：完全负相关的两种资产构成的可行集是两条直线，其截距相同，斜率异号。

证明：6263两种证券完全负相关的图示收益rp风险σp64情形3：A、B不完全相关E(rp)=w1

·E(r1)+w2

·E(r2)w1+w2=1E(rp)=w1

·E(r1)+（1-w1）E(r2)此时，确定的是一条通过A、B的双曲线结论：通过按适当比例买入两种证券，获得比两种证券中任何一种证券的风险都小的证券组合。图中C点为最小方差组合；组合中越靠近A，买入的A越多；而A点的东北部曲线上的点代表的组合由卖空B证券、买入A证券形成。65两种不完全相关的风险资产的组合的可行集66情形4：一般情形E(rp)=w1

·E(r1)+w2

·E(r2)w1+w2=1E(rp)=w1

·E(r1)+（1-w1）E(r2)此时，确定的仍是一条通过A、B的双曲线，其弯曲程度取决于相关系数的大小在不允许卖空的情况下，相关系数越小，证券组合的风险越小。67证券A、B组合在R-平面的映射（组合线）的形状取决于二证券收益率的相关程度。如下图：

R

B

=-1

=-0.5

A

O=0=1=0.568多种证券组合的可行域

（例如，3种证券构造的500个随机组合样本）（1）投资者可以构造无穷多种组合，获得不同的收益和风险特征；（2）投资者可以获得的收益和风险被局限在一定的区域（可行域）内，并获得任意的收益和风险结构；（3）投资者的理性选择必将在可行域的边界上69可行集具有两个重要性质：1、只要N>2，可行集对应于均值－标准差平面上的区域为二维的；2、可行集的左边界向左凸。说明：由于一个证券组合对应于均值—标准差平面的一个点，所以，我们既可以用各个证券的权重来表示证券组合，也可以用均值—标准差平面上的一个点来表示它。这也是我们用均值—标准差平面上的一个集合来表示可行的证券组合集合的原因。70投资组合的几何表示和可行集选定了证券的投资比例，就确定了组合。以EP为纵坐标、σP为横坐标，在EP-σP坐标系中可以确定一个点。每个组合对应EP-σP中的一个点；反过来，EP-σP中的某个点有可能反映某个组合。选择“全部”有可能选择的投资比例，那么，全部组合在EP-σP中的“点”组成EP-σP中的区域－－可行集（feasibleset）可行集中的点所对应的组合才是“有可能实现”的组合。可行集之外的点是不可能实现的证券组合。可行集＝机会集71可行集可能的形状（1）（4）（3）（2）（2）和（3）是不允许卖空条件下的可行域（1）和（4）是允许卖空条件下的可行域72收益风险ANHBN种证券的可行集73收益rp风险σp不可能的可行集AB74（二）有效集或有效前沿

1.有效集的定义可行集中有无穷多个组合，但是投资者有必要对所有这些组合进行评价吗？理性的风险厌恶者的投资选择：对于同样的风险水平，将会选择能提供最大预期收益率的组合；对于同样的预期收益率，将会选择风险最小的组合；如果一个组合比另一个组合的风险低、收益高，更加偏好这个组合。能满足这两个条件的投资组合的集合被称为有效集（EfficientSet）或有效边界（有效集定理）。75收益风险最小方差组合MVP2.有效集的形状有效集（有效边界）是满足占优法则的所有组合的点的集合（轨迹）76占优法则：投资者都是不知足的和厌恶风险的，遵循占优原则，即：在同一风险水平下，选择收益率较高的证券；在同一收益率水平下，选择风险较低的证券。补充：77占优原则（DominancePrinciple）1234期望回报方差或者标准差•

2占优1;2占优于3;4占优于3;78有效集曲线的形状具有如下特点：（1）有效集是一条向右上方倾斜的曲线，它反映了“高收益、高风险”的原则；（2）有效集是一条向左凸的曲线。有效集上的任意两点所代表的两个组合再组合起来得到的新的点（代表一个新的组合）一定落在原来两个点的连线的左侧，这是因为新的组合能进一步起到分散风险的作用，所以曲线是向左凸的；（3）有效集曲线上不可能有凹陷的地方。

