数学物理方程第5章留数-2(东南大学王元明)

第五章留数§2留数的一般理论一、定义定义如果函数f(z)在z0的邻域D内解析,那么根据柯西积分定理

但是,如果z0为f(z)的一个孤立奇点,则沿在z0的某个去心邻域0<|z-z0|<R内包含z0的任意一条正向简单闭曲线C的积分一般就不等于零.因此f(z)=...+c-n(z-z0)-n+...+c-1(z-z0)-1

+c0+c1(z-z0)+...+cn(z-z0)n+...0<|z-z0|<R两端沿C逐项积分:称C-1为f(z)在z0的留数,记作Res[f(z),z0],即

如果z0是f(z)的可去奇点,则Res[f(z),z0]=0.如果z0是本性奇点,则只好将其按洛朗级数展开.如果z0是极点,则有一些对求c-1有用的规则.

求函数在孤立奇点z0处的留数即求它在洛朗级数中

(z-z0)-1项的系数c-1即可.但如果知道奇点的类型,对求留数可能更有利.证明由于z0是f(z)的1阶极点，所以在z0的某个去心邻域内的Laurent级数展开式为故所以二.留数的计算规则

规则1

如果z0为f(z)的一阶极点,则规则2

如果z0为f(z)的m阶极点,则事实上,由于

f(z)=c-m(z-z0)-m+...+c-2(z-z0)-2+c-1(z-z0)-1+c0+c1(z-z0)+...,

(z-z0)mf(z)=c-m+c-m+1(z-z0)+...+c-1(z-z0)m-1+c0(z-z0)m+...,令两端zz0,右端的极限是(m-1)!c-1,两端除以(m-1)!就是Res[f(z),z0],即得规则2,当m=1时就是规则1。例求和在孤立奇点处的留数.

z=0是g(z)的1阶极点，于是易知z=1和z=2都是f(z)的1阶极点，故例求在孤立奇点处的留数.处解析，且所以是f(z)的1阶极点，并且显然和都在例求在z=0处的留数.可知,z=0是f(z)的3阶极点,定理一(留数定理)

设函数f(z)在区域D内除有限个孤立奇点z1,z2,...,zn外处处解析.C是D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线,则Dz1z2z3znC1C2C3CnC三、留数定理[证]把在C内的孤立奇点zk(k=1,2,...,n)用互不包含的正向简单闭曲线Ck围绕起来,则根据复合闭路定理有注意定理中的条件要满足。例如不能应用留数定理。由规则1,得我们也可以用规则3来求留数:这比用规则1要简单些.例4

解：所以原式=定义

设函数f(z)在圆环域R<|z|<(R≥0)内解析,即无穷远点为f(z)的孤立奇点。C为圆环域内绕原点的任何一条简单闭曲线,则积分四、在无穷远点的留数理解为C的负方向。的值与C无关,称其为f(z)在点的留数,记作f(z)在圆环域R<|z|<内解析，则洛朗展开式为：

这就是说,f(z)在点的留数等于它在点的去心邻域R<|z|<+内洛朗展开式中z-1的系数相反数.定理二

如果f(z)在扩充复平面内只有有限个孤立奇点,那么f(z)在所有各奇点(包括点)的留数总和必等于零.证：除点外,设f(z)的有限个奇点为zk(k=1,2,...,n).且C为一条绕原点的并将zk(k=1,2,...,n