高考数学总复习：第6章《不等式、推理与证明》6

第六节直接证明和间接证明[主干知识梳理]一、直接证明内容综合法分析法定义利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论从要

出发，逐步寻求使它成立的

，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止.成立证明的结论充分条件二、间接证明

反证法：假设原命题

(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出

，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫反证法．不成立矛盾

[基础自测自评]1．(教材习题改编)用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设(

) A．三个内角都不大于60° B．三个内角都大于60° C．三个内角至多有一个大于60° D．三个内角至多有两个大于60° B

[假设为“三个内角都大于60°”．]2．设a＝lg2＋lg5，b＝ex(x＜0)，则a与b大小关系为(

) A．a＞b

B．a＜b C．a＝b D．a≤b A

[a＝lg2＋lg5＝lg10＝1，b＝ex＜1，则a＞b.]

[关键要点点拨]1．证明方法的合理选择

(1)当题目条件较多，且都很明确时，由因导果较容易，一般用综合法．

(2)当题目条件较少

，可逆向思考时，执果索因，使用分析法解决．但在证明过程中，注意文字语言的准确表述．

2．使用反证法的注意点

(1)用反证法证明问题的第一步是“反设”，这一步一定要准确，否则后面的部分毫无意义；

(2)应用反证法证明问题时必须导出矛盾．综合法

(2)给出命题：“已知P是椭圆E上异于A1、A2的一点，直线A1P、A2P分别交直线l：x＝t(t为常数)于不同的两点M、N，点Q在直线l上．若直线PQ与椭圆E有且只有一个公共点P，则Q为线段MN的中点”，写出此命题的逆命题，判断你所写出的命题的真假，并加以证明；(3)试研究(2)的结论，根据你的研究心得，在图2中作出与该双曲线有且只有一个公共点S的直线m，并写出作图步骤．注意：所作的直线不能与双曲线的渐近线平行．

(3)如图，①任作一条不过点S的直线n垂直于双曲线的实轴；②作直线A1S、A2S分别交直线n于I、J两点；③作线段IJ的中点V，连接SV，则直线SV即为所求的直线m.

[规律方法]综合法是一种由因导果的证明方法，即由已知条件出发，推导出所要证明的等式或不等式成立．因此，综合法又叫做顺推证法或由因导果法．其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法，这就要保证前提正确，推理合乎规律，才能保证结论的正确性．分析法

[规律方法]分析法的特点与思路分析法的特点是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”(或定理、性质或已经证明成立的结论等)．通常采用“欲证——只需证——已知”的格式，在表达中要注意叙述形式的规范．反证法

[规律方法]反证法证明问题的一般步骤(1)反设：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面(否定命题)成立；(否定结论)(2)归谬：将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾——与已知条件、已知的定义、公理、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾；(推导矛盾)(3)立论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误．既然原命题结论的反面不成立，从而肯定了原命题成立．(命题成立)

[跟踪训练]3．实数a，b，c，d满足a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd＞1，求证：a，b，c，d中至少有一个为负数． 证明假设a，b，c，d都是非负数，则由a＋b＝c＋d＝1， 得1＝(a＋b)(c＋d)＝ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd， 即ac＋bd≤1，这与ac＋bd＞1矛盾， 故假设不成立．即a，b，c，d中至少有一个为负数．【高手支招】