793.有效集的得出所有可能的点（rp，p）构成了（rp，p）平面上可行区域，对于给定的rp，使组合的方差越小越好，即求解下列二次规划：80或给定风险水平的条件下，使期望收益达到最大，即求解81均值-方差模型：有效集的数学推导基本假设：无摩擦的证券市场中，有N≥3种风险资产，资产收益率的期望和方差有限，可以无限制地卖空，任何资产的收益率不能表示为其它资产收益率的线性组合（相互独立）。目标：在具有相同期望收益率的资产组合中，具有最小方差的资产组合称为前沿资产组合。828384Markowitz提出：理性的投资者总是寻求这样的投资组合,它在给定期望收益水平的条件下，使风险达到最小，即求解：85对于上述带有约束条件的优化问题，可以引入拉格朗日乘子λ和γ来解决这一优化问题。构造拉格朗日函数如下上式左右两边对wi求导数，令其一阶条件为0，得到方程组86证券组合p是前沿证券组合，当且仅当规划的求解:拉格朗日方程一阶条件87二次规划的解884.不具有无风险资产的有效组合前沿（1）一个证券组合称为前沿证券组合，如果它在所有具有相同期望回报的证券组合中具有最小方差，即是如下二次规划的解89写成矩阵形式为其中：90（2）有效边界的求解91

假设所有资产期望回报率和方差均有限且期望互不相等，N种风险资产线性独立。构造Lagrangian乘子函数，求一阶导数，并令一阶导数等于零，得这里且（*）92由V的正定性知B>0，C>0，D>0，且二次规划的一阶条件既是必要条件也是充分条件，即一阶条件为是以为期望回报率的边界证券组合的充要条件。从而，任何边界证券组合均可表示成（*）式；反过来，由（*）式表示的任何证券组合均为边界证券组合。所有前沿证券组合的集合称为证券组合前沿。对应不同的收益率，优化问题可以得到不同的解，进而得到不同的边界证券组合。

“取遍”所有可能的收益率，其“轨迹”就是一条曲线。

由全体“前沿证券组合”构成的“集合”称为证券组合前沿（portfoliofrontier），它是定义有效前沿的基础。93判断组合好坏的公认标准——投资者共同偏好第一：以期望衡量收益率，方差衡量风险，仅关心期望和方差第二：期望收益率越高越好，方差越小越好可行集内部和右下边缘上的任意组合，均可以在左上边界上找到一个比它好的组合。淘汰！最佳组合“必须来自”左上边界——有效前沿有效组合——有效前沿对应的组合（3）有效前沿和有效组合94对于任意两个前沿证券组合，其回报率的协方差为：从而，对于任意前沿证券组合，其回报率和标准差满足如下方程：

因此证券组合前沿是以为中心，以为渐进线的双曲线（4）证券组合前沿的几何结构95双曲线图形A/CE(r

)0mvp机会集双曲线最小方差证券组合mvp对应的点为说明：1、MVP是一个特殊点，是一个全局最小方差点；2、由无差异曲线形状可知，风险厌恶者将只在双曲线的上半只选择投资点。965.具有无风险资产的有效证券组合前沿（1）当存在无风险证券时，可以得到更简单的结果；无风险债券，是指回报率确定的证券，通常将政府发行的国库券视为无风险证券；买卖债券只不过是手段，本质是无风险的借贷行为；投资于无风险资产又称作“无风险贷出”（risk-freelending），卖空无风险资产又称为“无风险借入”（risk-freeborrowing）。假定：无摩擦的证券市场，N种风险证券和一种无风险证券，P为N+1种资产形成的一个前沿证券组合，WP表示投资在N中风险资产上的权重；97设是如下规划的解：98利用拉格朗日法求解，有以下有关投资组合的收益与风险的关系：如果这里A、B、C是推导马氏双曲线的变量即所有N+1种资产的证券组合前沿为过点（0，rf)，斜率为的半射线组成。99（2）存在无风险借贷机会时组合的收益与风险

设组合P是有一无风险资产与一风险组合（由（n-1）种风险证券构成）所构成，则：从而1002.无风险证券情况下证券组合前沿的几何结构无风险收益率的大小将会影响证券边界，具体是直线的“模样”，分三种情况rf＜A/C、rf＞A/C、rf＝A/C其中A/C表示不存在无风险资产情况下mvp的期望值存在无风险资产之后，证券组合前沿由双曲线向左进行了扩张。可行集是由两条射线所“围成”的区域。101（1）rf＜A/C0E(r)A/