第8章 截面的几何性质

工程力学系多媒体教学课件系列之一工程力学第8章截

面

的

几

何

性

质水利土木工程学院工程力学课程组

静矩、形心及其相互关系

惯性矩的概念及计算方法

惯性矩的平行移轴公式

组合截面惯性矩计算单元学习目标

静矩、形心及其相互关系

惯性矩的概念及计算方法惯性矩的平行移轴公式组合截面惯性矩计算截面对于一个构件或者结构来说是非常重要的，下面我们列举一下工程当中常见的几种截面：槽钢角钢工字型在工程中，我们总是希望在满足安全条件的前提下，尽可能地使用较少的材料，以取得较好的经济效果，由此就会遇到一些与构件的截面形状和尺寸有关的几何量，这些量统称为截面的几何性质。截面的几何性质是影响构件的承载力的重要因素之一。一般工程问题，截面的几何性质主要包括：形心、静矩、惯性矩、惯性半径、极惯性矩、惯性积、形心主轴和形心主矩等。工程力学中，研究杆件的应力与变形，研究失效问题以及强度、刚度、稳定性问题，都要涉及到与截面的几何性质有关的量。截面A对于y轴的静矩截面A对于z轴的静矩zyOdAyzrA注意：静矩是一个代数量，可正、可负或为零；同一截面对不同坐标轴的静矩不同；静矩的常用单位是m3或mm3。一.静矩zyOdAyzrAzCyCC点C(zC，yC)称为截面形心，通过形心的坐标轴称为形心轴。

1、截面对形心轴的静矩为零；

2、若截面对某轴的静矩为零，则该轴必为形心轴。

3、已知静矩可确定截面的形心坐标；已知截面的形心坐标可确定静矩。二.形心位置由若干个简单截面（如矩形、圆形、三角形等）组成的截面称为组合截面。组合截面对于某一轴的静矩等于各组成部分对同一轴的静矩的代数和，即也可以通过静矩来计算组合截面的形心位置，即其中Ai、zCi、yCi分别表示第i个简单截面的面积及形心坐标。三.组合截面形心位置101080120试确定下图的形心。zyC2C1C1(0,0)C2(-35,60)

【例I-1】【解】方法一：用正面积法求解。将截面分割为两个矩形，建立坐标系如图所示。形心C坐标为（-20.3，34.7）。CC1（0,0）C2（5,5）【解】方法二：用负面积法求解。将截面分割为两个矩形，建立坐标系如图所示。101080120C2负面积zyC1C形心C坐标为（-20.3，-20.3）。这两种方法所得到的形心坐标不同是由于选择不同的坐标系引起的。2023/2/111zy4040试确定下图形心解：按组合图形解

1.正面积法，图形分割为三图(a)例①C1（y为对称轴）402020③C3②C22023/2/1128080图(b)2.负面积法，图形分割如图(b)4040负面积②C2zy①C12023/2/113y例①②③三根10号槽钢焊成一体，求整个截面的形心∵

y为对称轴，∴形心在y轴上各种规格品种的型钢，几何尺寸、参数可查型钢表——

p370zcxxyy(形心)解：试确定等腰梯形面积的形心和对底边的静矩。abhC1C2zyO截面对底边的静矩形心位置C

【例I-2】【解】CL6TU6[练习]求图示阴影部分的面积对y轴的静矩。解：[例]求三角形ABC对底边BC的静矩bhABCOzy解:z积分得：静矩、形心及其相互关系

惯性矩的概念及其计算方法惯性矩的平行移轴公式组合截面惯性矩计算截面对y

轴的惯性矩截面对z

轴的惯性矩截面对O点的极惯性矩zyOdAyzrA注意：惯性矩恒为正值；同一截面对不同坐标轴的惯性矩不同；惯性矩的常用单位是m4或mm4。zyOdAyzrA力学计算中，常将惯性矩写成截面面积A与某一长度（称为惯性半径）平方的乘积，即或注意：惯性半径恒为正值；同一截面对不同坐标轴的惯性半径不同；惯性矩的常用单位是m或mm。zyOdAyzrA截面对yz轴的惯性积注意：惯性积是一个代数量，可正、可负或为零；惯性积是对一对坐标轴而言的，这与静矩、惯性矩和惯性半径是不同的；惯性积的常用单位是m4或mm4；如果一对相互垂直的轴中一个坐标轴通过截面形心，则截面对这一对轴的惯性积为零，反之，如果截面对一对轴的惯性积为零，则其中一轴必通过截面形心。zy（对称轴）二、性质：1.zz说明：两侧对称的面积微分——显然该情况对全部图形都如此2.I

