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文档简介

9.3第二型曲线积分

9.3.1第二型曲线积分的定义与性质

引例

求在力场

沿一平面曲线

的作用下，质点L从A移动B把

弧分n成段，在

上任取一点

质点在力场中从Mi-1沿

移动到Mi所做的功

依次插入n-1个分点

到所做的功.O定义9.5设L为xOy面内一有向光滑曲线，

A,B为L的两端点,P(x,y),Q(x,y)在

L上有界.将有向弧段

次用点

顺分开，M0为A点,Mn为B点，Mi

坐标为(xi,yi)

,记

在

上任取一点

n个小弧段中最大长度记为l

.如果

存在，则称此极限值为第二型曲线积分，也称为对称坐标的曲线积分，记成当

时,

当

时,

P(x,y),Q(x,y)称为被积函数，

L称为被积弧段，或积分路径.如果是闭合曲线，又可记成

性质1设C是弧上一点，则

性质2定理9.7设P(x,y),Q(x,y)在有向光滑

L上连续，则曲线

积分

存在.

9.3.2

第二型曲线积分的计算

定理9.8设P(x,y),Q(x,y)在有向弧段

上连续，

的参数方程为

当t单调地a由变到b时，

M(x,y)从A沿

到

B,连续可导且导数不同时为零，则有公式（9.15）

设空间曲线所满足的条件与定理9.8的类似，则有（9.16）

例1求

L为沿

上半圆从A(a,0)到

B(-a,0)的部分

.解

当点从A到B时,t由0变到p.积分弧段改成沿直线y=0,从A(a,0)到B(-a,0),则

写成x=x

,y=0

,

x从

a变到

–a,于是

例2求式中G是从A(1,2,3)到O(0,0,0)的直线段.

解G:

其参数式:

t从1变到0.横坐标的平方的力场上求质点沿抛物线

例3在方向为纵轴负方向，且力的模等于作用点的A(1,0)移动到B(0,1)（第一象限内）所做的功.

从解

力场

9.3.3两类曲线积分之间的联系

定理9.9设L为有向曲线弧,L的方程是

连续可导且不同时为零，

P(x,y),Q(x,y)在L上连续，

是L上点(x,y)处切向量的方向角，则有公式（9.17）

例4化对坐标

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