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文档简介

第四章函数逼近一、函数逼近之范数问题：如何度量两个函数之间的距离？

二、函数逼近之生成的线性空间

注：该线性空间上的加法和数乘运算，即为通常的函数加法和数乘运算！三、函数逼近之最佳逼近问题

范数（距离）最小三、函数逼近之最佳逼近问题

四、函数逼近之正交多项式

注：

3)同样两个函数在不同内积下，通常取值不同。四、函数逼近之正交多项式

四、函数逼近之正交多项式

内积的性质：

四、函数逼近之正交多项式

注：正交与内积的定义有关，例如

不正交正交四、函数逼近之正交多项式

四、函数逼近之正交多项式

常见的正交多项式：勒让德正交多项式；切比雪夫正交多项式；拉盖尔正交多项式；埃尔米特正交多项式。四、函数逼近之正交多项式勒让德（Legendre）切比雪夫(Chebyshev)权1区间通项正交递推奇偶其它四、函数逼近之正交多项式拉盖尔（Laguerre）埃尔米特(Hermite)权区间通项正交递推奇偶其它四、函数逼近之最佳一致逼近

四、函数逼近之最佳一致逼近

四、函数逼近之最佳一致逼近问题：如何求最佳一致逼近多项式？

偏差：

正偏差点：

负偏差点：

何谓切比雪夫交错点？偏差点四、函数逼近之最佳一致逼近问题：如何求最佳一致逼近多项式？

交错点：

切比雪夫交错点：

四、函数逼近之最佳一致逼近问题：如何求最佳一致逼近多项式？

该定理给出最佳一致逼近多项式的充要条件，但一般情况下还是很难根据该定理求解最佳一致逼近多项式。

四、函数逼近之最佳一致逼近

由于该函数连续，故取极值的点只有两种可能：该点的导数值为零，或是区间端点。四、函数逼近之最佳一致逼近

分析：

因此导函数取值为零的点最多只有一个。

四、函数逼近之最佳一致逼近

解之得

四、函数逼近之最佳一致逼近

分析：故

解之得四、函数逼近之最佳一致逼近

分析：故

四、函数逼近之最佳一致逼近

四、函数逼近之最佳一致逼近

四、函数逼近之最佳一致逼近

四、函数逼近之最佳一致逼近

计算中点；四、函数逼近之最佳一致逼近

解.

四、函数逼近之最佳一致逼近

解.

四、函数逼近之最佳平方逼近

四、函数逼近之最佳平方逼近

注：

等价于求

四、函数逼近之最佳平方逼近

则原问题就可归结为计算多元函数的极小值

四、函数逼近之最佳平方逼近由多元函数取极值的必要条件：可得线性方程组

四、函数逼近之最佳平方逼近其矩阵形式为

注：该线性方程组称为法方程。

四、函数逼近之最佳平方逼近

以法方程的解作为线性组合的系数，得

四、函数逼近之最佳平方逼近

则

这两个积分比较复杂，在下一章将学习利用数值积分来近似计算！四、函数逼近之最佳平方逼近

解.法方程为

所以线性最佳平方逼近多项式为

解之得

四、函数逼近之最佳平方逼近

解.法方程为

所以线性最佳平方逼近多项式为

四、函数逼近之最小二乘法若已知连续函数的表达式，则利用最佳平方逼近构造简单函数来逼近。

四、函数逼近之最小二乘法可以证明最小二乘逼近函数是存在且唯一的。

四、函数逼近之最小二乘法

0.240.650.951.241.732.012.232.522.772.990.23

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