可分割组合3.若

y

、z之一是对称轴yy附录则Iyz=0y坐标同值同号，z坐标同值反号，积分中相互抵消：已知：圆截面直径d，求：Iy，Iz，IP。drdrdACyz取圆环微元面积

【例I-3】【解】

【例I-4】【解】已知：矩形截面b×h，求：Iy，Iz。CyzbhzdzdA2ydydA1分别取平行于x

轴和y

轴的微元面积，24例

求惯性矩（对称轴）yzh/2h/2H/2H/2B/2B/2b/2b/2惯性积解：因二轴为对称轴A1A225例

求图形惯性矩，

求

,②②②解：求①10107070606020②①两腰负面积图形分割为三：图形仍分割为三：②①四.惯性矩、极惯性矩和惯性积性质一览表名称定义量纲关系性质静矩惯性矩极惯性矩惯性积[L3][L4][L4][L4]对形心轴静矩为零对对称轴惯积为零静矩、形心及其相互关系惯性矩的概念及计算方法

惯性矩的平行移轴公式

组合截面惯性矩计算

平行移轴定理（parallel-axistheorem）是指截面对于互相平行的坐标轴的惯性矩、惯性积之间有如下关系：AzyOz1y1O1ab其中：A为截面面积，x、y轴为形心轴，x1、y1为分别与x、y轴平行的轴，a、b分别为相应平行轴之间的距离。AzyOz1y1O1abdAyzy1z1证明：根据惯性矩和惯性积的定义显然有即推导Iy、Iz、Iyz与

Iy1、Iz1、Iy1z1的关系，x、y轴为形心轴。

y1=y＋a，z1=z＋b

同时还应有代入上式得AzyOz1y1O1abdAyzy1z1证明：即

y1=y＋a

z1=z＋b

AzyOz1y1O1abdAyzy1z1由于y、z轴通过截面形心，所以Sy＝Sz＝0，即有证明：[证毕]利用平行移轴定理可以通过已知截面对一对坐标的惯性矩和惯性积，求其对另一对坐标的惯性矩与惯性积。

因为面积及包含a2、b2的项恒为正，故自形心轴移至与之平行的任意轴，惯性矩总是增加的。

a、b为原坐标系原点在新坐标系中的坐标，要注意二者的正负号；二者同号时abA为正，异号时为负。所以，移轴后惯性积有可能增加也可能减少。在所有互相平行的轴中，对形心轴的惯性矩是最小的。此时a=0，b=0.

试求三角形对z、z1轴的惯性矩。zb/2b/2h/2h/2Oyz1ydyzC

【例I-5】【解】C34例2求图示圆对其切线AB的惯性矩。解：此题求解——两种方法：一是按定义直接积分；二是用平行移轴定理B

建立形心坐标,求图形对形心轴的惯性矩。AdxyO80802020解（1）确定形心轴Z的位置：先求形心位置取y为对称轴，形心必位于对称轴上。Zc=0Z1CZyc（2)求IZIⅡ[例4-4]确定形心轴Z的位置，并求IZyZ80802020IⅡCycZCⅠZCⅡy[例4-5]：求图示平面图形对y、z轴的惯性矩Iy、IZCL6TU11（y为对称轴、过形心）IIIII解（1）求Iy（2)求IZ:Z*ZcIIIIIII静矩、形心及其相互关系惯性矩的概念及其计算方法惯性矩的平行移轴公式

组合截面惯性矩计算

工程计算中应用最广泛的是组合截面的形心主惯性矩，即截面对于通过其形心的主轴之惯性矩。为此，必须首先确定截面的形心以及形心主轴的位置。

因为组合截面都是由一些简单截面组成，在确定其形心、形心主轴以至形心主矩时，通常不采用积分法，而是利用简单截面的几何性质以及平行移轴定理，按以下步骤进行：

将组合截面分解为若干简单截面，确定其形心；

2010020解：①求形心位置100例

求图形对其形心轴的惯性矩分割为二,②求Czc(yc

)直接套用矩形公式20100CC2求③C1但

zc

不过二者形心——平行移轴20——图形分割为二：100例题4求梯形截面对其形心轴yC

的惯性矩.解：将截面分成两个矩形截面.20140100