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第二章Laplace变换Fourier变换的两个限制：1§1Laplace变换的概念

2tf(t)Otf(t)u(t)e-btO31.定义：4例1求单位阶跃函数解：根据拉氏变换的定义,有这个积分在Re(s)>0时收敛,而且有5例2

求指数函数f(t)=ekt

的拉氏变换(k为实数).这个积分在Re(s)>k时收敛,而且有其实k为复数时上式也成立,只是收敛区间Re(s)>Re(k)解：根据拉氏变换的定义,有62.拉氏变换的存在定理若函数f(t)满足:

(1)在t0的任一有限区间上分段连续;

(2)当t时,f(t)的增长速度不超过某一指数函数,即

存在常数M>0及c0,使得

|f(t)|Mect,0t<

则f(t)的拉氏变换在半平面Re(s)>c上一定存在,并且在Re(s)>c的半平面内,F(s)为解析函数.7证明：由条件2可知,对于任何t值(0t<),有注1：大部分常用函数的Laplace变换都存在(常义下);|f(t)e-st

|=|f(t)|e-bt

Me-(b-c)t,Re(s)=b,b=Re(s)>c:注2：存在定理的条件是充分但非必要条件.8MMectf(t)tO9§2Laplace变换的性质与计算

本讲介绍拉氏变换的几个性质,它们在拉氏变换的实际应用中都是很有用的.为方便起见,假定在这些性质中,凡是要求拉氏变换的函数都满足拉氏变换存在定理中的条件,并且把这些函数的增长指数都统一地取为c.在证明性质时不再重述这些条件.10例3求f(t)=sinkt(k为实数)的拉氏变换。11同理可得解：122.微分性质:此性质可以使我们有可能将f(t)的微分方程转化为F(s)的代数方程.特别当时，有13例4求的拉氏变换（m为正整数）。解：14象函数的微分性质:15例5求(k为实数)的拉氏变换.163.积分性质:例6求

的拉氏变换.17象函数积分性质:则18例7求函数的拉氏变换.解：19函数f(t-t)与f(t)相比,f(t)从t=0开始有非零数值.f(t-t)是从t=t开始才有非零数值.即延迟了一个时间t.从它的图象讲,f(t-t)是由f(t)沿t轴向右平移t而得,其拉氏变换也多一个因子e-st.Ottf(t)f(t-t)20例8

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